本当に必要なπはどれくらいですか?

今日は円周率の日です。円周率の最初の3桁が3.14で、日付が3月14日（アメリカでは3/14）であることから、この名前が付けられました。もちろん、地球上の他のほとんどの地域でも今日は3月14日ですが、アメリカでは14/3と表記されます。アメリカにとって、円周率の最も適切な分数表記である7月22日（または22/7）が円周率の日なのです。

円周率は無理数で桁が無限に続くため、実際には全てを書き出すことはできません。分数で表すことも、3.14のように小数で表すこともでき、それでも3桁しかありません。3.14159や3.14159265359、あるいは1兆桁で表すのはどうでしょうか。もっと良いと思いませんか？実際、いくつ必要なのでしょうか？

円周率とは何ですか?

まず、円周率（π）の定義から始めましょう。最も基本的な定義は、円の円周と直径の比です。つまり、円を描き、その直径（直径d）と円周（円周C）を測ると、C/d = πとなります。どんな円を使っても、この比率はすべての円で同じです。文末のピリオドのC/d比は、地球の赤道と同じです。（これは自分でも確認できます。）

しかし、円に限った話ではありません。円周率は他にも様々な場面で現れます。ランダムウォークや、振動するバネが上下に動く時間にも現れます。振り子を振ったり、ランダムな数字を並べたりするだけで円周率を求めることができます。さらに、円周率はオイラー恒等式にも現れます。これは非常にシンプルな（しかし、ほとんど魔法のような）方程式です。

オイラー恒等式の部分は、振動回路のような微分方程式の解や、量子力学におけるシュレーディンガー方程式の解に現れます。

円周率の一部だけ使用することは可能でしょうか?

すでにそうしています。円周率の全ての桁を書き出す人はいません。なぜなら、それは不可能だからです。問題は、円周率のどれくらいの桁数で十分なのかということです。

物理の授業では、ほぼ必ず円周率を表すのに3.14という2桁の数字を使います。でも、3に短縮してみてはどうでしょうか？そうすれば計算が楽になりますよね。では、円周率を3と仮定したらどうなるか見てみましょう。

Piとスピードメーター

まずは車のスピードメーターから始めましょう。スマートフォンの地図に表示される速度計ではありません。ダッシュボードにある、時速0マイルから120マイルまで表示できる本物のスピードメーターです。これは車輪の回転速度に基づいて速度を測定します。同様に、オドメーターは車輪の回転速度に基づいて車の走行距離を測定します。

車輪が 1 回転すると車はタイヤの円周だけ移動するため、走行距離計については次の関係が得られます。

ここで、 sは車輪の移動距離、fは回転数です。車輪が1回転（f = 1）すると、移動距離は2πR（車輪の円周）になります。この式では、f は部分回転または複数回転を表します。（度またはラジアンで測定された角度を使用することもできますが、ここでは単純な回転数で表しましょう。）

さて、速度計はどうでしょうか？移動距離がわかったので、速度は距離の変化率に過ぎません。つまり、次の関係式が得られます。

つまり、車輪の回転速度 (Δf/Δt) を見ることで線速度 (v) を求めることができるのです。必要なのは車輪の半径 ( R ) とπの値だけです。

さて、ちょっと面白いことを考えてみましょう。車輪の半径が25cmで、時速50マイル（秒速22.352メートル）で走る車があるとします。この場合、車輪の回転速度は1秒あたり14.2297回転になります。

しかし、逆の方向を考えたとしましょう。車両は同じ回転速度を測定しましたが、速度の計算にπ = 3の値を使用したとします。この場合、スピードメーターの読みは47.7466 mph (21.3446 m/s) になります。これは速度誤差が4.5%です。

ここで問題となるのは円周率だけではありません。そもそもスピードメーターは完璧ではないからです。もう一つ、タイヤのサイズも考慮する必要があります。直径の小さいホイールを使用すると、タイヤ1回転あたりの走行距離が短くなります。その結果、スピードメーターの数値は高く表示されすぎてしまいます。一方、直径の大きいタイヤを使用すると、速度は低く表示されすぎてしまいます。タイヤは摩耗したり、空気圧が適切でなくなったりすると、サイズが変わってしまうこともあります。

実際、米国運輸省によると、速度計は完璧に正確である必要はありません。「妥当な精度」があれば十分で、これはプラスマイナス5mphの誤差を意味するようです。（つまり、実際の速度が50mphの場合、45mphから55mphの範囲で表示される可能性があるということです。）つまり、この場合、πの値は3で十分です。これは良いことです。

地球の密度を調べる

ここで、円周率の値を 3 にして別の計算を行い、球体である地球の密度を調べてみましょう。

密度は、総質量と総体積の比（m/V）として定義されます。地球の質量は、重力を見ることで求めることができます。（詳細はこちらをご覧ください。）地球の直径を求める方法はいくつかあります。私は湖を使って計算しました。そうすれば、密度は球体の体積によって決まります。

もちろん、これは地球の平均密度を示したものに過ぎません。地表など、地球の一部は核よりも密度が低くなっています。しかし、地球の質量は5.972 x 10 ²⁴キログラム、半径は6.3781 x 10 ⁶メートルです。つまり、実際の密度は1立方メートルあたり5,494.87キログラムです。

値 3 を使用すると、密度は 5,754.21 kg/m ³になります。

大きな違いのように思えるかもしれませんが、実際にはどちらの答えも正確ではありません。地球は完全な球体ではなく、扁平回転楕円体だからです。地球の自転により、赤道の幅は北極から南極までの幅よりも少し広くなっています。つまり、この場合、πの値が3であってもそれほど問題にはならないということです。

三角関数はどうでしょうか?

古典的な数学の問題の多くは三角法、つまり三角形の長さと角度の研究を用いますが、今回はこの古典的な影の問題を取り上げます。問題はこうです。背の高い木が地面に影を落とします。影の長さは14.5メートルで、太陽は水平から34度の角度にあります。木の高さはどれくらいでしょうか？

ここに写真があります:

地面は木に対して垂直なので、木の影は直角三角形の一辺を形成します。さあ、これで三角法の問題の完成です。角度と三角形の隣接辺（影の長さ）が分かっています。木の高さを求めたいので、この三角形の反対側の辺の長さが必要です。これで正接関数が使えます。（正接 = 反対側/隣接）

π = 3 の 1 桁バージョンを使用した場合、高さの計算はどうなるでしょうか? 答えは、何もありません。

基本的な三角関数（正弦、余弦、正接）は、直角三角形の辺の比を表すものであることを覚えておいてください。角度が34度の三角形の場合、対辺と隣接辺の比は 常に 0.6745です。つまり、πの値を変えても何も変わりません。直角三角形のままで、辺の比も変わりません。

しかし、異なる角度に対するサイン、コサイン、タンジェントの値はどうやって求めるのでしょうか？最も古い方法は、三角関数の表で調べることです。これは、角度とそれに対応するサイン、コサイン、タンジェントの値が印刷されたリストです。ポケット電卓も似たような機能を持っています。通常は、表と近似値を組み合わせてタンジェントの値（34度）を求めます。ただし、πの値には依存しません。

NASA は円周率の何桁を使用していますか?

宇宙の距離のような広大な計算をするときに、桁数が重要かどうか見てみましょう。NASAはほとんどの計算で15桁、つまり3.141592653589793を使用しています。これで十分でしょうか？NASAジェット推進研究所からの完全な回答はこちらですが、ここでは簡潔にお答えします。

NASAの回答では、地球から125億マイル離れたボイジャー1号宇宙船を例に、円周率の数字を説明しています。（実際には、この回答は2015年に作成されたもので、現在ボイジャー号は145億マイルほど離れています。）しかし、これをボイジャー号から太陽までの距離と考えてみると、ほぼ同じになります。 

つまり、この膨大な距離は、太陽を中心とする巨大な円の半径、つまりボイジャーが太陽の周りを円軌道で回っているかのように想像できます。この円の円周は2πRを使って計算できます（R = 145億マイルとします）。円周を15桁にすると、円周は約910億マイルとなり、これは非常に長いです。円周の桁数を増やすと、例えば21桁にすると、円周は実際にはもっと長くなります。

しかし、重要なのは次の点です。6桁増えても、円周はわずか5.95インチしか伸びません。910億マイルを測って、誤差がわずか0.5フィート以下だなんて想像できますか？これは非常に正確です。つまり、15桁目以降を計算することにはあまり意味がありません。それを超えると、得られるものは著しく減少します。

でも、1桁だけ使うとどうなるでしょうか？ πに3を使うと、円周は91億マイル短くなります。確かに、違いが出ると思います。

念のため言っておきますが、この場合、1桁では足りません。15桁あれば、想像できるあらゆる用途に十分です。NASAにとっても十分です。

2022 年 3 月 15 日午後 4 時 37 分更新: このストーリーは、タイヤのサイズとスピードメーターの読み取り値の関係を修正するために更新されました。

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