数学者はサイコロを振ってじゃんけんをする

ビル・ゲイツの語りによると、ウォーレン・バフェットはかつて彼にサイコロゲームを挑んだそうです。バフェットが所有する4つのサイコロからそれぞれ1つを選び、振って、出た目が大きい方が勝ちというゲームです。しかし、そのサイコロは一般的なサイコロではなく、通常の1から6とは異なる数字の組み合わせでした。バフェットはゲイツに先に選ばせ、自分が一番強いサイコロを選ばせると提案しました。しかし、ゲイツはサイコロを吟味した後、バフェットが先に選ぶべきだと提案しました。

ゲイツはバフェットのサイコロが奇妙な特性を持っていることに気づいていた。それは、どのサイコロも最強ではないということだ。もしゲイツが先にサイコロを選んでいたら、バフェットはどのサイコロを選んでも、それよりも強いサイコロ（つまり、50%以上の勝率を持つサイコロ）を見つけることができたはずだ。

バフェットの4つのサイコロ（ A、B、C 、 Dとします）は、じゃんけんを思わせるパターンを形成しました。AはBに勝ち、BはCに勝ち、CはDに勝ち、DはAに勝ちます。数学者は、このようなサイコロの組み合わせを「非推移的」と言います。

「[自動詞的なサイコロ]が存在すること自体が直感的に全く理解できない」と、2013年にこのテーマに関する影響力のある論文を執筆した、サンノゼにあるアメリカ数学研究所（AIM）所長のブライアン・コンリー氏は述べた。

数学者は50年以上前に、自動詞的なサイコロの最初の例を考案し、最終的に、サイコロの面の数が増えるにつれて、任意の長さの自動詞的なサイクルを作成できることを証明しました。数学者が最近まで知らなかったのは、自動詞的なサイコロがどれほど一般的であるかということです。このような例は慎重に考え出さなければならないのでしょうか、それともサイコロをランダムに選んで自動詞的な集合を見つける可能性は高いのでしょうか？

3つのサイコロを見て、AがBに勝ち、BがCに勝つと分かっているなら、それはAが最も強いという証拠のように思えます。CがAに勝つ状況は稀であるはずです。実際、サイコロの目の合計が異なる場合も許容されるのであれば、数学者はこの直感が正しいと考えています。

しかし、昨年末にオンラインに投稿された論文は、別の自然環境においては、この直感が見事に的外れであることを示しています。例えば、通常のサイコロと同じ目だけを使い、通常のサイコロと同じ合計になるようにサイコロを振るとします。すると、AがBに勝ち、 BがCに勝つ場合、 AとCは互いに勝つ確率が実質的に等しいことが論文で示されています。

「 AがBに勝ち、BがCに勝つということを知っても、 AがCに勝つかどうかについては何も分からない」と、フィールズ賞受賞者で、ポリマス・プロジェクトとして知られるオンラインの公開協力を通じて証明されたこの新しい結果の貢献者の一人であるケンブリッジ大学のティモシー・ガワーズ氏は述べた。

一方、最近発表された別の論文では、4個以上のサイコロを使ったセットを分析しています。この結果は、おそらくさらに逆説的です。例えば、ランダムに4個のサイコロを選び、AがBに勝ち、BがCに勝ち、CがDに勝つとします。この場合、 DがAに勝つ可能性は、その逆の場合よりもわずかに高いのです。

強くも弱くもない

最近の成果の急増は、約10年前、コンリー氏が数学教師の集まりで自動詞サイコロに関するセッションに参加したことがきっかけでした。「そんなものが存在するなんて知りませんでした」と彼は言います。「すっかり魅了されてしまいました。」

彼は（後にAIMの同僚ケント・モリソンも加わり）、指導していた3人の高校生、ジェームズ・ギャバード、ケイティ・グラント、アンドリュー・リウと共にこのテーマを探求することを決意した。グループは、ランダムに選ばれたサイコロが非推移的サイクルを形成する頻度はどのくらいだろうか、と疑問に思った。

サイコロの面の数字の合計が異なる場合、非推移的なサイコロセットは稀だと考えられています。なぜなら、最も高い合計を持つサイコロが他のサイコロよりも高い合計を持つ可能性が高いからです。そこで研究チームは、2つの特性を持つサイコロに焦点を当てることにしました。1つ目は、n面サイコロの場合、 1からnまでの数字が標準的なサイコロと同じであることです。2つ目は、面の数字の合計が標準的なサイコロと同じであることです。しかし、標準的なサイコロとは異なり、各サイコロには一部の数字が重複したり、他の数字が省略されたりすることがあります。

6面サイコロの場合、この2つの特性を持つサイコロは32種類しかありません。そこで研究チームは、コンピューターの助けを借りて、AがBに勝ち、BがCに勝つすべての3連複を特定することができました。研究者たちは驚くべきことに、AがCに勝つ3連複は1,756通り、CがAに勝つ3連複は1,731通りで、ほぼ同じ数であることを発見しました。この計算と6面以上のサイコロのシミュレーションに基づき、研究チームはサイコロの面の数が無限に近づくにつれて、AがCに勝つ確率は50%に近づくと推測しました。

分かりやすさとニュアンスが融合したこの予想は、多くの数学者がオンラインでアイデアを共有するPolymathプロジェクトにとって格好の材料だとコンリーに印象づけた。2017年半ば、彼はPolymathアプローチの考案者であるガワーズにこのアイデアを提案した。「この予想には驚きの価値があるので、とても気に入りました」とガワーズ氏は語った。彼はこの予想についてブログ記事を書き、多くのコメントが寄せられた。そして、さらに6件の投稿を経て、コメント投稿者たちは予想の証明に成功した。

2022年11月下旬にオンライン投稿された論文では、証明の重要な部分として、単一のサイコロが強いか弱いかを議論することは、ほとんどの場合意味をなさないことが示されています。バフェット氏のサイコロは、どれも最強というわけではありませんが、それほど珍しいものではありません。ポリマス・プロジェクトによると、サイコロをランダムに1つ選ぶと、他のサイコロの約半分に勝ち、残りの半分には負ける可能性が高いことが示されています。「ほぼすべてのサイコロは平均的です」とガワーズ氏は言います。

このプロジェクトは、AIMチームの当初のモデルとは一点において異なっていました。技術的な問題を簡素化するため、プロジェクトではサイコロの目の順序が重要だと宣言したのです。例えば、122556と152562は、それぞれ異なるサイコロとして扱われます。しかし、Polymathの結果とAIMチームの実験的証拠を組み合わせることで、この仮説が当初のモデルでも成り立つという強い推定が生まれると、ガワーズ氏は述べています。

「彼らがこの証明を思いついたことを本当に嬉しく思います」とコンリー氏は語った。

4 個以上のサイコロの集合に関しては、 AIM チームは 3 個のサイコロの場合と似たような動作を予測していました。たとえば、A がB に勝ち、B がCに勝ち、C がD に勝つ場合、 D がAに勝つ確率はおよそ 50/50 で、サイコロの面の数が無限に近づくにつれて、この確率は正確に 50/50 に近づきます。

研究者たちは、この予想を検証するため、50面、100面、150面、200面のサイコロ4個セットを使った対戦トーナメントのシミュレーションを行った。シミュレーションは、サイコロ3個セットの場合ほど予測通りにはならなかったものの、それでも予想への確信を強めるには十分近かった。しかし、研究者たちは気づいていなかったが、これらの小さな食い違いは別のメッセージを伝えていた。4個以上のサイコロセットの場合、彼らの予想は誤りである、というのだ。

「我々は本当に（その推測が）真実であってほしいと思った。そうなったらクールだから」とコンリーは語った。

4つのサイコロの場合、スイス連邦工科大学ローザンヌ校のエリザベッタ・コルナッキア氏とルワンダ・キガリにあるアフリカ数学科学研究所のヤン・ハズラ氏は、2020年末にオンラインに投稿した論文で、AがBに勝ち、BがCに勝ち、CがDに勝った場合、DがAに勝つ確率は50％をわずかに上回り、おそらく52％前後になるとハズラ氏は述べた。（ポリマスの論文と同様に、コルナッキア氏とハズラ氏はAIMの論文とは若干異なるモデルを使用した。）

コルナッキアとヘンズラの発見は、原則としてサイコロ1個には強弱はないものの、2個のサイコロには共通の強みがあるという事実から導き出された。コルナッキアとヘンズラは、サイコロを2個ランダムに選ぶと、それらのサイコロに相関関係がある可能性がかなり高いことを示した。つまり、同じサイコロに勝ったり負けたりする傾向があるということだ。「互いに近いサイコロを2個作るように頼めば、それが可能であることが分かる」とヘンズラは述べた。これらの小さな相関関係の塊は、少なくとも4個のサイコロが揃うとすぐに、トーナメントの結果を対称性から遠ざける。

最近の論文は物語の終わりではありません。コルナッキアとヘンズラの論文は、サイコロ間の相関関係がトーナメントの対称性をどのように崩すのか、その詳細を明らかにし始めたばかりです。しかし、今のところ、世の中には自動詞的なサイコロの組み合わせが数多く存在することが分かっています。もしかしたら、ビル・ゲイツでさえ先に選ばざるを得ないほど巧妙な組み合わせもあるかもしれません。

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。