数学者のギュンター・ツィーグラーとマーティン・アイグナーは、過去 20 年間にわたり、数学における最も美しい証明のいくつかを収集してきました。
左はマーティン・アイグナー、右はギュンター・ツィーグラー。ベルリン自由大学にて。オーブリー・ウェイド/クォンタ・マガジン
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20世紀を代表する奇人変人、放浪癖があり多作な数学者、ポール・エルデシュは、あらゆる数学定理の完璧な証明を収めた天上の書物を神が所有しているという考えを好んでいた。美しい証明に最高の賛辞を捧げたい時、彼は「これは『聖典』からのものだ」と宣言したものだ。
エルデシュが神の存在そのものを疑っていたことは気にしないでください。「神を信じる必要はないが、『聖典』は信じるべきだ」とエルデシュは他の数学者たちに説明しました。
1994年、ドイツのオーバーヴォルフアッハ数学研究所でエルデシュと会話をしていた数学者マルティン・アイグナーは、あるアイデアを思いつきました。「神の書」、あるいは少なくともその地上の影を実際に作ってみたらどうだろう、と。アイグナーは同僚の数学者ギュンター・ツィーグラーを協力させ、二人はエルデシュ自身も熱心に協力しながら、非常に美しい証明の例を集め始めました。その結果生まれた書籍『Proofs From THE BOOK（邦題：神の書からの証明）』は1998年に出版されましたが、エルデシュがそれを見るには遅すぎました。プロジェクト開始から約2年後、彼は83歳で亡くなっていたのです。
「証明の多くは彼に直接遡るもの、あるいは正しい疑問を提起したり正しい推測を立てたりする彼の卓越した洞察力によって始められたものだ」と、現在ベルリン自由大学の教授であるアイグナーとツィーグラーは序文に書いている。
「数学の天国を垣間見る」と称される本書は、数論、幾何学、解析学、組合せ論、グラフ理論における数十もの定理の証明を提示している。初版から20年を経て、5版を重ね、毎回新たな証明が追加され、13の言語に翻訳されている。
1月、ジーグラーは合同数学会議に出席するためサンディエゴを訪れ、（自身とアイグナーを代表して）2018年のスティール数学解説賞を受賞しました。「（本書の）1ページあたりの洗練されたアイデアの密度は並外れて高い」と受賞理由書には記されています。
Quanta Magazineは、この会合でジーグラー氏と対談し、美しい（そして醜い）数学について議論しました。インタビューは分かりやすさを考慮して編集・要約されています。
マーティン・アイグナーさんとあなたは、どのプルーフが『THE BOOK』に収録される価値があるかについて、同じような感覚を持っているとおっしゃっていましたね。あなたの美的感覚にはどのようなものが反映されているのでしょうか？
私たちは常に、完璧な証明とは何かを定義しようとすることを避けてきました。それは単に恥ずかしがり屋だからというだけでなく、実際には定義も統一された基準も存在しないからです。もちろん、美しい証明には様々な要素が存在します。長すぎてはならず、明確でなければならず、特別なアイデアがなければなりません。通常であれば関連性があるとは考えられないような事柄を結びつける可能性もあるのです。
いくつかの定理には、読者のタイプに応じて異なる完璧な証明が存在します。つまり、証明とは何でしょうか？つまるところ、証明とは読者に物事が真実であると確信させるものです。そして、証明が理解しやすく美しいかどうかは、証明だけでなく読者にも左右されます。読者は何を知っているか？何が好きか？何が明白だと思うか？
第5版では、数学者が「二次の相互性」定理（「時計」算術においてどの数が完全平方数であるかに関する定理）について少なくとも196通りの証明を、代数の基本定理（多項式方程式の解に関する定理）については約100通りの証明を提示していると述べられています。数学者は、定理が既に正しいと分かっているにもかかわらず、なぜ新たな証明を編み出し続けるのでしょうか？
これらは数学の核となる部分なので、様々な角度から理解することが重要です。定理の中には、全く異なる複数の証明を持つものもあり、それぞれの証明は定理とその構造について異なることを示唆しています。ですから、これらの証明を探求し、定理の本来の主張をどのように超えることができるかを理解することは、非常に価値のあることです。
例として、私たちの本には載っていませんが、非常に基本的な、多面体に関するシュタイニッツの定理が思い浮かびます。これは、平面グラフ（平面上の頂点と辺のネットワーク）において、頂点を1つか2つ削除しても連結されたままである場合、全く同じ連結パターンを持つ凸多面体が存在するというものです。この定理には、「シュタイニッツ型」証明、「輪ゴム型」証明、「円充填型」証明という、全く異なる3種類の証明があります。そして、これら3つにはそれぞれにバリエーションがあります。
シュタイニッツ型の証明はどれも、多面体が存在することだけでなく、頂点の座標が整数である多面体が存在することも示します。また、円充填の証明は、すべての辺が球面に接する多面体が存在することを示しています。シュタイニッツ型の証明からはそのようなことは得られませんし、その逆も言えます。円充填の証明は、整数座標でそれが可能であることを証明しません。つまり、複数の証明を持つことで、元々の基本定理を超えた、状況を理解するための複数の方法が得られるのです。
ブックレベルの証明に求める要素の一つとして、驚きの要素を挙げていらっしゃいますね。確かに素晴らしい証明の中には、「一体誰がこんなことを思いついたのだろう？」と思わせるものもありますが、必然性を感じるような証明もあります。それは、あなたが何を知っているか、そしてどこから来たかによって決まると思います。
一例として、ラースロー・ロヴァースによるクネザー予想の証明が挙げられます。これは第4版に掲載されたと思います。クネザー予想とは、n元集合のk元部分集合から構成できる特定のグラフに関するものでした。k元部分集合を頂点とし、2つのk元集合が共通の要素を持たない場合、それらの集合は辺で結ばれるようなグラフを構築します。クネザーは1955年か56年に、繋がっている頂点は必ず異なる色でなければならないとした場合、すべての頂点を彩色するには何色必要かと問いました。
このグラフをn - k + 2色で彩色できることを示すのは比較的簡単ですが、問題はそれよりも少ない色数ではそれができないことを示すことでした。つまり、これはグラフ彩色問題なのですが、ロヴァースは1978年に、位相幾何学の定理であるボルスク＝ウラム定理を用いた、技術的に見事な証明を与えました。これは驚くべきことでした。なぜこの位相幾何学的なツールがグラフ理論的な事柄を証明できるのでしょうか？
これが、離散数学の定理を証明するために位相幾何学的なツールを使うという、一大産業へと発展しました。今では、これらを使うことは避けられないことのように思えますし、非常に自然で分かりやすいものになっています。ある意味では、もはや日常的なことになっています。しかし、最初の驚きを忘れないことは、やはり価値があると思います。
簡潔さは、あなたが「神の書」の証明に求めるもう一つの基準です。神の書に100ページもの証明があるでしょうか？
あるかもしれないが、人間がそれを見つけることは決してないだろう。
論理学から得られる結論によれば、真であり証明のある定理が存在するが、簡潔な証明は存在しない。それは論理的な言明である。ならば、神の書物に100ページ以上に及ぶ証明があってもおかしくないだろうか。そして、その100ページそれぞれに、輝かしい新たな観察が記されている。つまり、その意味では、それは真に神の書物からの証明と言えるのではないだろうか。
一方で、驚くべきアイデアを1つ使って何かを証明できれば、私たちはいつも喜びを感じます。驚くべきアイデアを2つ使った証明はさらに魔法のようで、それでも見つけるのは困難です。ですから、100ページに及ぶ証明に100もの驚くべきアイデアが含まれているとしたら、人間は一体どうやってそれを見つけることができるのでしょうか？
しかし、専門家がアンドリュー・ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明をどう評価するかは分かりません。これは100ページにも及ぶでしょうし、数百ページにも及ぶでしょう。それは、始める際にどの程度の数論を前提としているかによって変わってきます。そして、私の理解では、そこには多くの素晴らしい観察とアイデアが詰まっています。おそらく、ワイルズの証明は、いくつかの簡略化を伴えば、フェルマーの最終定理に対する神の証明と言えるでしょう。
しかし、それは私たちの本の読者にとって証明ではありません。技術的な難しさと理論の階層構造の両方において、私たちの本の範疇を超えているからです。定義上、10ページ以上かかる証明は、私たちの本の証明にはなり得ません。神は――もし存在するならば――もっと忍耐強いのです。
ポール・エルデシュは「数学の司祭」と呼ばれています。彼は世界中を旅し、しばしば定住することなく、いわば数学の福音を広めました。そして、宗教的な比喩を用いて数学の美しさを語りました。
ポール・エルデシュは自身の講義を「説教」と呼んでいました。しかし、彼は無神論者でした。神を「至高のファシスト」と呼んでいました。彼にとって、面白くて物語を語ることの方が重要だったのだと思います。宗教的なことは何も説きませんでした。ですから、神と彼の著書に関するこの物語は、彼の物語の語り口の一部だったのです。
美しい証明を体験すると、何だかスピリチュアルな感じがしますか?
とても力強い感情です。あの美しくて興奮した瞬間を覚えています。そして、そこからとても力強い幸福感が生まれます。
もし私が信仰深い人間だったら、私が経験できるこのすべてのインスピレーションに神に感謝するでしょう。私は信仰深くないのですが、私にとってこの「神の書」は力強い物語です。
数学者G・H・ハーディの有名な言葉に「醜い数学が永遠に存在する場所などこの世に存在しない」というものがあります。しかし、醜い数学にもまだ役割はあるのではないでしょうか？
最初のステップは定理を確立することです。そうすれば、「一生懸命努力しました。証明ができました。20ページあります。見苦しいです。計算がたくさんありますが、正しくて完全で、誇りに思えます」と言えるようになります。
結果が興味深いものであれば、それを単純化し、さらにアイデアを加えて、よりエレガントで美しく仕上げる人たちが現れます。そして最終的に、ある意味では、本の証明が完成するのです。
ロヴァースによるクネザー予想の証明を見ると、彼の論文はもう読まれていないようです。かなり醜悪な論文です。ロヴァースは当時の位相幾何学のツールを知らなかったため、多くのことを再考し、それらをまとめ上げなければならなかったのです。その直後、イムレ・バーラニーが2番目の証明を出しました。これもボルスク＝ウラム定理を用いており、私の考えでは、こちらの方がよりエレガントで分かりやすかったと思います。
こうした簡潔で驚くべき証明を行うには、強い自信が必要です。そして、その自信を得る一つの方法は、それが真実だと確信することです。誰かが証明したから真実だと確信しているなら、「これを証明するための、本当に簡潔でエレガントな方法は何だろうか？」と敢えて問いかけることもできるでしょう。ですから、そういう意味では、醜い証明にも役割があると思います。
現在、 『Proofs From THE BOOK』の第6版を準備中とのことですが、その後も出版される予定はありますか？
第3版は、おそらく初めて「これで終わりだ、これで最終版だ」と主張した版でした。もちろん、第5版の序文でもそう宣言しましたが、現在は第6版の完成に向けて鋭意作業を進めています。
マーティン・アイグナーがこの本の構想を話してくれた時、これはいいプロジェクトになるかもしれない、それで終わりにしよう、という考えでした。そして、英語でどう訳したらいいのか分からないのですが、「jugendlicher Leichtsinn（若者の軽薄さ）」、つまり若者の愚かさみたいなもの、つまり、この本を書いて終わりにできる、そう思ってしまうんです。
しかし、1994年から現在に至るまで、新版や翻訳の作業で忙しくしてきました。マーティンは退職し、私はちょうど大学の学長に立候補したばかりなので、これ以上の活動に費やす時間もエネルギーも機会も残っていないと思います。第6版が最終版となります。
オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。
