数学者らが正十二面体に関する新たな発見を報告

数学者は 2,000 年以上をかけて5 つのプラトン立体 (正四面体、立方体、正八面体、正二十面体、正十二面体) の構造を分析してきましたが、それらについてはまだ分からないことがたくさんあります。

現在、3人の数学者が正十二面体に関する最も基本的な疑問の1つを解明しました。

プラトン立体の頂点の一つに立っているとしましょう。他の頂点を通らずに、最終的に出発点に戻る直線経路は存在するでしょうか？正方形または正三角形で構成される4つのプラトン立体（立方体、正四面体、正八面体、正二十面体）については、数学者たちは最近、その答えは「ノー」であると結論づけました。ある頂点から始まる直線経路は、必ず別の頂点にぶつかるか、元の頂点に戻らずに永遠に回り続けることになります。しかし、12個の五角形で構成される正十二面体については、数学者たちはどうなるか分かりませんでした。

ジャヤデフ・アトレヤ、デイヴィッド・アウリシノ、パトリック・フーパーは、正十二面体上にそのような経路が実際に無限に存在することを実証した。5月にExperimental Mathematics誌に掲載された彼らの論文は、これらの経路が31の自然な族に分けられることを示している。

解決には最新の技術とコンピューターアルゴリズムが必要でした。「20年前、（この問題は）到底手の届かないものでした。10年前なら、必要なソフトウェアをすべて開発するには膨大な労力が必要でした。ですから、ようやく今になってようやくすべての要素が揃ったのです」と、パリのジュシュー数学研究所のアントン・ゾリッヒ氏はメールで述べています。

このプロジェクトは2016年に、ワシントン大学のアスレヤ氏とブルックリン・カレッジのアウリシノ氏が、プラトン立体に折り畳める厚紙の切り抜きを集めて遊び始めたことから始まりました。様々な立体を組み立てていく中で、アウリシノ氏は、平面幾何学に関する最近の研究成果が、正十二面体上の直線経路を理解するのにまさに必要なものかもしれないと気づきました。「私たちは文字通り、これらのものを組み合わせていました」とアスレヤ氏は言います。「いわば、無計画な探求がチャンスに出会ったようなものでした。」

研究者たちはニューヨーク市立大学のフーパー氏と共同で、ある角から他の角を避けてその角に戻るすべての直線経路を分類する方法を解明した。

シカゴ大学のハワード・マサー氏は、彼らの分析は「見事な解決策だ」と述べた。「何の躊躇もなく『ああ、 ...

隠れた対称性

数学者たちは1世紀以上もの間、正十二面体上の直線経路について考察してきましたが、「並進面」に関する理解が深まったことで、近年、このテーマへの関心が再び高まっています。並進面とは、多角形の平行な辺を貼り合わせて形成される面であり、ビリヤード台の軌道から、単一の光源が鏡張りの部屋全体を照らすことができるかどうかという問題まで、角のある図形上の直線経路に関する幅広いテーマの研究に役立つことが証明されています。

これらの問題すべてにおいて、基本的な考え方は、研究対象の経路をより単純化するように図形を展開することです。つまり、プラトン立体上の直線経路を理解するには、まず立体が平らになるように辺を十分に切り開き、数学者が「ネット」と呼ぶものを形成することから始めます。例えば、立方体の場合、ネットの一つは6つの正方形で構成されたT字型です。

正十二面体を平らに伸ばし、その平らな形状に沿って任意の方向に歩いているところを想像してみてください。最終的に網の端にぶつかり、その時点で私たちの進路は別の五角形（正十二面体を切り開く前に現在の五角形に貼り付けられていた五角形）へと飛び移ります。進路が飛び移るたびに、36度の倍数で回転します。

こうした飛び跳ねや回転を避けるため、網の端に当たった時に、網を回転させた新しいコピーを貼り付け、そのまま端まで進むことができます。冗長性が追加されました。元の正十二面体の各五角形を、それぞれ異なる五角形が表すようになったのです。つまり、世界はより複雑になりましたが、進むべき道はよりシンプルになりました。世界の端を越えて拡張する必要があるたびに、新しい網を追加し続けることができるのです。

パスが 10 個のネットを通過するまでに、元のネットは 36 度の倍数ごとに回転しており、次に追加するネットは最初のネットと同じ向きになります。つまり、この 11 番目のネットは、単純なシフト (数学者が移動と呼ぶ) によって元のネットに関連付けられています。11 番目のネットを接着する代わりに、10 番目のネットのエッジを元のネットの対応する平行エッジに接着するだけで済みます。図形はテーブルの上に平らに置かれなくなりますが、数学者は図形が以前の状態の平坦な形状をまだ「記憶している」と考えます。そのため、たとえば、接着されていない図形で直線であったパスは直線であるとみなされます。対応する平行エッジのこのような可能な接着をすべて実行すると、移動面と呼ばれるものが得られます。

得られた曲面は、正十二面体の非常に冗長な表現であり、各五角形が10個ずつ複製されています。そして、それははるかに複雑で、81個の穴を持つドーナツのような形状に接着されます。それでもなお、この複雑な形状により、3人の研究者は並進曲面の豊富な理論にアクセスすることができました。

この巨大な曲面に取り組むため、数学者たちは比喩的にも文字通りにも、袖をまくり上げた。数ヶ月間この問題に取り組んだ後、彼らは81個の穴を持つドーナツ面が、正十二面体だけでなく、最も研究されている並進曲面の一つの冗長な表現を形成していることに気づきました。二重五角形と呼ばれるこの曲面は、二つの五角形を一つの辺に沿って接続し、さらに平行な辺を接着することで、対称性を豊富に備えた二つの穴を持つドーナツを作り出します。

この形は、偶然にもアトレヤの腕にもタトゥーとして彫られていました。「二重五角形は以前から知っていて、大好きだったんです」とアトレヤは言います。彼は、アウリチーノと正十二面体を考え始める1年前にこのタトゥーを入れました。

二重五角形と正十二面体は幾何学的に近縁関係にあるため、前者の高度な対称性は後者の構造を解明するのに役立ちます。シカゴ大学のアレックス・エスキン氏（約15年前、アスレヤ氏の博士課程の指導教官でした）は、これを「驚くべき隠れた対称性」と表現しました。「正十二面体がこの隠れた対称群を持つという事実は、実に注目すべきことだと思います。」

これらの面の関係性から、研究者たちはドイツのカールスルーエ工科大学のミリアム・フィンスターが開発した、高度に対称的な並進面を解析するアルゴリズムを活用できるようになりました。フィンスターのアルゴリズムを応用することで、研究者たちは正十二面体上の角からその角自身に至るすべての直線経路を特定し、正十二面体の隠れた対称性に基づいてこれらの経路を分類することができました。

この分析は「これまでのキャリアの中で、最も楽しいプロジェクトの一つでした」とアスレヤ氏は語った。「常に新しいことに挑戦し続けることが大切です。」

この新たな結果は、何千年も研究されてきた物体でさえ、未だに秘密を秘めている可能性があることを示しているとエスキン氏は述べた。「正十二面体について新たな発見があったことは、（3人の数学者にとってさえ）非常に驚くべきことだったと思います。」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。

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