船外に石を落とすと、水位はどうなるでしょうか?

物理学の問題は、皆がすぐに答えに同意できない時が一番楽しいです。直感的だったり当たり前だと思っていたことが、そうでない時もあります。解決策を巡って何時間も議論して楽しむことができ、最終的には何かを学ぶこともあるでしょう。

昔からずっとある、一見当たり前の疑問の一つです。小さな池に浮かんでいる船に大きな岩があるとします。もし岩を船外に投げ捨てたら、池の水位は上がるでしょうか、下がるでしょうか、それとも変わらないでしょうか？

友達や家族と議論してみましょう。答えが正しいと納得してもらうまでの間、岩が入った私のボートの写真を載せておきます。

ええと、これは実際にはボートではなく、ペットボトルの一部です。また、「岩」は鉛の重りで、「池」はビーカーです。でも、こうすることで、物体を水に落としたときに水位がどうなるかを見ることができます。

船が水面に浮かんでいるとき、船には2つの力が働いています。まず、下向きの重力があります。これは、船と船上のすべてのものの質量（m）と重力場（g = 9.8ニュートン/キログラム）の積に等しい力です。この積はしばしば「重量」と呼ばれます。

もう一つの力は、水と浮力の相互作用による上向きの力です。この浮力については2つのことが言えます。1つ目は、ボートが浮いている場合、上向きの浮力はボートの重量と等しくなければならないということです。2つ目は、浮力はボートが押しのけた水の重量と等しいということです。

この浮力は、水の体積 (V _d ) と水の密度 (ρ _w ) および重力場 (g) を使って計算できます。

これで、小さな池に浮かぶ小さなボートの様子を見てみましょう。できるだけ簡単にするために、ボートの壁は質量がないと仮定しましょう。これは突飛な近似ではありません。というのも、私のボートは実際にはペットボトルだからです。つまり、重さは岩だけなのです。（ご心配なく。後でもっと現実的な例を挙げます。）力の図を以下に示します。

浮力（F _B = ρ _w × V _d × g）は岩石の重さ（m _r × g）に等しいため、押しのけられた水の体積（V _d）を表す式は次のようになります。

この体積が必要なのは、ボートを追加したときに「池」の水位が上昇する量だからです。文字通り、水位の上昇量の定義です。

さて、岩を水に落としてみましょう。ボートはもはや重要ではなく、質量がないので水を押しのけることもありません。岩だけにかかる力の図を以下に示します。

この岩はボートよりもはるかに小さいため、ボートに乗っていた時よりも水を押しのける力は小さくなります。つまり、上向きの浮力も小さくなり、下向きの重力と釣り合うほどの力ではなくなります。そのため、岩は池（またはビーカー）の底に接し、上向きの力（F _f）が加わります。

浮力が小さくなると、押しのけられる水の量も少なくなります。つまり、私たちの疑問の答えが明らかになる時が来たということです。水位は下がるはずです！

驚きましたか？岩が水を押しのけて水位を押し上げるので、水位が上昇するだろうとよく考えますが、それは間違いです。私たちは過去の経験に基づいて答えを出すことが多いですし、おそらくあなたもコップに入った水にビー玉を入れて水位を上げたことがあるでしょう。この場合も同じことが起こると考えるのが妥当でしょう。

しかし、グラスにビー玉を入れることは、先ほどのボートのシナリオとは異なります。ビー玉はボートに浮いていないので、そもそも水の中にはありません。おそらくポケットか何かの中に入っているでしょう。そして、ポケットからビー玉を取り出しても、水位には影響しません。ビー玉をグラスに入れると、水は上昇するしかなく、水位が上昇します。これは、岸辺に立って池に石を投げ込んだ時と同じ現象です。

一方、船の上の岩は、落とされる前から既に水を押しのけています。だからこそ、この2つのケースは異なり、これがこの物理学の面白い問題となっているのです。

以下は、ビーカー池とペットボトルボートを使った実際の写真です。

水位の低下量を表す式も得られます。岩とボートの組み合わせによって押しのけられた体積は既に計算済みです。これを、最初に押しのけられた水の体積 V ₁としましょう。岩が底にある場合、岩自体の体積と同じ量の水を押しのけます。この岩の密度を ρ _rとすると、押しのけられる体積は V ₂になります。

これにより、体積、つまり池の水滴の体積に差が生じます。

ちょっとした楽しみのために、このボートと岩の小さな実験版の値を入れてみましょう。この場合、岩は実際には質量130グラムの鉛の重りです。水の密度は1立方センチメートルあたり1グラム（g/cm ³）、鉛の密度は11.3 g/cm ³です。これらの値を入れると、水位の低下は118 cm ³になります。

ビーカーの目盛りを見ると、重りをボートに入れた状態では水位は670ミリリットル（670 cm ³）です。重りを水に入れると、110 mLの変化で560 mLに減ります。私の計算とかなり近いですね。いいですね。

本物の池に本物のボートを浮かべたらどうでしょうか?

では、実際に計算してみましょう。質量100キログラム（m _{b ）の小型ボートがあるとします。ボートには質量70キログラム（m p} ）の人間と、質量50キログラムの岩（m _r）が乗っています。池は半径3メートル、深さ2メートルの完全な円筒形のプールです。

まず、岩がボートに乗っているときに押しのけられる水の体積を計算する必要があります。下向きの重力（浮力に等しい）は、重力場と質量（ボート＋人＋岩）の合計を掛け合わせたものに等しくなります。これを使ってV _{1 を}求めることができます。

人が岩を海に投げ捨てる場合、考慮すべき体積が2つあります。船と人によって押しのけられた体積と、海底の岩によって押しのけられた体積です。岩の体積は岩の密度によって異なります。

これら 2 つの体積の差をとると、ボートの質量の部分は打ち消されます。

ほら、質量のない船を使っても大丈夫だって言ったでしょ！岩の密度が水より大きければ（つまり沈むなら）、右辺の式は負になり、岩を船から投げ出すと水位が下がります。 

実際の質量の値と岩石の密度を4 g/cm ³とすると、体積は0.03立方メートル低下します。円筒形の池の半径が3メートルだとすると、水位は1ミリメートル下がります。そうです、この小さな池にとっては、これは非常に小さな体積低下です。しかし、それでも水位の低下であり、これはいつまでも面白い物理の問題となるでしょう。