スカイダイビング中にキャッチボールをするのに最適なボール

この素晴らしい動画をご覧ください。2人のスカイダイバーが下降しながら小さなボールをパスし合っています。かなりクールだと思いませんか？でも、一体何が起こっているのでしょうか？どうやってこんな技を実現しているのでしょうか？特別なボールが必要なのでしょうか？このクールな技の物理的な仕組みを見ていきましょう。

すべての物体は同じ加速度で落下するという話を聞いたことがあるかもしれません。ガリレオがピサの斜塔から質量の異なる2つの球を落としたという逸話さえあります。真偽は定かではありませんが、ガリレオの主張は、重力と物体の加速度はどちらも質量に依存するということを示すことでした。この2つの考えを組み合わせると、質量は打ち消し合います。地球の表面に落とされたあらゆる物体は、約9.8メートル毎秒の加速度で落下し、加速します。ただし、そうでない場合は例外です。そうです、この考えはおおよそ正しいだけです。

テニスボールとバスケットボールを立った状態から同時に落とせば、2つは同時に地面に着地します。しかし、石と羽根は同時に地面に着地しません。これは、重力以外の力、つまり空気抵抗が作用しているからです。

空気抵抗力については、すでにある程度の経験があるかもしれません。走行中の車の窓から手を出せば、空気が押し寄せてくるのを感じるでしょう。基本的なモデルとして、この空気抵抗力には以下の特性があります（これはあくまでモデルです）。

空気抵抗力は物体の速度（v）とともに増大します。
力は物体の速度と反対方向に働きます。
それは物体の断面積 ( A ) と形状によって決まります。このパラメータを抗力係数 ( C ) と呼びます。
それは空気の密度（ρ）に依存します。

この力の大きさは方程式で表すと次のようになります。

1/2という係数や速度の2乗については気にしないでください。これらは、落下するボールを観察するために使用するこの力のモデルの特性に過ぎません。

では、落下する物体（例えばボール）に、この空気抵抗と重力が作用するとどうなるでしょうか？空気抵抗は速度に依存するため、静止状態からボールを放した直後は空気抵抗は作用しません。重力だけが作用している状態では、ボールは加速して落下します。しかし、ボールが動き始めると、落下方向とは逆方向に空気抵抗が作用し始めます。この二つの力が作用することで、加速度は重力だけの場合よりも小さくなります。しかし、ボールはそれでも落下し、加速していきます。

最終的に、ボールの速度は上昇し、下向きの重力と上向きの空気抵抗が等しくなります。反対方向に等しい力が作用すると、ボールにかかる正味の力はゼロになり、ボールの速度上昇は止まります。ボールは一定の速度で落下します。この速度上昇が止まるため、「終端速度」と呼ばれます。

落下するボールの終端速度を計算したいとします。重力（mg、mは質量、gは重力場）を空気抵抗力と等しく設定し、速度を解くことで計算できます。計算式は以下のようになります。（数学的な注意）

では、様々なボールの終端速度の値を調べてみましょう。まず、あまり変化しない値が2つあります。空気の密度（ρ）は約1.2 kg/m ³、そして球体の抗力係数（*C）は約0.47です。しかし、終端速度は質量と半径の両方に依存します。球体の断面積は半径の2乗に比例するからです。

これから、落とせるボールの種類を全部考えてみましょう。バスケットボール、野球ボール、サッカーボール。何でもいいです。質量と半径を求めれば、終端速度を計算できます。では、スカイダイバーの終端速度はどうでしょうか？終端速度は、人の体の大きさと自由落下時の姿勢によって異なりますが、おおよそ時速120マイル（54メートル/秒）と推定されます。

様々なボールの終端速度のグラフです。質量と半径は（もちろん）Wikipediaで調べました。

なるほど。これらのボールはどれもスカイダイビング中に投げるのには使えません。実際はもっとひどいです。上の動画で二人のスカイダイバーが映っているのですが、彼らは「座っている」姿勢です。通常の自由落下姿勢からこの姿勢に変化することで、終端速度はおそらく65m/sくらいにまで上昇するでしょう。これらのボールは、落下する人間に追いつくことはできないでしょう。

正直、ゴルフボールで十分だと思ったんです。他のボールに比べて密度がかなり高いんです。でも問題は、空気抵抗は半径の2乗で決まるのに、重さは半径の3乗で決まることなんです。密度はそこそこあるんですが、小さすぎて落下速度が追いつかないんです。

最後に、このスカイダイビングボールに戻りましょう。これは実際に購入できる商品で、「ウラジボール」と呼ばれています。どうやら、このボールには重りが付いていて、スカイダイバーのような終端速度を実現しているようです。でも、ちょっと待ってください！このボールには追加の重りが付いていて、高度1,800フィート（約540メートル）に達すると、その重りが解放されるのです。

さて、ブラディボールの仕様については触れません。代わりに、このボールをパスするとどうなるか考えてみましょう。空気抵抗と重力が釣り合うので、平らな面の上の摩擦のないパックと同じになるのでしょうか？そう思えるかもしれませんが、そうではありません。水平方向には依然として大きな抗力がかかります。なぜでしょうか？簡単に言うと、空気抵抗は速度の2乗に依存するからです。図で説明しましょう。

終端速度で落下するボールを水平に投げたとします。ボールは主に下向きに動いていますが、少し横向きにも動いています。この場合も、ボールにかかる力は2つだけです。下の図をご覧ください。

空気抵抗の水平成分は、水平速度だけに依存するのではないことが分かりました。空気力には速度の二乗項が含まれているため、水平方向の速度全体に依存します。つまり、高速で落下するボールは、終端速度であっても、他のスカイダイバーに投げる際には、依然として大きな水平方向の抵抗力を受けます。しかし、これは単に、ボールを友達のところまで届けるために、少し強く押す必要があるかもしれないというだけのことです。それでも楽しいゲームになるはずです。ただ、ボールを落とさないように気をつけてください。

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