アメリカの投票砂漠を発見する賢い方法

この物語 のオリジナル版はQuanta Magazineに掲載されました。

2020年のジョージア州知事選挙では、アトランタの一部の有権者が投票までに10時間以上も待たされました。長蛇の列の原因の一つは、過去7年間で約200万人の有権者が流入したにもかかわらず、ジョージア州の投票所の約10%が閉鎖されていたことです。これらの閉鎖は、民主党に投票する傾向のある黒人住民が多数を占める地域に偏っていました。

しかし、「投票砂漠」の場所を正確に特定するのは、一見するとそれほど簡単ではありません。投票所の収容能力不足が長い待ち時間に反映される場合もあれば、最寄りの投票所までの距離が問題となる場合もあります。これらの要因を体系的に組み合わせるのは難しいのです。

今夏、 SIAM Review誌に掲載予定の論文で、カリフォルニア大学ロサンゼルス校の数学者メイソン・ポーター氏と学生たちは、位相幾何学のツールを用いてまさにそれを実現した。論文の共著者の一人、アビゲイル・ヒコック氏は、アトランタの長蛇の列の写真を見てこのアイデアを思いついた。「投票のことばかり考えていました。特に不安を掻き立てる選挙だったことも一因です」と彼女は語った。

位相幾何学者は、変形を受ける幾何学的形状の根底にある性質と空間関係を研究します。2つの形状は、引き裂いたり、接着したり、新たな穴を開けたりすることなく、連続的な動きによって一方が他方へと変形できる場合、位相的に等価であるとみなされます。

一見すると、位相幾何学は投票所の配置問題には不向きに思える。位相幾何学は連続的な形状を扱うのに対し、投票所は離散的な場所にあるからだ。しかし近年、位相幾何学者は、点を線で結んだグラフを作成し、そのグラフの特性を分析することで、離散的なデータにも応用できるようになった。ヒコック氏によると、これらの手法は投票所の分布を理解するだけでなく、病院、食料品店、公園へのアクセスが良い人を調べるのにも役立つという。

ここからトポロジが始まります。

グラフ上の各点の周りに小さな円を描くことを想像してみてください。円の半径は最初はゼロですが、時間とともに大きくなっていきます。具体的には、投票所の待ち時間を超えると、円は拡大し始めます。その結果、待ち時間が短い場所では円が大きく（最初に大きくなり始めます）、待ち時間が長い場所では円が小さくなります。

いくつかの円は最終的に互いに接します。その場合、円の中心点を線で結びます。複数の円が重なる場合は、それらの点を「単体」として結びます。単体とは、三角形（2単体）や四面体（3単体）などの形状を指す一般的な用語です。

これらの図形は、住民が投票する時間があったであろう地理的な位置を示しています。図形に完全に囲まれた空白の領域は「穴」と呼ばれます。これらの穴は、住民が投票所へ向かう途中、または投票のために列に並んで待つ場所です。時間の経過とともに、すべての穴は消えていきます。穴が消えるのに長い時間がかかる場合、つまり数学用語で「消える」場合、その地理的な地域は投票所への適切なアクセスが不足していることを意味します。

研究者たちは各都市について、「死亡時間」の中央値と分散を算出した。中央値が高いということは、その都市に投票所が不足していることを示し、分散が大きいということは、投票所へのアクセスが不均一であることを意味する。シカゴは死亡時間の中央値が最も低い都市の一つであり、ニューヨークとアトランタは最も高い都市の一つであった。研究者たちはまた、顕著な外れ値を示す地域も調査した。その結果、サウス・フルトンとクリフトンデールを含むアトランタ大都市圏の一帯が、調査全体を通して「死亡値」が最も高いことが判明し、ここが特に投票しにくい地域であることが示された。

ポーター氏は、待ち時間に関するより詳細なデータを得たいと考えている。彼らが使用したデータセットは、個々の投票所ではなく、選挙区全体の平均値だった。それでも、この研究には関与していないウィリアムズ大学の数学者チャド・トパーズ氏は、データセットの限界にもかかわらず、研究チームは驚くほど多くの情報を抽出できたと述べた。「彼らは、各個人がそれぞれの投票所にどれだけアクセスしやすいかを考慮していないにもかかわらず、投票率について何らかの結論を出しているのです」とトパーズ氏は述べた。

ポーター氏は、数学者たちが高度な数学的手法を用いて、ゲリマンダー（選挙区の意図的な偏り）を定量化することに成功していると指摘する。過去10年間のゲリマンダーに関する数学的研究の進歩は、模範となるべきだと彼は考えている。「まだ始まったばかりです」と彼は述べた。「もっと多くの人がこれらの問題に取り組むことを期待しています。」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。