想像してみてください。あなたは深宇宙を漂っていて、わずか3メートル先にビーチボールほどの可愛らしい小惑星があります。その岩石の質量はあなたの2倍あります。あなたはその小惑星に行きたいのですが、スラスターを持っていません。幸いにも、あなたは物理学の知識があるので、重力があなたと小惑星を引き寄せるだろうと考えます。賢い！問題は、どれくらい時間がかかるかということです。
(そして、残念ですが、 『ゼロ・グラビティ』のサンドラ・ブロックのような消火器もありません。)
何か直感はありますか？ぜひ推測してみてください！数分？それとも数年？空気は無限にあるわけではないので、これは重要です。リアルタイムでこれを計算できる方法をいくつかお見せします。
イラスト: レット・アラン
数値的手法
上記の問題は、実は私が学生に提案したものです。私が担当する物理学入門コースでは、学生たちは問題を解くための数値計算をしなければなりません。数値解法（解析解法ではなく）では、問題を一連の小さな問題に分割することで、段階的に答えに辿り着きます。
これは今回のケースでは良い戦略です。なぜなら、2つの物体間の重力は、それらが近づくにつれて連続的に変化するからです。これは複雑な問題です。そこで、このプロセスを短い時間間隔に分割し、各間隔内では力が一定であると仮定することで、数学を簡略化できます。その方法は次のとおりです。
各ステップで、(1) 開始位置を記録します。(2) その距離における力を計算し、(3) それを用いて、その区間における運動量の（平均）変化を求めます。(4) 区間終了時の新しい位置を求めます。あとは、これを繰り返し、終点に到達するまで繰り返します。数百、数千回の増分が必要になる場合もありますが、コンピューターにとっては簡単な作業です。
実は、この学生は別のシナリオから始めていました。宇宙船をはるかに大きな小惑星の近くを移動させ、通過するのにどれくらいの時間がかかるかを調べたかったのです。プログラムを書くのは嫌だったので、昔ながらの方法で手作業で計算することにしました。彼のアプローチは巧妙でした。まず、宇宙船が一定速度で移動している場合にかかる時間を計算し、その時間を5つの時間間隔に分割したのです。
イラスト: レット・アラン
すべては順調だったのですが、あまり面白い問題ではありませんでした。宇宙船が小惑星を通過する際の運動量の変化はごくわずかでした。実際、重力が一定であると仮定しても、ほぼ同じ答えが得られました。そこで、少し刺激を与えるために、宇宙飛行士のシナリオを考案しました。
これにより、いくつかの難しい側面が生じました。まず、小惑星ははるかに小さいため、移動します。そして、時間間隔の適切なサイズをどのように選択すればよいでしょうか？どちらの天体も静止しているため、最初は非常にゆっくりと移動しています。もっと小さな間隔でも変化を計算することは可能ですが、解決には膨大な量の計算が必要になります。（実際には、等間隔である必要はありませんが、楽しみのためにその制約はそのままにしておきましょう。）
OK、コンピューター
まず、簡単なPythonスクリプトを使ってこの問題を解く方法をお見せしましょう。まずは、任意の2つの物体間の重力の大きさに関する標準モデルから始めましょう。
イラスト: レット・アラン
この式では、m 1とm 2 は2つの物体の質量です。宇宙飛行士の体重は100 kg、岩石の質量は200 kgとしましょう。また、rは両者の距離（3メートル）、Gは万有引力定数で、その値は6.67 x 10 –11 N× m 2 /kg 2です。まず、Gが0.0000000000667という非常に小さな数値であることに注目してください。つまり、2つの物体のどちらかが巨大でない限り、それらの間の重力は非常に小さいということです。ですから、あまり期待できません…
では、数値計算をPythonスクリプトに書き込んでみましょう。（コードはこちらです。）時間間隔を100秒に設定し、宇宙飛行士と岩石の中心が0.5メートル離れるまで更新を続けます。これは、両者が表面接触する時間の大まかな目安です。このアニメーションは、草が生えるのを見るのと同じくらい面白くないので、ここでは見ません。以下は、両物体が接触するまでの位置を示したグラフです。
すごいでしょう？このグラフから、2つの物体は互いに近づいているのに、宇宙飛行士は小惑星よりも遠くまで移動し、接触までに11.03時間かかっていることがわかります。（上のグラフは時間を秒単位で示しています。「4e+4」は4×10の4乗、つまり40,000秒を意味し、約11.1時間です。）これはそれほどすごい数字ではありませんね。
でも、それが正しいとどうやってわかるのでしょうか？もしかしたら、100秒という時間間隔が長すぎたのかもしれません。そのせいで推定値がずれてしまったのかもしれません。簡単なテストをしてみましょう。コードを開いて、50秒に減らしてみてください。そうすると、接触時間は依然として11時間になることがわかります。つまり、この結果はおそらくかなり良いものでしょう。
ああ、余談ですが、宇宙飛行士の最終速度は毎秒0.00017メートルです。確かに遅いですね。カタツムリはおそらく毎秒0.001メートルくらいなので、宇宙飛行士はカタツムリの6倍も遅いことになりますね。それでは「美しく青きドナウ」を歌いましょう。
封筒の裏
でも、もし宇宙服のポケットにコンピューターが入っていなくて、ペンとパッドだけだったらどうでしょう？できるでしょうか？100秒間隔で計算すると約400回の反復計算が必要になり、作業から目を離す前に小惑星にぶつかってしまうでしょう。でも、もっと簡単にできるアイデアがあります。
- 任意の時間間隔（例えば100秒）から始めます。その間隔の終わりに宇宙飛行士の速度を求めます。その速度で小惑星に到達するのにかかる時間を求め、5で割ります。これで次の時間間隔が得られます。各ステップの終わりにこれを繰り返し、次の時間ステップのサイズを計算します。
- ブライアン・フランクの素晴らしいブログ記事で、普段よく使う時間変化率ではなく、位置による速度変化率を考慮に入れているのを見つけました。この方法を使えば、問題を距離単位（例えば0.5メートル）に分割できそうです。総距離は分かっていても、総時間は分からないので、こちらの方が簡単かもしれません。
次元解析
最後に、時間の概算を得るためのもう一つの方法が、次元解析と呼ばれるものです。ここでの基本的な考え方は、すべての入力値の測定単位（m、kg、s、N）に注目することです。これらの単位は、ほぼ数値のように扱うことができます。例えば、代数問題を簡約するのと同じように、分数の上下両方に現れる単位を消去することで、より単純な式が得られることがよくあります。
宇宙飛行士と小惑星への入力内容を確認してみましょう。
- 質量（100 kgおよび200 kg）
- 重力定数（6.67 x 10 –11 N× m 2 /kg 2、1 N = 1 kg×m/s 2なので、単位は m 3 /kg×s 2）
- 物体間の距離（r）（3メートル）
実際の数値を無視してこれらの単位だけをいじってみると、次の式が得られます。
イラスト: レット・アラン
わかりました。では、質量はどうでしょうか？問題には質量が2つありますが、次元解析では1つだけです。とりあえず平均値の150kgを使います。すると、衝突時間は14.4時間となります（ここでも単位を秒から時間に変換しました）。
でも、見てみて。悪くないね！しかも、紙で計算するのにたった5分しかかからなかった。ああ、正確じゃないけど、いい近似値だね。これで、あの小惑星に到達するのに100年も100秒もかからないってことがわかった。これ、実現可能だ！
目的地に向かって漂流している間、多少の自由時間があるので、最初の見積もりを、10,000秒の長さの5つの時間間隔に分割することで精緻化することができます。つまり、紙の上で計算するのは5回だけです。それでも間違った答え（13.9時間）になりますが、正しい方向への一歩です。
ああ、他にもすごいことがあるんだ。もしこの宇宙飛行士と小惑星がそれぞれの重心の周りを円軌道で回っていたら、一周するのにかかる時間もほぼ同じになるはず。すごいことだよね。
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