重力はビリヤードのゲームに影響しますか?

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長い間、頭の中から離れない本を読んだことがありますか？私にとっては、ナシーム・ニコラス・タレブ著の『ブラック・スワンあり得ないことの衝撃』です。この著書には素晴らしい内容が数多くありますが、私がよく考えるのは、この本が物理学者M・V・ベリーの1978年の論文「規則運動と不規則運動」に触れていることです。ベリーは、状況によっては将来の運動を予測することがいかに難しいかを示しています。たとえば、ビリヤードでは、2 つのボールが衝突した結果を計算できます。しかし、9 回連続して衝突した場合の結果は、最初のボールの速度に大きく左右されます。実際、ベリーは、結果を正しく予測するためには、最初のボールとそのボールを打ったプレーヤーとの間の重力相互作用も考慮に入れる必要があると主張しています。

念のため確認しておきますが、質量を持つすべての物体の間には重力による相互作用が存在します。しかし、ほとんどの場合、この相互作用は極めて微小です。例えば、質量68キログラム（約150ポンド）の人が、質量157グラムのビリヤードボールを体から1メートル離れたところに持っているとします。この人がボールに及ぼす重力は約10の^-9乗ニュートンです。これは非常に微小なので、比較対象になりません。塩一粒の重さ（地球との重力相互作用）でさえ、その約1,000倍の重さになります。これほど小さな力が本当に重要なのでしょうか？調べてみましょう。

まず、2つのボールが衝突するところから始めます。そして、この質問に少なくとも大まかな答えを得るために、いくつか仮定を立てます。心配しないでください。最終的にはすべてうまくいくはずです。物理学者はこのような近似値を常に用いています。しかし、私の推定値は次のとおりです。

ボールの質量はすべて165グラム、直径は57ミリメートルです。これはビリヤード系のゲームでは標準的なサイズのようです。
ボールは摩擦力も転がりもせずに動きます。確かに、それは馬鹿げているように思えますが、今のところはこれで大丈夫だと思います。
ボール同士の衝突は完全に弾性的な衝突です。つまり、ボールの全運動量は衝突前と衝突後で同じです。また、ボールの全運動エネルギーは一定です。（あるいは、運動量と運動エネルギーは両方とも保存されると言うこともできます。）つまり、これは「弾む」衝突であることを意味します。

まずは非常に基本的な衝突から始めましょう。キューボールが動き、静止している別のボールにぶつかります。もちろん、運動量と運動エネルギーの保存則を用いて、最初は静止していたボールの最終的な速度と角度を求めることは可能ですが、私は別の方法で計算するのが好きです。今回は、衝突をPythonでモデル化します。こうすることで、動きを非常に小さな時間ステップ（0.0001秒）に分割できます。各ステップで各ボールにかかる力を計算し、それを用いてその短い時間枠における速度の変化を求めることができます。

ボールにはどんな力が働いているのでしょうか？それが秘密です。バネを使います。そう、バネです。2つのボールは実在しないと仮定しましょう（実在しないのですから）。私のモデルでは、2つのボールが衝突すると、一方のボールの外側がもう一方のボールと重なります。この場合、2つのボールを押し広げるバネのような力を計算できます。重なりが大きいほど、反発するバネの力も大きくなります。ここで、この図が役に立つかもしれません。

擬似バネを使って衝突をモデル化すると、非常に便利な機能が加わります。バネの力が、ボールの中心を結ぶ仮想線から遠ざかる方向に作用しているのに気づきましたか？つまり、このバネモデルは、ボールが正面衝突しない場合の「かすめた」接触にも適用できます。まさにこれこそが、（部分的にリアルな）ボール衝突に必要なものです。物理法則やPythonの詳細を知りたい方は、こちらの動画で詳しく説明しています。

ボール衝突モデルが完成したので、最初のショットを打つことができます。キューボールを別の静止したボールから20センチ離れたところから打ち出します。キューボールの初速度は0.5メートル/秒で、直撃から5度の角度で打ち出されます。直撃はつまらないので、この場合は「つまらない」と言わざるを得ません。

止まっているボールは黄色いので、これを「1番ボール」と呼ぶことにします。（ビリヤードでは「1番ボール」は黄色です。）

これがその外観です。そしてこれがコードです。

ビデオ: レット・アラン

（宿題として、Python コードを使って運動量と運動エネルギーが実際にどのように保存されるかを確認できます。心配しないでください。これは採点されません。単なる楽しみのためのものです。）

では、このモデルを使って面白いことをしてみましょう。キューボールを5度ではなく、異なる角度で打ち出したらどうなるでしょうか？1番ボールの反動速度と角度にはどのような影響があるでしょうか？

キューボールの初期角度を変えた場合の、衝突後の1番ボールの角度の変化を示したグラフです。データには16度を超える打ち出し角度が含まれていないことに注意してください。これは、少なくとも私のスタート位置では、それより大きな角度では1番ボールが完全に飛んでしまうためです。

悪くないですね。ほぼ直線関係のように見えますが、実際はそうではなく、ただ近いだけです。

さて、衝突後の1番ボールの速度はどうでしょうか？キューボールの打ち出し角度を変えた場合の1番ボールの速度の変化を示すグラフがこちらです。

明らかにこれは直線的ではありません。しかし、理にかなっているようにも思えます。キューボールが0.5m/sの速度で動いていて、打ち出し角が0度（1番ボールをまっすぐ狙っている）の場合、キューボールは完全に停止し、1番ボールは0.5m/sの速度で飛び続けます。これは予想通りです。より大きな衝突角度では、かすめるような衝撃となり、1番ボールの最終速度ははるかに小さくなります。これではすべて問題なさそうです。

さて、 2つの衝突はどうでしょう？もう1つボールを追加します。そうです、2番目のボールは青です。こんな感じです。

ビデオ: レット・アラン

見た目はなかなか良いのですが、本当の疑問はこれです。これはどれくらい難しいのでしょうか？ここで難しいというのは、キューボールの初期角度をどの程度にすれば、2番ボールが1番ボールに当たるようになるのかということです。

最初の衝突では、キューボールの打ち出し角度によって1番ボールに当たるか外れるかが決まるため、この判断はかなり簡単でした。しかし、3つのボールが2回衝突した場合、キューボールの打ち出し角度の変化によって1番ボールの偏向角度が変わり、2番ボールに当たらない可能性があります。

では、キューボールの初速度はどうでしょうか？初速度が変化すると、2番ボールの偏向にも影響します。様々な初期条件を検討し、2番ボールとの衝突が発生するかどうかを見てみましょう。ただし、打ち出し角度と打ち出し速度を考慮する代わりに、キューボールのX方向とY方向の速度のみで初期条件を扱います。（どちらも全体の速度と角度に依存します。）

グラフにすると分かりやすいので、グラフを載せておきます。これは、キューボールの様々な初期条件（X軸とY軸の速度）と、どの条件で2番ボールが当たるかを示しています。グラフ上の各点は、1番ボールを2番ボールに打ち込むキューボールのショットを表しています。

しかし、衝突にさらに別のボールを追加したらどうなるでしょうか？一連のヒットに追加された3番目のボール（赤）は次のとおりです。

ビデオ: レット・アラン

このアニメーションは実際には重要ではありません。重要なのは、キューボールの初期速度がどの程度の範囲であれば3番ボールに当たるかということです。これは、この衝突に至るキューボールの初期速度（x軸とy軸）のグラフです。比較できるように、先ほどの2つのボールの衝突のデータ（青いデータ）も含めた点に注意してください。

このグラフを面積の観点から考えてみましょう。青いデータ（2番ボールを打つためのデータ）で覆われたグラフの面積は、3番ボールを打つために必要な速度を示すグラフの面積よりもはるかに広くなっています。4つのボールすべてが衝突するような衝突を実現するのは、ますます困難になっています。

もう1つやってみましょう。衝突の連鎖に4ボールを追加したらどうなるでしょうか？

念のため、これは3番ボールが4番ボールに当たるキューボールの初期速度の範囲の比較です。キューボールの初期速度の大まかな範囲をいくつか見ていきましょう。

1番目のボールが2番目のボールに当たるには、x軸方向の速度はほぼ0 m/sから1 m/sまでの範囲になります（1 m/sを超える速度は計算していません）。y軸方向の速度は約0.02 m/sから0.18 m/sまでの範囲になります。つまり、x軸方向の速度範囲は1 m/s、y軸方向の速度範囲は約0.16 m/sです。

2番ボールを3番ボールに当てるには、x方向の速度を0.39～1 m/s、y方向の速度を0.07～0.15 m/sにする必要があります。x方向の速度の範囲が0.61 m/sに低下し、y方向の速度の範囲が0.08 m/sになっていることに注目してください。

最後に、3番ボールが4番ボールに当たる場合、x方向の速度は0.42～1 m/s、y方向の速度は0.08～0.14 m/sとなります。この場合、x方向の速度範囲は0.58 m/s、y方向の速度範囲は0.06 m/sとなります。

傾向がわかると思います。衝突が増えると、最終的なボールがヒットする初期値の範囲が狭くなります。

さて、最後のケース、つまり9個のボールをテストしてみましょう。これは次のようになります。

ビデオ: レット・アラン

なるほど、それでうまくいきました。でも、キューボールとプレイヤーの相互作用によって生じる追加の重力を考慮すると、最後のボールはそれでも打たれるのでしょうか？

これはかなり簡単にテストできます。必要なのは、何らかの人間を追加することだけです。球形の人間の近似値を使用します。もちろん、人間は実際には球体ではありません。しかし、実際の選手による重力を計算するには、非常に複雑な計算が必要になります。人物の各部位はそれぞれ異なる質量を持ち、ボールからの距離（と方向）も異なります。しかし、人物が球体であると仮定すれば、すべての質量が一点に集中しているのと同じになります。これは私たちが実行できる計算です。そして最終的には、実際の人物と球形の人物の重力の違いは、おそらくそれほど問題にはならないでしょう。

この力の大きさは次の式で求めることができます。

この式において、Gは万有引力定数で、その値は 6.67 x 10 ^-11ニュートン x メートル² / キログラム²です。これは非常に小さな値であり、重力がなぜそれほど弱いのかを示しています。その他の変数は、2つの物体の質量 m _p（人の質量）と m _b（ボールの質量）、そして人とボールの間の距離rです。

しかし、ボールが人から離れるにつれて、rが増加し、重力が減少することに注目してください。通常であれば、これはかなり複雑になります。しかし、ここでは既に動きを小さな時間間隔に分割しているので、ボールが動くたびに重力を再計算するだけで済みます。

試してみましょう。質量68kg（150ポンド）の人間を例に挙げ、キューボールからわずか4cmの距離からスタートして、最大の衝撃を与えます。でも、どうなると思いますか？実際には何も変わりません。最後のボールは確実に打たれます。

実際、人間の重力がある場合とない場合の両方で、最後のボールの最終的な位置を見ることができます。ボールの位置は約0.019ミリメートルしか変化しません。これは非常に小さな変化です。人間の質量が10倍になったとしても、最終的な位置はわずか0.17ミリメートルしか変わりません。

なぜこれがうまくいかないのでしょうか？大まかな近似値を考えてみましょう。ビリヤードのボールがプレイヤーからわずか10センチのところにあるとします。ボールにかかる重力の強さは7.12 x 10 ^-8ニュートンです。この力が1秒間同じ強さで継続するとしたら（ボールが遠ざかるので実際にはそうはなりませんが）、ボールの速度変化はわずか1 x 10 ^-9 m/sです。最終的なボールの軌道に目立った変化は生じないと思います。

検討すべき選択肢がいくつかあります。まず、私のビリヤードボールの衝突モデルは間違っているのでしょうか？そうではないと思います。重力によってボールの位置は変化しますが、その変化はそれほど大きくありません。

第二に、こう言いたくはないのですが、MVベリーは間違っていたのかもしれません。彼の論文は1978年に発表されたもので、当時も数値モデルを作成することは可能でしたが、今日ほど簡単ではありませんでした。彼が実際に数値モデルを作成したかどうかは分かりません。

最後にもう一つ選択肢があります。この衝突の連鎖では、9個のボールをほぼ任意の配置で選びました。配置や初速度を変えれば、人間の重力が顕著な影響を与える可能性があります。

うまくいかなかったとはいえ、それでもなかなか面白い問題ですね。次のステップは、プレイヤーの重力によって最後のボールがミスするまでに、ビリヤードのボールが何回衝突する必要があるかを調べることでしょうか。そう、これはまた素晴らしい宿題になるでしょう。

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