パイはど​​こにでも隠れている

誰かが「円周記念日おめでとう」と祝ってくれたら、おそらくすぐに円を思い浮かべるでしょう。パイだけではありません。（円周記念日は3月14日です。米国の日付形式を使用している場合は3.14です。）円周の長さ（円周）と横の長さ（直径）を測ると、円周は円周を直径で割ったものになるからです。

ですから、円を扱うときはいつでも、円周率が登場するのは極めて論理的に思えます。しかし、円周率が最初に現れる多くの状況は、円とは全く関係がないように見えます。量子力学では、シュレーディンガー方程式の解、つまり原子内の電子と陽子をモデル化する方法に円周率が登場します。透磁率定数は磁場の計算に用いられます。弦の上で揺れる質量、いわゆる振り子の運動にも円周率が登場します。電気定数は電荷による電場の計算に用いられます。さらに、粒子の運動量と位置の両方を正確に知ることはできないとする不確定性原理にも円周率が登場します。

なぜそれが繰り返し現れるのでしょうか？ 実は、主な理由は2つあります。対称性と振動です。

円周率と対称性

対称性について、太陽光を例に考えてみましょう。具体的には、太陽の強さを考えてみましょう。太陽のエ​​ネルギーを考える最も簡単な方法は、エネルギー生産率、つまり一定時間あたりにどれだけのエネルギーを生産するかを考えることです。太陽のエ​​ネルギーは非常に大きく、毎秒約4×10の²⁶乗ワット、つまり4×10の²⁶乗ジュールものエネルギーを出力しています。

太陽はこのエネルギーをあらゆる方向に放射するため、単位面積あたりのエネルギーは太陽強度として表すことができます。光が太陽から離れるにつれて、光は球状に広がります。この球の半径が大きくなるにつれて、エネルギーを分散させる表面積も大きくなります。つまり、太陽からの距離が離れるにつれて太陽強度は低下します。光が最終的に地球に到達する頃には、その強度は1平方メートルあたり約1,000ワットにまで低下しています。この概念を説明するには、次の2D図が役立つかもしれません。

なんと！球体は3次元の円なので、膨張する球体の表面積は円周率に依存します。（球体の面積は4πR ²です。）このことから、太陽光の強度は次の式で表せます。

光、あるいは他の物体が全方向に均等に広がると、球状の分布が形成されます。球面上のどの点も球の中心から等距離にあるため、球状の分布は対称的です。

では、別の例を試してみましょう。ある速度（v）で動いている電荷があると想像してください。（ここでは陽子を例に挙げますが、これは原子内の電荷や電流中を移動する電荷など、あらゆる電荷に当てはまります。）

移動する電荷は磁場を生成しますが、この磁場は次の式で計算できます。

これは複雑でありながら非常に美しい方程式です。そして、そこに円周率があります。分母に円周率があるのは、運動する荷電粒子によって生じる磁場が円対称性を持つためです。磁場の強さを求めるには、運動する電荷から磁場の値を知りたい位置まで線を引くことを想像してください。この磁場の強さは電荷からの距離に依存し、円を形成します。

この Python 計算では、速度ベクトル (赤い矢印) を持つ電荷と異なる場所の磁場 (黄色の矢印) が表示され、対称性を確認できます。

(コードはこちらです。)

さて、磁場方程式のもう一つの変数、μ ₀を見てみましょう。これは磁気定数（真空透磁率とも呼ばれます）で、4π × 10 ^-7ニュートン毎平方アンペアに等しい値を持ちます。他の基本定数と同様に、これは力や電流など、実際に測定可能なものの間に関係性を生み出します。

でも、なぜそこにも円周率（π）が含まれているのでしょうか？一見すると、これら2つの円周率は互いに打ち消し合うように思えます。磁場の式における円周率は分子にあり、分母にはすでに円周率（π）があります。確かにその通りです。実際、磁場の式に円周率が現れないように定数を定義することも可能なのです。しかし、この磁気定数は別の場所にも現れます。それは光速です。

ご存知のように、光は電磁波です。つまり、実際には2つの波が1つにまとまったものです。変化する電場が磁場を生み出し、変化する磁場が電場を生み出します。そのため、この電磁波の速度（光速cと呼びます）は、磁気定数と電気定数（ε ₀）の両方に依存します。

つまり、磁気定数の式を円周率なしで書いた場合、代わりに光速の式に円周率が登場することになります。いずれにせよ、円周率は必ず登場するでしょう。

円周率と振動

さて、今度は全く違う実験をしてみましょう。重りをつかみ、バネで垂直に吊り下げます。そして、この重りを少し下に引っ張ってから手を離します。すると、重りが上下に振動します。重りの値（m）とバネの強さ（バネ定数k）を測定すると、この重りが1回完全に振動するのにかかる時間（周期T）が次の式と一致することがわかります。

これで円周率の計算ができました。実は、質量、周期、バネ定数をそれぞれ個別に測定し、それを使って円周率を計算してみるのも面白いかもしれません。

しかし、この振動を数学関数で表すこともできます。以下は、質量の位置を時間の関数として表す最も単純な式です。ここで、Aは運動の振幅、ωは角周波数です。

この解法には三角関数の余弦が含まれています。三角関数が曖昧な場合は、すべての三角関数は直角三角形の辺の比について教えてくれることを思い出してください。例えば、30度の余弦は、ある角度が30度の直角三角形の場合、その角度に隣接する辺の長さを斜辺の長さで割った値が何らかの値になることを意味します（この場合は0.866）。

（三角形にも使われる数学関数を使って、円形の物体であるバネの運動を理解するのは奇妙だと思うかもしれません。しかし、結局のところ、この関数はたまたま方程式の解になっているだけです。つまり、うまく機能するから使っているのです。とにかく、私の話を聞いてください。）

さて、直角三角形の角度が常に増加していると想像してください。（これがωt項で​​す。）角度が変化するので、実質的には円周を回る三角形になります。この直角三角形の一辺だけを見て、それが時間とともにどのように変化するかを見てみましょう。これが三角関数です。関数は次のようになります。

この振動は円に関連しているため、そこに円周率が含まれるのは明らかです。

実際、正弦または余弦を含む三角関数でモデル化できる他の種類の振動にも円周率を見つけることができます。例えば、紐で揺れる質量である振り子、二原子分子（窒素のように2つの原子を持つ分子）の振動、あるいはラジオ内部の回路のように振動するものにおける電流の変化などを思い浮かべてみてください。

不確定性原理

物理学オタクにとって、おそらく最もよく知られている基本定数はhバー（ħ）です。これは基本的にプランク定数（h）を2πで割った値です。

プランク定数は、原子のような極小物体のエネルギーと周波数の関係を示します。この定数はLEDを使って自分で測定できます。実際、πは微小な量子現象を扱うモデルで頻繁に登場するため、物理学者はπとhを組み合わせてhバーを作りました。

このhバー（そして円周率）が現れる場面の一つは不確定性原理です。これは基本的に、粒子の位置（x）と運動量（p）の両方を正確に測定することはできないというものです。実際、これらの測定には根本的な限界があります。（これが不確定性原理です。）図は次のようになります。

これは、x の不確実性 (Δx) と運動量 (Δy) の積が、π (h-bar) に依存する値よりも大きくなければならないことを示しています。

なぜ位置と運動量の両方が分からないのでしょうか？最も分かりやすい説明は波です。水面を通過する波を想像してみてください。複数の波のピークが静止点を通過するのにかかる時間を見ることで、それぞれの波の速度（と運動量）を推定できます。その点を通過する波のピークの数が多いほど、それぞれの波の速度をより正確に推定できます。しかし、波のピークが複数ある場合、個々の波の正確な位置、つまり位置を特定するのは非常に困難です。

では、波のピークが一つしかないと想像してみてください。この場合、波の位置はほぼ分かりますが、速度は分かりません。位置と速度の両方を正確に特定することはできません。これが不確定性原理です。水中の波や、電子や陽子のような微粒子の挙動にも当てはまります。

分かりました。でも、なぜそこに円周率があるのでしょうか？少し複雑になりますので、少しの間この概念について考えてみてください。電子のような粒子について話すとき、私たちはそれらを波動関数と呼ばれるもので記述します。この波動関数は、運動の確率的な解釈を与えてくれます。つまり、粒子が実際にどこをどのように動いているかは分かりませんが、何が起こるかの確率だけは分かります。

粒子がどこにいるか（位置x）やどれだけの速さで動いているか（運動量p）を知りたい場合は、この波動関数を全空間にわたって積分する必要があります。量子力学では、この積分は通常、粒子がどこにでも存在する確率を求めようとすることを意味します。そのためには、負の無限大から正の無限大まで、xのあらゆる値に対する確率を合計します。

これらの積分は少し複雑になる可能性がありますが、最終的には常に次のようになります。

一体なぜ、このような積分で円周率が得られるのでしょうか？もちろん複雑な話ですが、この種の積分を解くコツが一つあります。それは、積分を1次元から2次元に拡張することです。2つの新しい次元は独立しているので、円対称の2次元面が作成されます。ですから、円周率が得られるのも当然です。この円周率の出現によって、定数hバーが得られるのです。