科学者たちは、知ることができることと知ることができないことの境界を解明しようとしている

この物語 のオリジナル版はQuanta Magazineに掲載されました。

フランスの学者ピエール＝シモン・ラプラスは1814年、宇宙は完全に知ることができるという自身の予想を明快に表明し、十分に賢い「悪魔」であれば、現在の知識を完全に備えていれば未来全体を予測できると主張した。彼の思考実験は、物理学者が予測できるであろうものに対する楽観主義の頂点を極めた。それ以来、現実は物理学者たちの宇宙を理解しようとする野心を幾度となく打ち砕いてきた。

1900年代初頭、量子力学の発見が一つの打撃となった。量子粒子は測定されていない限り、根本的に曖昧な可能性の領域にとどまる。悪魔が知るような正確な位置を持たないのだ。

もう一つの発見は、その世紀後半に物理学者たちが「カオス」システムが不確実性をいかに増幅させるかに気づいた時に現れた。悪魔は50年後の天気を予測できるかもしれないが、それは蝶の羽ばたき一つ一つに至るまで、現在の状況を無限に知ることによる。

近年、物理学の世界に第三の限界が浸透しつつある。ある意味では、これまでで最も劇的な限界と言える。物理学者たちは、量子粒子の集合体や、渦巻く海流のような古典系において、この限界を発見した。これは決定不能性と呼ばれ、カオスをはるかに超える。たとえ系の状態を完全に知る悪魔でさえ、その未来を完全に予測することはできないだろう。

「神の視点をお伝えします」と、物理学者からユニバーシティ・カレッジ・ロンドンのコンピューター科学者に転身し、不可知論への現在の取り組みの先駆者の一人であるトビー・キュービット氏は言う。「それでも、それが何をもたらすかは予測できません。」

スペインのカタルーニャ工科大学（UPC）の数学者エヴァ・ミランダ氏は、決定不能性を「次のレベルの混沌とし​​たもの」と呼んでいる。

決定不可能性とは、特定の問いに答えることは決してできないことを意味します。物理学者には馴染みのないメッセージですが、数学者やコンピュータ科学者にはよく知られています。1世紀以上前、彼らは決して答えることのできない数学的問い、決して証明できない真の命題が存在することを厳密に証明しました。現在、物理学者はこうした知ることのできない数学体系を、ますます多くの物理学的体系と結びつけ、それによって物理学分野における知可能性の明確な境界を描き始めています。

これらの例は「私たち人間が考え出せるものに大きな制限を課す」と、サンタフェ研究所で知識の限界を研究しているが、今回の研究には関わっていないデイビッド・ウォルパート氏は述べた。「そして、それらは不可侵なのです。」

最も黒い箱

1990年、当時コーネル大学の大学院生だったクリス・ムーアが、単一の可動部品を持つ決定不可能な機械を設計したとき、物理学において、不可知性の顕著な例が生まれました。

彼の装置は、あくまで理論上のものではあったが、高度にカスタマイズ可能なピンボールマシンに似ていた。底が開いた箱を想像してみてほしい。プレイヤーは箱の中にバンパーを詰め込み、ランチャーを箱の底の任意の位置に移動させ、ピンボールを箱の内側に向けて発射する。仕組みは比較的単純だった。しかし、ボールが跳ね返る間、密かに計算が行われているのだ。

ムーアは、自己参照するシステムに関するピューリッツァー賞受賞作『ゲーデル、エッシャー、バッハ』を読んだ後、計算に魅了された。彼の想像力を最も掻き立てたシステムは、コンピュータサイエンスという分野を切り開いた架空の装置、チューリングマシンだった。

数学者アラン・チューリングが1936年の画期的な論文で定義したチューリングマシンは、無限に長いテープ上を上下に移動するヘッドで構成され、いくつかの単純なルールに従って一連のステップで0と1を読み書きします。あるチューリングマシンは、あるルールセットに従って2つの数値を読み取り、その積を出力するかもしれません。別のチューリングマシンは、別のルールセットに従って、1つの数値を読み取り、その平方根を出力するかもしれません。このように、チューリングマシンは、あらゆる一連の数学的および論理的演算を実行するように設計できます。今日では、チューリングマシンは「アルゴリズム」を実行すると言われており、多くの（ただしすべてではない）物理学者は、チューリングマシンが、コンピューター、人間、または悪魔によって実行される計算自体の限界を定義するものであると考えています。

ムーアは、大学院の研究テーマであるカオスの中に、チューリングマシンの振る舞いの根源を見出した。カオスシステムでは、どんなに小さな細部も無視できない。ブラジルの蝶の位置を1ミリ調整するだけで、東京を襲う台風とテネシー州を襲う竜巻の違いが生じるという、悪名高い比喩がある。四捨五入の誤差から始まった不確実性は、やがて計算全体を飲み込むほどに大きくなる。カオスシステムでは、この不確実性の増加は、書き出された数字の動きとして表すことができる。10分の1の位の無知は左に広がり、最終的には小数点を越えて10の位の無知となる。

ムーアは、チューリングマシンとのアナロジーを完成させるためにピンボールマシンを設計しました。ピンボールの開始位置は、チューリングマシンに送り込まれるテープ上のデータを表します。重要なのは（そして非現実的ですが）、プレイヤーがボールの開始位置を無限の精度で調整できなければならないことです。つまり、ボールの位置を指定するには、小数点以下の数字が無限に続く数値が必要になります。ムーアは、そのような数値でのみ、無限に長いチューリングテープのデータをエンコードすることができました。

次に、バンパーの配置によってボールは新たな位置へと誘導されます。これは、チューリングマシンのテープへの読み書きに相当するものです。湾曲したバンパーの中には、テープを一方向にずらすものがあり、遠く離れた小数点以下の桁に格納されているデータの重要度が増します。これはカオスシステムを彷彿とさせます。一方、反対方向に湾曲したバンパーは、テープを逆方向にずらします。ボールが箱の底から出ると計算は終了し、最終的な位置が結果として示されます。

ムーアはピンボールマシンにコンピューターの柔軟性を組み込んだ。バンパーの配置によっては円周率の最初の1000桁を計算したり、別の配置ではチェスのゲームで最善の次の一手を計算したりといったことが可能だ。しかし、その過程で、彼はコンピューターにはあまり関係のない特性、つまり予測不可能性もマシンに組み込んだ。

アルゴリズムの中には、結果を出力して停止するものもあれば、永遠に実行されるものもあります。（円周率の最後の桁を出力するプログラムを考えてみましょう。）チューリングは、「どんなプログラムでも検査し、停止するかどうかを判断できる手順は存在するのか？」と問いかけました。この問いは、停止問題として知られるようになりました。

チューリングは、もしそのような手順が存在したとしたら何を意味するかを考え、そのような手順は存在しないことを示した。もしある機械が別の機械の行動を予測できるなら、行動を予測する側の機械を改造して、もう一方の機械が停止しても永遠に動作するようにするのは簡単だ。そして逆もまた同じだ。もう一方の機械が永遠に動作すれば、その機械も停止する。そして、ここが頭を悩ませる部分だが、チューリングはこの改造された予測機械の記述を自分自身に入力することを想像した。機械が停止すれば、それは永遠に動作し続ける。そして、もし永遠に動作すれば、それは停止する。どちらの選択肢も存在し得ない以上、チューリングは予測機械そのものは存在しないはずだと結論付けた。

（彼の発見は、1931年に論理学者クルト・ゲーデルが自己言及的パラドックスを厳密な数学的枠組みに組み込む同様の方法を開発した画期的な結果と密接に関連しています。ゲーデルは、真実であるとは断定できない数学的命題が存在することを証明しました。）

要するに、チューリングは停止問題を解決することは不可能であることを証明したのです。アルゴリズムが停止するかどうかを判断する唯一の一般的な方法は、それをできるだけ長く実行してみることです。もし停止すれば、答えは分かります。しかし、もし停止しなければ、それが本当に永遠に実行されているのか、それとももう少し待てば停止していたのか、決して分かりません。

「事前にどうなるかを予測できないような初期状態があることはわかっている」とウォルパート氏は語った。

ムーアは箱をあらゆるチューリングマシンを模倣するように設計したため、箱も予測不可能な動作をする可能性があります。ボールが外に出ると計算は終了するため、バンパーの特定の配置がボールを捕らえるか出口へと導くかという問題も決定不可能です。「実際、これらのより精巧なマップの長期的なダイナミクスに関するあらゆる問題は決定不可能です」とムーアは述べています。

ムーアのピンボールマシンは、通常のカオスをはるかに超えるものでした。竜巻予報士でさえ、竜巻がどこに着地するかを正確に予測することはできません。その理由は2つあります。一つは、ブラジルの蝶の正確な位置を予報士が知らないこと、もう一つは計算能力の限界です。しかし、ムーアのピンボールマシンは、より根本的な予測不可能性を備えていました。マシンの完全な知識と無限の計算能力を持つ者でさえ、その運命に関するいくつかの疑問は依然として解明されていません。

「これはもう少し劇的な話だ」と、マドリード・コンプルテンセ大学の数学者ダビド・ペレス＝ガルシア氏は言う。「たとえ無限のリソースがあっても、問題を解くプログラムを書くことすらできないのだ。」

チューリングマシンのように動作するシステムは、これまでにも他の研究者によって考案されてきました。特に、隣接するマス目の色に応じて点滅するチェッカーボード状の格子が有名です。しかし、これらのシステムは抽象的で複雑でした。ムーアは、実験室にあると想像できるようなシンプルな装置からチューリングマシンを作り上げました。高校物理の知識しか持たないシステムが予測不可能な性質を持つ可能性があることを鮮やかに実証したのです。

「それが決定不可能だというのは、ちょっと衝撃的です」と、大学院生時代にムーアのマシンに心を奪われ、その後そのマシンについて講義したキュービット氏は言う。「文字通り、箱の中で跳ね回る単一の粒子のようなものです」

物理学の博士号を取得した後、キュービットは数学とコンピュータサイエンスの分野に転向した。しかし、彼はピンボールマシンと、コンピュータサイエンスがマシンの物理特性に限界を課したことを決して忘れなかった。彼は、決定不可能性という概念が、本当に重要な物理学の問題に何らかの影響を与えているのではないかと考えていた。そして、この10年間で、それが影響を与えていることを発見した。

現代のミステリーマテリアル

2012 年にキュービットは、決定不可能性の問題を大規模量子システムとの衝突コースに置いた。

オーストリアアルプスで開催された会議中に、ペレス＝ガルシアと同僚のマイケル・ウルフはコーヒーを飲みながら、あるニッチな問題が決定不可能かどうかについて議論した。ウルフがその問題を脇に置いて、量子物理学における最大の問題の一つである決定可能性に取り組もうと提案したとき、彼自身も実際に成功するとは思っていなかった。

「最初は冗談から始まりました。それから私たちはアイデアを練り始めました」とペレス＝ガルシア氏は語った。

ウルフは、スペクトルギャップと呼ばれる、あらゆる量子系を定義する特性をターゲットにすることを提案した。スペクトルギャップとは、系を最低エネルギー状態から揺さぶるのにどれだけのエネルギーが必要かを指す。この揺さぶりに何らかの力が必要な場合、系は「ギャップあり」である。エネルギーを注入することなくいつでも励起状態になれる場合、系は「ギャップなし」である。スペクトルギャップは、ネオンサインの輝く色、物質からすべての熱を取り除いたときにその物質がどうなるか、そして別の文脈では陽子の質量がどうあるべきかを決定する。多くの場合、物理学者は特定の原子または物質のスペクトルギャップを計算できる。しかし、計算できないケースも少なくない。陽子が正の質量を持つはずであることを第一原理から厳密に証明できる人には、100万ドルの賞金が待っている。

キュービット、ウルフ、そしてペレス＝ガルシアは高い目標を掲げた。彼らは、陽子からアルミニウム板に至るまで、あらゆるものがスペクトルギャップを持つかどうかを判定できる単一の戦略、つまり普遍的なアルゴリズムの存在を証明あるいは反証しようとした。そのために、彼らはムーアがピンボールマシンで用いたのと同じアプローチに頼った。つまり、あらゆるチューリングマシンのように動作するように設定できる架空の量子物質を考案したのだ。彼らはスペクトルギャップ問題を、いわば停止問題という偽装問題として書き換えようとした。

その後3年間で、彼らは144ページに及ぶ緻密な数学書を次々と書き上げ、過去半世紀にわたる数学と物理学の主要な成果をいくつか組み合わせた。その極めて大まかなアイデアは、平面物質（基本的には原子の格子）内の量子粒子をチューリングマシンのテープの代わりとして使うというものだった。

これは量子物質であるため、粒子は複数の状態の重ね合わせ、つまり物質の異なる可能な構成の量子的な組み合わせを同時に持つことができます。研究者たちはこの特性を利用して、計算の様々なステップを捉えました。重ね合わせは、これらの可能な構成の1つがチューリングマシンの初期状態を表し、別の構成が計算の最初のステップを表し、さらに別の構成が2番目のステップを表す、といった具合に設定されました。

最後に、量子コンピューティングの技術を用いて粒子間の相互作用を操作し、重ね合わせが計算の停止を表す場合、物質にエネルギーギャップが生じるようにした。そして、計算が永遠に続く場合、物質にはギャップが生じない。2015年にネイチャー誌に発表された論文で、彼らはスペクトルギャップ問題が停止問題と等価であり、したがって決定不可能であることを証明した。もし誰かが物質の粒子の完全な記述を渡してきたとしたら、ギャップがあるかないかのどちらかだろう。しかし、粒子の相互作用の仕方からこの性質を数学的に計算することは、たとえ西暦3000年の量子スーパーコンピュータを持っていたとしても不可能である。

2020年、ペレス＝ガルシア、キュビット、そして他の共同研究者たちは、格子ではなく粒子の鎖を用いてこの証明を繰り返しました。そして昨年、キュビット、ジェームズ・パーセル、そしてジー・リーは、この設定をさらに拡張し、次第に強度を増す磁場にさらされると、予測不可能な瞬間に物質の相から別の相へと転移する物質を考案しました。

彼らの研究プログラムは他の研究グループにも刺激を与えた。2021年には、当時学習院大学に在籍していた白石直人氏と国立情報学研究所の松本圭司氏が、エネルギーが「熱化」するのか、物質全体に均一に広がるのかを予測できない、同様に奇妙な物質を考案した。

これらの結果は、特定の物質の特定の特性を予測できないことを意味するものではありません。理論家は、例えば銅のエネルギーギャップを計算したり、あるいはすべての金属が特定の条件下で熱平衡状態にあるかどうかを計算したりできるかもしれません。しかし、この研究は、あらゆる物質に当てはまる万能な手法は存在しないことを証明しています。

白石さんは「あまりに一般的に考えすぎると失敗します」と言った。

計算する流体

研究者たちは最近、量子物理学以外でも予測可能性に関するさまざまな新たな限界を発見した。

UPCのミランダ氏はここ数年、液体がコンピューターとして機能できるかどうかを解明しようと試みてきました。2014年、数学者テレンス・タオ氏は、もし可能であれば、流体を最適な方法で揺らし、無限のエネルギーを持つ津波を引き起こすようにプログラムできるかもしれないと指摘しました。現実世界では無限のエネルギーを波に吸収できるものは存在しないため、そのような津波は物理的に不可能です。したがって、そのようなアルゴリズムを発見した人は誰でも、ナビエ・ストークス方程式と呼ばれる流体理論が不可能なことを予測していることを証明することになるでしょう。これはまたしても100万ドルの価値がある問題です。

ロバート・カルドナ、ダニエル・ペラルタ＝サラス、フランシスコ・プレサスと共に、ミランダはより単純な方程式に従う流体から着手しました。彼らはチューリングマシンのテープを平面上の点（ムーアのピンボール箱の底のような）に変換しました。チューリングマシンが動くと、平面上のこの点は飛び跳ねます。そして、一連の幾何学的変換を加えることで、この点の飛び跳ねを3次元空間を流れる流体の滑らかな流れ（ただし、中心でドーナツ状に丸まっている奇妙な流れ）へと変換することに成功しました。Zoomでこのアイデアを説明するために、ミランダはコンピューターの後ろからゴム製のアヒルを取り出しました。

「水中の点（アヒルかもしれない）の軌道が動き回っている間、これはチューリングマシンのテープが何らかの形で前進しているのと同じことなのです」と彼女は言った。

チューリングマシンには決定不可能性が伴う。この場合、計算が停止することはアヒルを特定の領域に運ぶ流れに対応し、計算が終わらないことはアヒルがその場所を永遠に避け続けることに対応する。つまり、アヒルの最終的な運命を決定することは不可能であることを、研究チームは2021年の論文で示した。

現実世界のコンピューティング

これらのシステムは、実験者が構築するのを阻む物理的に不可能な特徴を持っているが、設計図として見ても、コンピューターとその決定不可能な問題が物理学の構造に深く織り込まれていることがわかる。

「私たちはコンピューターを作れる世界に住んでいます」と、12月の晴れた午後、サンタフェの自宅裏庭でムーア氏はZoomで語った。「コンピューティングはどこにでもあるんです」

しかし、たとえ誰かがこれらの設計図に描かれた機械の 1 つを作ろうとしたとしても、決定不能性は物理理論の特徴であり、実際の実験で文字通り存在することはあり得ないと研究者は指摘しています。真に決定不能となり得るのは、無限に長いテープ、無限に広がる粒子のグリッド、ピンボールやアヒルを置くための無限に分割可能な空間など、無限を伴う理想的なシステムだけです。現実にこのような無限が含まれているかどうかは誰にもわかりませんが、実験では間違いなく存在しません。実験台の上のすべての物体には有限の数の分子が含まれており、測定されたすべての場所には最後の小数点があります。原理的には、これらの有限システムを構成する部品のあらゆる可能な構成を体系的にリストアップすることで、完全に理解することができます。そのため、人間は無限と対話できないため、決定不能性の実用的な重要性は限られていると考える研究者もいます。

「完璧な知識など存在しない。なぜなら、それに触れることはできないからだ」とオーストリアのウィーン工科大学に所属する元物理学者カール・スヴォジル氏は語った。

「これらは非常に重要な結果です。非常に、非常に意義深いものです」とウォルパート氏は述べた。「しかし、結局のところ、人類には何の影響もありません。」

しかし、他の物理学者たちは、無限理論は現実世界の近似であり、本質的な近似であると強調する。気候科学者や気象学者は、海を分子単位で分析することはできないため、海を連続流体として扱うコンピューターシミュレーションを実行する。彼らは有限なものを理解するために無限のものを必要とする。その意味で、一部の研究者は、無限、そして決定不可能性は、私たちの現実の避けられない側面であると考えている。

「『人生は有限だから無限の問題は存在しない』というのは、ある種、独善的だ」とムーア氏は言う。

そして物理学者たちは、ラプラスの悪魔のような先見の明を獲得しようとする探求において、新たな障害を受け入れなければならない。彼らは、ピンボールマシン、量子物質、そしてアヒルの軌道を記述する法則をすべて解明してきたように、宇宙を記述する法則をすべて解明できる可能性もある。しかし彼らは、それらの法則が、理論家がシステムの挙動を早送りし、その運命のあらゆる側面を予見できるような近道を提供してくれるとは限らないことを知りつつある。宇宙は何をすべきかを知っており、時間とともに進化し続けるだろう。しかし、その振る舞いはあまりにも豊かであるため、その未来の特定の側面は、それを考察する理論家たちにとって永遠に隠されたままになるかもしれない。彼らは、そうした不可解なポケットがどこにあるのかを発見できれば満足しなければならないだろう。

「宇宙や数学の仕組みについて何かを発見しようとしているのです」とキュービット氏は言った。「それが解けないという事実、そしてそれを証明できるという事実こそが、答えなのです。」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得 て転載されました。