Redditの回転する太陽系アイコンの物理学

Redditがスマホに読み込まれるのを待っている間、読み込みアイコンを使って何か物理的な仕掛けができないかと考えてみました。もしかしたら見たことがあるかもしれませんね。4つの惑星（内惑星2つと外惑星2つ）を持つミニ太陽系みたいな感じですね。モデル化してみましょう！

ビデオ: Rhett Allain (Reddit経由)

まずはデータから始めましょう。読み込み画面のスクリーンキャプチャを撮り、お気に入りの動画分析プログラム（Tracker Video Analysis）を使って位置と時間のデータを取得できます。もちろん、画面にはピクセル単位で距離が表示されていますが、これはあまり役に立ちません。この「惑星系」（あるいはそれが何であれ）の実際の大きさは分かりませんので、スケールサイズを外軌道直径1単位に設定します。これは、外側にある「惑星」の1つの軌道全体の距離です。

この図形が現実的な動きをしているかどうかを確認するには、惑星の運動を観察する必要があります。最も簡単な方法の一つは、角度位置を時間の関数として観察することです。角度位置とは何でしょうか？太陽の中心から（平面上で）軌道を周回する惑星の一つまで線を引いた場合、この線とx軸の間の角度がその惑星の角度位置になります。これは、直交座標ではなく極座標を使用する場合と同じです。x座標とy座標の代わりに角度位置を使用することで、軌道の大きさを気にすることなく、運動をマッピングできます。そうすれば、軌道距離が異なると軌道速度も異なるかどうかを確認できます。

ビデオ分析から、内惑星と外惑星の角度位置 (ラジアン単位) に関する次のデータが得られます。

アニメーションの各フレームでは、時間と角度位置という2つの情報が得られます。これら2つは、グラフ上の1つのデータポイントを表します。グラフの横軸は時間、縦軸は角度位置（ラジアン単位）です。角度の表現方法は複数あることを覚えておいてください。0から2πラジアンまで表現することも可能ですし、0からπまで表現してから-πから0まで表現することも可能です。実際にはどちらも同じですが、動画分析プログラムでは負の角度が用いられます。

このデータはきれいに直線的に見えます。これは、内惑星と外惑星が一定の自転速度で公転していることを意味します（これは予想通りです）。角速度は、角度位置の変化を時間の変化で割ったものとして定義されます。つまり、角度と時間の傾きが角速度（このために記号ωを使用します）となり、グラフからそれを見つけることができます。このグラフから、内惑星は3.203ラジアン/秒（直線の傾きに基づく）で公転し、外惑星は2.084ラジアン/秒で公転していることがわかります。もちろん、これは読み込みグラフが「リアルタイム」であることを前提としていますが、実際のところは誰にもわかりません。

しかし、中心から遠い惑星は、公転周期が長くなるべきなのでしょうか？実は、私たちの太陽系の現実の惑星では、まさにそれが起こっています。なぜでしょうか？考慮すべき物理学上の大きな考え方が2つあります。

物理学における最初の概念は万有引力です。これは、質量を持つ任意の2つの物体間の相互作用です。そこで、内側の惑星（あるいは衛星）と、その真ん中にある大きな物体である「太陽」を考えてみましょう。どちらの物体も質量を持っているため、両者の間には引力が働きます。この力は、2つの質量の値（m ₁と m ₂）と、中心間の距離（r）に依存します。

この式において、Gは万有引力定数で、その値は6.67 x 10 ^-11 N*m ² kg ²です。少なくとも現実世界では、この値です。しかし、重力は距離とともに減少することに注目してください。これは重要です。

2つ目の重要な概念は、ニュートンの第二法則と加速度です。これは、物体の加速度の大きさは、物体に働く力の総量と次の式で表せるというものです。

では、加速度はどうでしょうか？これは速度がどれだけ速く変化するかを表す尺度として定義されます（厳密には、これは速度の時間変化率です）。これらの惑星は一定速度で動いているように見えますが、実際には方向も変化しています。速度はベクトルなので、方向の変化は速度の変化です。つまり、円運動する物体は一定速度で動いているときでも加速度を持っています。このような物体の加速度の大きさは、求心加速度（中心に向かうという意味）と呼ばれます。

この加速度は速度または角速度(ω)のどちらを使っても計算できることに注意してください。Redditのグラフから測定できたので、角速度の方を使います。つまり、重力によって「惑星」は円運動しながら加速するということです。この2つの式を組み合わせると、次のようになります。

周回する惑星の質量はm ₁で、もう一方の質量は静止していると仮定していることに注意してください。つまり、この惑星の質量は（方程式の両辺にあるため）打ち消されることがわかります。この方程式を内惑星と外惑星の両方に適用できるように書き直してみましょう。この方程式では、片方の辺に角速度と軌道半径（変化する2つの要素）が入っています。

Reddit のアイコンが実際の軌道である場合、次のことが当てはまるはずです (内側の惑星には下付き文字「i」を使用し、外側の惑星には下付き文字「o」を使用します)。

ほら、すごいでしょう？実は、重力定数や中心惑星の質量を知る必要がないんです。これはいいですね。それに、軌道半径と角速度については、方程式の両辺が同じなので、正しい単位さえ知る必要がありません。それでも、この軌道コン（軌道を回るアイコン）がどのように動くかのモデルを構築できます。

よし、うまくいくか見てみよう。外惑星の軌道直径は「1単位」だということを覚えておこう。つまり、以下の式が得られる。

明らかに、これら2つの値は同じではありません。これは何を意味するのでしょうか？このRedditは、現実世界の重力を持つ実際の軌道を回る惑星ではないということです。これは問題ありません。本当に問題ありません。むしろ良いことです。これで、ここで何が起こっているのかを正確に理解することができます。もし軌道距離が2つ以上あれば、角速度を軌道距離の関数としてプロットし、それを使って重力のモデルを解明することができます。しかし、データ点が2つだけでは、角速度と距離の機能的な関係について何も分かりません。

データポイントが2つしかないので、推測するしかありません。次のようなことを試してみたらどうでしょうか。

r 3の代わりにr ²を使うと、内惑星と外惑星の定数はそれぞれ1.07と1.09になります。これは良いですね。完全に同じではありませんが、非常に近い値です。つまり、重力は次のようになります。

これは実際の重力ではないので、Redditの重力の法則と呼ぶことができます。もちろん、Reddit版の定数Gや中心惑星の質量は知りません。しかし、この中心惑星の質量と重力定数の積は、約1.08 m ² s ²になるはずです。

さて、次は何でしょうか？モデル化できなければ、何かを本当に理解したとは言えません。それでは、モデルを構築してみましょう。

このモデルでは、GlowScriptを使用します。これはWebブラウザで実行でき、3Dビジュアライゼーション機能も備えたPythonのバージョンです。まだ使ったことがない方は、ぜひ試してみてください。とても便利です。数値計算を用いて、様々な時刻における惑星の位置を求めます。基本的な考え方は、計算を小さな時間間隔に分割することです。各時間間隔では、力が一定であると仮定し、それに基づいて新しい位置と速度を求めます。あとは、これを何度も繰り返すだけでモデルを作成できます。

以下は現実世界の重力を使用した数値計算の例です。

この Reddit モデルでは、いくつかの仮定を立てる必要があります。

中心の惑星は非常に質量が大きいため、周回する2つの惑星から重力を受けながらも、その運動は変化せず、静止したままです。
周回する惑星は互いに相互作用しません。
これは数値計算なので、数字が必要です。角速度は分かっていますが、距離は分かりません。外惑星の軌道直径は（1「単位」ではなく）1メートルと仮定します。

では、どうぞ。これが実際のコードです。「鉛筆」アイコンをクリックするとコードを確認（および変更）できます。再実行が必要な場合は、再生アイコンをクリックしてください。

やった！やった！これでRedditのアイコンが一から構築できた。

ああ、待って、放っておけないよ。宿題もいくつか出さなきゃ。

モデルを修正し、すべての惑星間に重力相互作用があるようにしてください。それでも安定状態は保たれますか？外側の惑星の質量は内側の惑星の2倍であると仮定できます。
公転する惑星が均一な密度を持つ球体であると仮定します。内惑星の半径は0.05単位、外惑星の半径は0.066単位（任意の単位）です。内惑星の質量を1 ukg（擬似キログラム単位）と仮定し、惑星の密度を求めます。外惑星の質量を求めます。
同じ惑星密度を使って、中心惑星の質量を求めましょう。次に、中心惑星の運動を考慮してモデルを修正します。注：もし軌道を周回する惑星が互いに相互作用しない場合、状況の対称性により中心惑星は動かないと考えられますが、念のため確認することをお勧めします。
Redditベースの重力モデルを使って、地球が太陽の周りを回る公転周期を計算しましょう。これが新しい1年の長さです。
この Reddit ベースの重力では、地球の表面でのあなたの体重はどれくらいでしょうか?
現実的な重力を持つように Reddit アイコンを再設計します。

WIREDのその他の素晴らしい記事