ますますデータ主導の世界において、ウェーブレットと呼ばれる数学的ツールは、情報を分析し理解するための不可欠な手段となっています。多くの研究者は、データを連続信号の形で受け取ります。これは、時間とともに変化する途切れることのない情報の流れを意味します。例えば、地質物理学者が地下の岩層から反射する音波を聴いたり、データサイエンティストが画像をスキャンして取得した電気データストリームを研究したりするのと同じです。これらのデータは様々な形やパターンをとるため、全体を分析することも、個々の要素を分解して分析することも困難です。しかし、ウェーブレットはそれを助けます。
ウェーブレットは、異なる周波数範囲と形状を持つ短い波状の振動の表現です。ウェーブレットは多様な形態（ほぼあらゆる周波数、波長、特定の形状）をとることができるため、研究者はウェーブレットを用いて、ほぼあらゆる連続信号における特定の波形パターンを識別し、照合することができます。その幅広い汎用性により、ウェーブレットは画像処理、通信、そして科学データストリームにおける複雑な波動現象の研究に革命をもたらしました。
「実際、ウェーブレットほど私たちの技術社会に影響を与えた数学的発見はほとんどありません」と、ジョンズ・ホプキンス大学の理論物理学者アミール・ホマユーン・ナジミ氏は述べています。「ウェーブレット理論は、これまで実現不可能だった速度、スパース性、そして精度を重視した統一的な枠組みの中で、多くの応用への扉を開きました。」
ウェーブレット変換は、フーリエ変換として知られる非常に有用な数学的手法の一種のアップデートとして生まれました。1807年、ジョセフ・フーリエは、任意の周期関数（値が周期的に繰り返される方程式）が、正弦関数や余弦関数などの三角関数の和として表せることを発見しました。これは、研究者が信号ストリームを構成要素に分割できるようになり、例えば地震学者が反射音波の異なる周波数の強度に基づいて地下構造の性質を特定できるようになるため、有用であることが証明されました。
その結果、フーリエ変換は科学研究や技術の分野で数多くの応用に直接つながりました。しかし、ウェーブレット変換ははるかに高い精度を実現します。「ウェーブレット変換は、ノイズ除去、画像修復、画像解析において多くの改善への扉を開きました」と、太陽画像の解析にウェーブレット変換を用いているベルギー王立天文台の応用数学者兼天体物理学者、ヴェロニク・デルイユ氏は述べています。
フーリエ変換には大きな限界があるからです。フーリエ変換は信号に含まれる周波数の情報しか提供せず、タイミングや量については何も教えてくれません。まるで、札束の中にどんな種類の紙幣があるのかを判断する方法はあっても、それぞれの紙幣が実際に何枚あるのかは判断できないようなものです。「ウェーブレット変換は間違いなくこの問題を解決しました。だからこそ、ウェーブレット変換は非常に興味深いのです」と、スイス連邦工科大学ローザンヌ校の学長、マーティン・ヴェッテルリ氏は述べています。
この問題を解決する最初の試みは、ハンガリーの物理学者デニス・ガボールによるものでした。彼は1946年、信号を時間的に局所化された短いセグメントに分割してからフーリエ変換を適用することを提案しました。しかし、周波数成分が大きく変化する複雑な信号では、この方法では解析が困難でした。そこで、地球物理学者のジャン・モルレは、波動を調べるために時間窓を用いることを考案しました。時間窓の長さは周波数に依存し、信号の低周波セグメントには広い窓を、高周波セグメントには狭い窓を設定しました。
しかし、これらのウィンドウには依然として複雑な現実の周波数が含まれており、分析は困難でした。そこでモーレは、各セグメントを数学的に十分に理解されている類似の波形と一致させるというアイデアを思いつきました。これにより、これらのセグメントの全体的な構造とタイミングを把握し、はるかに正確に調査できるようになりました。 1980年代初頭、モーレはその外観から、これらの理想的な波形パターンを「オンドレット」と名付けました。これはフランス語で「ウェーブレット」（文字通り「小さな波」）を意味します。これにより、信号は特定の波長を中心とした小さな領域に分割され、一致するウェーブレットとペアにすることで分析できます。さて、先ほどの例に戻ると、現金の山を前にすると、各種類の紙幣が何枚含まれているかがわかります。
大まかに言うと、特定の周波数と形状を持つウェーブレットを生の信号の上にスライドさせる様子を想像してみてください。特によく一致する場合、それらのウェーブレット間のドット積と呼ばれる数学的演算がゼロ、あるいはそれに非常に近くなります。異なる周波数のウェーブレットで信号全体をスキャンすることで、信号列全体の全体像を捉えることができ、徹底的な分析が可能になります。
ウェーブレットの研究は急速に発展しました。パリのエコール・ノルマル・シュペリウール教授だったフランスの数学者イヴ・マイヤーは、コピー機で順番を待っていたところ、同僚からモルレと理論物理学者アレックス・グロスマンによるウェーブレットに関する論文を見せられました。マイヤーはすぐに魅了され、すぐに利用可能な列車に乗ってマルセイユへ向かいました。そこで彼はグロスマンとモルレ、そして数学者で物理学者のイングリッド・ドーブシー（現在デューク大学在学）と共同研究を始めました。マイヤーは後にウェーブレット理論の研究でアーベル賞を受賞しました。
数年後、ペンシルベニア州立大学でコンピューター ビジョンと画像解析を研究していたステファン マラットという大学院生が、ビーチで古い友人にばったり会いました。パリでマイヤーのもとで大学院生だったその友人は、マラットにウェーブレットに関する研究について話しました。マラットはマイヤーの研究が自身の研究にとって重要であることをすぐに理解し、すぐにマイヤーとチームを組みました。1986 年に彼らは、画像解析におけるウェーブレットの応用に関する論文を発表しました。最終的に、この研究が JPEG2000 の開発につながりました。これは、世界中で使用されている画像圧縮形式です。この手法では、スキャンされた画像の信号をウェーブレットで解析し、元の画像よりも全体的にはるかに小さいピクセルの集合体を生成しますが、それでも元の解像度で画像を再構築できます。この手法は、技術的な制約により非常に大きなデータ セットの送信が制限されていた場合に有効であることが証明されました。
ウェーブレットが非常に有用な理由の一つは、その汎用性です。これにより、ほぼあらゆる種類のデータをデコードできます。「ウェーブレットには多くの種類があり、圧縮したり、引き伸ばしたり、実際に見ている画像に合わせて調整することができます」と、ベルギーのルーヴェン・カトリック大学の数学エンジニア、ダーン・ホイブレクス氏は述べています。デジタル化された画像の波形は様々な側面で異なりますが、ウェーブレットは信号の低周波数または高周波数部分に合わせて伸縮させることができます。波形の形状も大きく変化する可能性がありますが、数学者たちはこの変動性に対応するために、波長スケールと形状が異なる様々なタイプ、つまり「ファミリー」のウェーブレットを開発してきました。
最もよく知られているウェーブレットファミリーの1つは、ドーブシー・マザーウェーブレットです。このウェーブレットファミリーのメンバーは自己相似フラクタル構造を持ち、大きな非対称のピークが小さなピークの複製を模倣しています。これらのウェーブレットは画像分析に非常に敏感であることが証明されており、専門家はフィンセント・ファン・ゴッホの絵画の真贋を判別するために使用しています。形状で知られる他のウェーブレットファミリーには、中央に1つの最大値と隣接する2つの最小値を持つメキシカンハットや、メキシカンハットに似ていますが平坦な部分ではなく鋭いピークを持つコイフレウェーブレット（エール大学の数学者ロナルド・コイフマンにちなんで名付けられました）などがあります。これらは、画像、音声信号、科学機器によって生成されるデータストリーム内の不要なノイズスパイクを捕捉して除去するのに役立ちます。
ウェーブレットは、音響信号の解析や画像処理だけでなく、基礎研究のツールとしても活用されています。データセット全体を一度に解析できるため、研究者は科学的データに潜むパターンを発見することができます。「ウェーブレットの応用範囲の広さには、いつも驚かされます」とホイブレクス氏は語ります。「ウェーブレットには、データを分析するための『正しい』方法となる何かがあるのです」。そして、それはどんな種類のデータであっても変わりません。
オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。
WIREDのその他の素晴らしい記事
- 📩 テクノロジー、科学などの最新情報: ニュースレターを購読しましょう!
- 巨大テック企業の黒人アメリカへの約束を検証する
- アルコールは誰も話したくない乳がんのリスクです
- 家族にパスワードマネージャーを使ってもらう方法
- フェイクニュースの偽写真に関する実話
- 最高のiPhone 13ケースとアクセサリー
- 👁️ 新しいデータベースで、これまでにないAIを探索しましょう
- 🎮 WIRED Games: 最新のヒントやレビューなどを入手
- 🏃🏽♀️ 健康になるための最高のツールをお探しですか？ギアチームが選んだ最高のフィットネストラッカー、ランニングギア（シューズとソックスを含む）、最高のヘッドフォンをご覧ください
