数学カップルが20年にわたる研究の末、群論の主要問題を解く

この物語 のオリジナル版はQuanta Magazineに掲載されました。

2003年、ブリッタ・シュペートというドイツ人大学院生が、群論として知られる数学分野における最大の未解決問題の一つ、マッケイ予想に遭遇しました。当初、彼女の目標は比較的控えめなものでした。彼女は、多くの数学者が既に証明してきたように、この問題の解決に少しでも前進をもたらすような定理を一つか二つ証明したいと考えていました。しかし、何年も経つうちに、彼女は何度もこの課題に引き戻されるようになりました。何か他のことに集中しようとすると、「ピンとこなかった」と彼女は言います。

これほど難解な問題をひたすら追求することで、学問的なキャリアに支障をきたす恐れもあったが、シュペートはそれでも全時間をこの問題に捧げた。その過程で、パリのジュシュー数学研究所に所属する数学者、マルク・カバネの研究室に出会う。カバネもシュペートの努力に感銘を受け、この予想にのめり込んだ。共に研究するうちに二人は恋に落ち、やがて家庭をもった。

彼らを夢中にさせた問題は、数学の主要テーマを群論研究者のための具体的なツールに変えるものである。数学は、全体を研究することが不可能なほど非常に複雑な抽象的対象で満ちている。しかし多くの場合、数学者たちは、そうした対象のより広範な特性を理解するには、その小さな断片を見るだけで十分であることを発見してきた。例えば紀元前3世紀、古代ギリシャの数学者エラトステネスは、わずか500マイルしか離れていない二つの都市で太陽が落とす影を測定することで、地球の円周をおよそ2万5000マイルと推定した。同様に、数学者たちが信じられないほど複雑な関数を理解したい場合、可能な入力の小さなサブセットに対してその関数がどのように振る舞うかを見るだけでよいかもしれない。それだけで、その関数が可能なすべての入力に対して何を行うかがわかる可能性がある。

マッケイ予想もこの原理のもう一つの例です。これは、群（研究が非常に困難になることもある重要な数学的実体）の徹底的な記述を定式化したい場合、そのほんの一部を見るだけで十分であることを示しています。

1970年代にこの予想が提唱されて以来、数十人の数学者が証明に挑戦しました。彼らは部分的には進歩を遂げ、その過程で群について多くのことを学びました。群とは、数学体系の様々な対称性を記述する抽象的な対象です。しかし、完全な証明は不可能に思えました。

そこにシュペートが登場した。彼女がこの問題を初めて知ってから20年、カバネスに出会ってから10年以上が経ち、二人の数学者はついに証明を完成させた。

カップルが結果を発表すると、同僚たちは驚きの声を上げた。「パレードが開かれるのを期待していました」とスタンフォード大学のペルシ・ディアコニス氏は語った。「何年も懸命に努力し、彼女はそれを成し遂げ、彼らはそれを成し遂げたのです。」

素数の力

マッケイ予想は奇妙な偶然の一致の観察から始まりました。

ジョン・マッケイは、ある友人から「聡明で、物腰柔らかで、魅力的なほどに無秩序」と評され、予想外の場所に数値パターンを見出す能力で知られていました。コンコルディア大学の数学者である彼は、おそらく「モンスター・ムーンシャイン予想」で最もよく知られています。この予想は1992年に証明され、いわゆるモンスター群と数論の特殊関数との深い関連性を確立しました。

マッケイは数年前に亡くなる前に、他にも多くの重要な関連性を発掘しました。その多くは群に関係しています。群とは、要素の集合と、それらの要素同士の関係に関する規則を組み合わせたものです。群は対称性の集合、つまり図形、関数、その他の数学的対象を特定の方法で変化させない変換と考えることができます。抽象的であるにもかかわらず、群は非常に有用であり、数学において中心的な役割を果たしています。

1972年、マッケイは有限群、つまり有限個の元を持つ群に焦点を当てました。彼は多くの場合、有限群の元のごく一部を調べることで、その重要な情報を推測できることに気付きました。特にマッケイは、元の群の内部で、シロー正規化子と呼ばれる特別な小さな群を形成する元に注目しました。

72個の要素を持つグループがあると想像してください。これだけではあまり多くのことが分かりません。そのサイズのグループは50種類存在します。しかし、72は素数の積、2 × 2 × 2 × 3 × 3、つまり2 ³ × 3 ²と表すこともできます。（一般的に、グループのサイズを表すために必要な素数が多ければ多いほど、グループは複雑になります。）これらの素数に基づいて、グループをより小さなサブグループに分解することができます。この場合、例えば8個（2 ³）の要素を持つサブグループと9個（3 ²）の要素を持つサブグループを検討できます。これらのサブグループを調べることで、グループ全体の構造、例えばグループが他にどのような構成要素で構成されているのかをより深く理解することができます。

これらのサブグループの1つに特定の要素をいくつか追加して、特別なサブグループ、すなわちシロー正規化子を作成します。72要素のグループでは、8要素と9要素のサブグループごとに異なるシロー正規化子を構築できます。これらはそれぞれ2-シロー正規化子と3-シロー正規化子と呼ばれます。

シロー正規化子は、それが構築される部分群と同様に、数学者に元の群について多くのことを教えてくれる。しかしマッケイは、この関連性は誰もが想像していたよりもはるかに強いと仮説を立てた。シロー正規化子が有限群の全体構造についての洞察を与えてくれるというだけではない。彼は、数学者が群を特徴付けるのに役立つ重要な量を計算したい場合、特定のシロー正規化子の集合の1つを見るだけでよいと主張した。つまり、そのシロー正規化子は全く同じ数によって特徴付けられるということだ。

この量は、特定の種類の「表現」の数、つまり行列と呼ばれる数の配列を用いて群の元を書き換える方法の数を数えます。このような数は一見恣意的に思えるかもしれませんが、数学者にとって群の元が互いにどのように関係しているかを理解する手がかりとなり、他の重要な性質の計算にも関わってきます。

有限群とそのシロー正規化群において、マッケイ量が常に同じであるべき理由は見当たらない。シロー正規化群は、より大きな群の元数のほんの一部、あるいはほんの一部しか含まないかもしれない。さらに、シロー正規化群は、しばしば大きく異なる構造を持つ。

バレンシア大学のガブリエル・ナバロ氏は、「アメリカの選挙では、総じて票数を数えますが、モンタナ州のこの小さな町では、割合的に全く同じです」と述べ、「似ているわけでもなく、多いわけでもなく、少ないわけでもなく、全く同じです」と続けた。

しかし、マッケイはまさにそれを予想したのです――すべての有限群について。もしこれが真実なら、数学者の仕事ははるかに楽になるでしょう。シロー正規化群は、その親群よりもはるかに扱いやすいからです。また、数学者がまだ解明できていない、より深い数学的真理の存在を示唆することになります。

マッケイが初めてこの偶然の一致を観察してから1年後、マーティ・アイザックスという数学者が、この偶然の一致が多くの群のクラスで成立することを証明しました。しかし、数学者たちはそこで行き詰まりました。特定の群については成立することを証明できたものの、まだ解決すべき群が無限に残っていたのです。

予想を完全に証明するのは極めて困難に思えた。しかし、結局のところ、この問題における次の大きな進歩には、歴史上最も困難な数学プロジェクトの一つの完成が必要となった。

群論にとって大きな飛躍、マッケイにとって小さな一歩

有限群の構成要素すべてを分類するこのプロジェクトは、最終的に数千もの証明を必要とし、完了までに100年以上を要しました。しかし2004年、数学者たちはついに、すべての構成要素が3つのカテゴリのいずれかに当てはまるか、そうでなければ26個の外れ値のリストに属さなければならないことを示すことに成功しました。

数学者たちは長い間、この分類が完成すれば、マッケイ予想のような問題を単純化するのに役立つだろうと考えていた。もしかしたら、すべての有限群について予想を証明する必要はないかもしれない。29種類の構成要素、あるいは関連する単純な群の集合をカバーする別の命題を証明すれば、マッケイ予想全体が自動的に導かれるかもしれない。

しかしまず、誰かがこの戦略が実際に機能することを証明しなければなりませんでした。分類が正式に完了したまさにその年に、アイザックス、ナヴァロ、そしてギュンター・マレは、マッケイ予想を再構成する正しい方法を見つけ出し、限られた数のグループにのみ焦点を当てれば済むようにしました。

この新しい集合の各群について、彼らはマッケイの提案よりも少し強い何かを示さなければならなかった。つまり、群とシロー正規化子の両方の表現の数が同じであるだけでなく、それらの表現が特定の規則に従って互いに関連している必要があったのだ。アイザックス、ナヴァロ、そしてマレは、このより強い命題がこれらの特定の群に当てはまるならば、マッケイ予想はすべての有限群に対して成り立つはずだと示した。（「これはユーロ2004の時のことでした」とナヴァロは回想する。「共著者たちは、私が試合を見るためにこっそり抜け出していることを知りませんでした。でも、重要なことは重要なのです。」）

3人による問題の定式化は大きな進歩でした。数年のうちに、数学者たちはこれを用いてマッケイ予想のほとんどのケースを解決しました。さらに、物体の一部を使って全体を研究するという関連問題を簡素化するのにも役立ちました。「これを青写真として用いることで、膨大な数の予想が簡素化されました」と、デンバー大学の数学者マンディ・シェーファー・フライ氏は述べています。

しかし、マッケイ予想の新しいバージョンが未解決のまま残された群のクラスが一つありました。「リー型群」です。これらの群の表現は特に研究が難しく、それらの間の関係がアイザックス、ナヴァロ、マルが概説した条件を満たすことを証明するのは困難でした。

しかし、マレの大学院生の一人、ブリッタ・シュペートがこの事件を担当した。

「私たちの執着」

2003年、シュペートはカッセル大学に着任し、マレ教授の指導の下、博士課程に進みました。彼女はマッケイ予想の研究にほぼ完璧な適性を持っていました。高校生の頃から、一つの問題に何日も何週間も取り組むことができました。特に忍耐力を試すような問題に情熱を注ぎ、「ある意味、それほど深くないトリック」を探し求めた長い時間を懐かしく思い出します。

シュペートは群の表現について可能な限り深く研究することに時間を費やした。大学院を修了後、彼女はその専門知識を活かしてマッケイ予想の解明をさらに進めることを決意した。「彼女は本当に素晴らしい直感力を持っています」と、彼女の友人であり共同研究者でもあるシェーファー・フライは語った。「こうなるだろうと見抜くことができるんです」

数年後の2010年、シュペートはパリ・シテ大学で働き始め、そこでカバネスと出会った。カバネスはマッケイ予想の再定式化版の中心となる狭い群の集合の専門家で、シュペートはよく彼のオフィスに足を運んで質問をした。カバネスは「いつも『あの群は複雑すぎる、なんてことだ』と反論していた」と彼は回想する。当初はためらいがちだったものの、彼もやがてこの問題に魅了され、「私たちの執着」となった。

リー型群には4つのカテゴリーがあります。シュペートとカバネスは共同で、それぞれのカテゴリーに対する予想の証明に着手し、その後10年間でいくつかの重要な結果を報告しました。

彼らの研究は、リー型群に対する深い理解へと繋がりました。これらの群は他の群の最も一般的な構成要素であり、したがって数学的に非常に興味深いものですが、その表現を研究するのは非常に困難です。カバネスとシュペートは、しばしば数学の異なる分野からの難解な理論に頼らざるを得ませんでした。しかし、それらの理論を掘り起こすことで、彼らはこれらの重要な群について、これまでで最も優れた特徴づけのいくつかを提供しました。

そうするうちに、二人は交際を始め、二人の子供に恵まれました。（二人は最終的にドイツに定住し、自宅にある三つのホワイトボードのうちの1つで一緒に作業を楽しんでいます。）

2018年までに、リー型群はたった一つのカテゴリーだけ残っていた。それが完成すれば、マッケイ予想は証明されたことになる。

その最後の事件にはさらに6年かかりました。

「素晴らしい成果」

第4種のリー群は「非常に多くの困難と、多くの悪い驚きに直面しました」とシュペートは述べた。（2020年にはパンデミックの影響で幼い2人の子供が学校に行けず、仕事が困難だったことも事態を悪化させた。）しかし、徐々に彼女とカバネスは、これらの群の表現の数がシロー正規化群の表現の数と一致し、表現の一致方法が必要な規則を満たしていることを示すことができた。最後のケースは完了した。これにより、マッケイ予想が正しいことが自動的に導かれた。

2023年10月、彼らはついに証明に十分な自信を得て、100人以上の数学者が集まった部屋でそれを発表した。1年後、彼らはそれをオンラインに投稿し、コミュニティ全体が理解できるようにした。「これはまさに驚異的な成果です」とマンチェスター大学のラダ・ケサールは述べた。

数学者は今や、群の重要な性質をシロー正規化子のみで自信を持って研究できる。これは、これらの抽象的な実体を理解するためのはるかに容易なアプローチであり、実用化の可能性もある。そして、この関連性を確立する過程で、研究者たちは「美しく、素晴らしく、奥深い数学」を開発したとナバロ氏は述べた。

他の数学者たちは今、マッケイが発見した奇妙な偶然がなぜ真実なのか、さらに深い概念的理由を探ろうとしている。シュペートとカバネスはそれを証明したが、比較的小さな集合が、より大きな親群についてこれほど多くのことを語るのに十分である理由を、数学者たちは未だに理解できていない。

「これらの数字が同じであるのには何らかの構造的な理由があるはずだ」とケッサー氏は語った。

何人かの数学者がこの関係性を理解しようと予備的な研究を行ってきましたが、今のところ謎のままです。

シュペートとカバネスはそれぞれ次の夢中になるものを探しながら、前進を続けている。シュペートによると、今のところマッケイ予想ほど彼女を夢中にさせたものはないという。「一度大きなことを成し遂げてしまうと、次の挑戦への勇気や興奮を見つけるのは難しいんです」と彼女は言う。「時には本当に大変な闘いでした。でも、おかげで毎日、生きる意味が湧いてきました」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。