ガーデンスプリンクラーの魅惑的な科学

身の回りの基本的なもので、こんなにも物理学的な楽しみを味わえるなんて、驚きです。今度庭に水を撒くときは、あのシンプルな回転するスプリンクラーをじっくりと見てみてください。噴き出す水の流れをじっくりと観察してみてください。なぜあんなに美しい弧を描く水流になるのでしょう？物理学者の仕事は、多くの場合、世界がなぜこんなに美しいのかを解明することにあります。

さらに楽しいのは、仕組みがわかれば、ちょっとした思考実験をいろいろ試せることです。デスティン・サンドリンとスティーブ・モールドはYouTubeでまさにそれを実践しました。二人ともそれぞれ素晴らしい科学チャンネルを持っています。ところが、どういうわけか二人は、もし外側ではなく中心に向かって水を噴射するスプリンクラーを作ったらどうなるか、という議論に発展しました。もし上からスナップショットを撮ったら、水の流れはどんな形になるでしょうか？

この問題を解決するため、スティーブはまさにそのような外向きのスプリンクラーを作り、二人はデスティンのSmarter Every Dayチャンネルで一緒にテストを行いました。しかしまずは問題を単純化するために、スティーブが作った別のスプリンクラーを試しました。このスプリンクラーはハブから離れてまっすぐ外側に水を噴射するタイプです（つまり、これらのスプリンクラーは通常、回転推進力を生み出すために角度付きノズルを必要としません）。

しかし、この件に関しても彼らの予測は異なっていました。デスティンは、水はチューブから出た時と同じ回転方向に流れ続ける、つまり外側へ進むだけでなく、前方へも進むだろうと言いました。スティーブは、水は逆方向に曲がるだろうと言いました。あなたはどう思いますか？

これがとても興味深いところです。二人とも物理学をしっかりと理解しているにもかかわらず、話していることが全く違います。スティーブは水の流れの形、つまりスナップショットに注目していますが、デスティンはそれをあまり聞き取れていません。彼は水の個々の粒子の動きについて考えているのです。これらは全く異なる問題なのです！

ビデオを見て何が起こるか確認することもできます（そして見るべきです）。しかし、別の方法があります。水を連続した水流ではなく、小さなボールの集まりとしてモデル化したらどうでしょうか？それぞれのボールは、スプリンクラーの回転とチューブから出てくる水の速度に応じて、初期速度で流れ始めます。そして、これらの「ウォーターボール」の動きを観察することで、全体のパターンを理解できます。まさに、モデル化できないと理解できないのです！

外側に向いた潮吹き

回転するスプリンクラーから放射状に外向きに噴射される水の例から始めましょう。まず、水玉がチューブから出た後は、水玉には何の力も作用していないことを認識する必要があります。（もちろん重力は作用しますが、ここでの関心事には関係ないので無視します。）正味の力がゼロの場合、水玉は等速度（同じ速度と方向）で移動します。

これをPythonでモデル化します。分かりやすくするために、水流発生器のチューブは2本だけ使います。あとは、水流の速度、チューブの長さ、回転速度、そして1秒あたりの水球の数を設定するだけです。これがモデルです。鉛筆アイコンをクリックするとコードが表示され、「Play」をクリックして実行できます。

ご覧の通り、水流は回転する管から後ろへ曲がって流れています。スティーブの言う通りですね。コードを開いて、様々な仮定を試してみて、どのように変化するか見てみましょう。概念的な蛇口のハンドルを回して水流の速度を上げたらどうなるでしょうか？

他にも興味深いプログラミングの詳細がいくつかありますが、今は割愛します。重要なのは、基本的な物理学を用いて回転するスプリンクラーをモデル化しているように見えることです。これは私にとって大きな勝利です。

内側に向いた潮吹き

では、元の質問に戻りましょう。チューブを曲げて、水を内側、つまり回転中心に向かって噴射するとどうなるでしょうか？スティーブはこのために別の装置を作りましたが、私たちのモデルでは、水流の速度の符号を正から負に変えるだけで同じ効果が得られます。（上記のコードでは、16行目のパラメータaです。）その様子は以下のようになります。

すごいでしょ？もしスティーブがこのスプリンクラーの特許を取って販売するなら、私なら買います。（もちろん、自動回転させる方法を考えないといけませんね。手で回すとかなり濡れるんですから。）

しかし、デスティンのように考えてみると、それぞれの水の粒子は何をしているのか？あまり明白ではありません。そこで次のアニメーションでは、ボールの1つを黄色にして、その動きを追跡してみます。その様子は以下のようになります（コードはこちらです）。

ボールは直線的に動きます！具体的には、ボールの出口速度は、内側に向かう速度ベクトルと、スプリンクラーの噴出口の円軌道に接する前方に向かう速度ベクトルの組み合わせです。その結果、水粒子は斜め内側前方へと移動することになります。これはデスティンの言ったこととほぼ同じです。

つまり、ここにはまさに錯覚が起こっているのです。すべての水玉は直線的に進んでいますが、私たちの目には水流の全体的な形しか見えません。そして、次々と水玉が空間の異なる地点に、わずかに異なる速度ベクトルで放たれるため、水玉は円を描いて戻ってきているように見えます。結局、スティーブとデスティンはどちらも部分的に正しかったのです。

試乗してみましょう

でもちょっと待ってください！水の動きをモデル化する別の方法があります。これまでは、動画のように固定されたビデオカメラで水の動きをモデル化するように、上空から見てきました。これが「参照フレーム」となり、そこから水の動きを記述します。でも、ちょっと楽しみのために、スプリンクラーの回転する参照フレームで水の動きを見てみたらどうでしょうか？

スプリンクラーの上にビデオカメラを設置し、全く同じ角速度で回転させると、このような映像が生まれます。映画『ロイヤル・ウェディング』のフレッド・アステアの「ダンシング・オン・ザ・シーリング」のシーンを覚えている方もいるかもしれません。そこでは、これとよく似た動きをしています。（この魔法がどのように作られたのかを知りたい方は、こちらの動画をご覧ください。ただし、まずは純粋な目でこのシーンを観た方が、より楽しめます！）

この場合、モデルを別の方法で構築する必要があります。前のモデルでは、水のボールは作用する正味の力がゼロ、つまり加速度がゼロだったため、等速度で移動していました。これは、力と加速度を表す次の式で表すことができます。

しかし、この力と運動のモデルは、非加速参照系（慣性参照系と呼びます）でのみ機能します。回転するカメラの視点から水を見ようとすると、今度は加速参照系が使われることになります。これは問題です。

加速系でも動きをうまく動かす方法があります。鍵となるのは、偽の力を加えることです。あなたは実際にこれらの力について知っています。車に乗っていて、アクセルペダルを踏んでスピードを上げたとき、シートに押し戻されるような力を感じたのを覚えていますか？実際には、そのような力は存在しません。あなたの脳は、加速する車の基準系の中で自分がどのように感じているかを説明するために、その力を作り出したのです。

回転する座標系では、2つの擬似的な力を加える必要があります。1つは（おそらく）回転中心から外側へ押し出す遠心力、もう1つはコリオリの力です。後者を完全に理解するには少し説明が必要です。その代わりに、回転座標系における水の球に働く擬似的な力のベクトルを示しましょう。

コリオリの力の鍵となるのは、（回転座標系における）物体の速度に対して常に垂直であるということです。これは、回転座標系における水球の運動のモデルです。今回は画像のみですが、コードを確認したい場合は、こちらをクリックしてください。

ほら、さっき見た水の流れとそっくりですね。でも、これは水の流れではなく、たった2つの水玉が残した軌跡なんです！静止した基準系では、水玉は直線的に動いているように見えます。しかし、スプリンクラーの回転する視点から見ると、水玉は曲線を描いて（速度は一定ではない）見えます。

回転しない基準系に実際の力をかける方法と、回転する基準系に偽の力をかける方法、どちらが良いでしょうか？結局はどちらも同じ結果になりますが、教師としては、偽りの力を必要としない前者の方が好みです。

誤解しないでください。加速するエレベーターでボールを投げるなど、擬似的な力を使うと物事がずっと簡単になる状況もあります。しかし、擬似的な力は危険な場合もあります。なぜなら、それらは基本的な相互作用によるものではないからです。だからこそ、ほとんどの入門物理学の授業では擬似的な力は避けられているのです。

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