ブロックを壁に押し付けるという驚くほどクールな物理学

これは私が最初に考えていたよりも難しい物理の問題です。大体こんな感じです。

質量1kgのブロックが垂直の壁に置かれ、静摩擦係数は0.5です。ブロックが落ちないようにするには、壁に対して垂直にどれだけの力でブロックを押す必要がありますか？

ここでは、写真が役立ちます。

さあ、やってみましょう。まずは力の図から始めましょう。このブロックには4つの力が働いています。下向きの重力、押す力、摩擦力、そして壁からの垂直抗力です。力の図で表すと、次のようになります。

このブロックは平衡状態（加速度ゼロで静止）にあるため、正味のベクトル力はゼロニュートンでなければなりません。つまり、x方向の正味の力とy方向の正味の力はゼロでなければなりません。y方向にはどのような力が働いているのでしょうか？それは重力と摩擦力だけです。はい、摩擦力の大きさは重さに等しくなければなりません。摩擦は垂直方向です。なぜなら、このブロックは壁（垂直）と平行だからです。

しかし、ブロックが落ちないようにするには、摩擦力をどのように増やせばいいのでしょうか？摩擦の基本モデルでは、この力の大きさは2つの要素、つまり相互作用する物質の種類と、それらが押し付けられる力によって決まります。ブロックと壁の物質の種類を変えることはできませんが、押し付けられる力は制御できます。上の図では、この力が法線方向の力（Nと表記）です。一般的に、この摩擦モデルは次のように表すことができます。

つまり、押す力（上記のF）は法線力（N）を増加させ、この法線力は摩擦力を増加させて重量を釣り合わせます。残りの手順は省略しますが（宿題としてやってみてください）、最終的に最小の力（最大の摩擦力を使う）は次のようになります。

この答えは意味を成していますか？はい。まず、静摩擦係数は単位がなく、 m g*はニュートン単位なので、単位はニュートンです。次に、摩擦係数が大きいほど、それほど強く押す必要がないことを示しています。これは理にかなっています。しかし、実際のところ、この問題はウォーミングアップに過ぎません。もっと良い問題はどうでしょうか？

次の質問です。同じブロックを斜めに押し上げたらどうなるでしょうか？こんな感じです。

ブロックを浮かせておくには、もっと強く押す必要があるでしょうか、それともそれほど強く押さない方が良いでしょうか？さあ、予想してみましょう。さあ、やってみましょう。ここでも、力の図から始めましょう。押す力が斜めになっていることを除けば、前とほぼ同じです。

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ただし、同じではありません。いくつか面白いことが起こります。まず、力が斜めに押すので、x成分が減少します。つまり、垂直方向の力も減少し、摩擦力も減少します。しかし、力に垂直方向の成分も加わるので、これは問題ありません。この力の図を使って、x方向とy方向の力の合計を書き出すことができます。ほとんどの手順は省略しますが（宿題としてやってもらえるように）、斜めに押す力の大きさは以下のようになります（上記の摩擦モデルも使用しました）。

いいですね。でも、もう一度この式を確認しましょう。単位は正しいでしょうか？はい。この式の分母には、単位のないμsと三角関数しか含まれていません_。つまり、式全体の単位はニュートンです。これは良いことです。では、角度を0度にして押すとどうなるでしょうか？この式のθを0にすると、最初の質問と同じ答え（水平に押す）になります。これで納得です。最後に、θを90度にして真上に押すとどうなるでしょうか？この場合、力の大きさはブロックの重さに等しくなります。これもまた、妥当なようです。

でもちょっと待ってください！水平に押すのと斜めに押すのとでは、どちらに力が必要なのでしょうか？角度が0度から90度の間であれば、分母の値はμsよりも大きくなる_ため、角度がついたときの力は小さくなります。では、最も力を必要としない「最適な」角度はあるのでしょうか？あります！さあ、探してみましょう。

もちろん、上記の力の式をθの関数としてとらえ、θについて微分し、それをゼロに設定することもできます。これは微積分の授業で習う標準的な最大最小問題と同じでしょう。

この問題を力ずくで解くとしたらどうなるでしょうか？必要な力と様々な角度を計算し、最も力が小さい角度を見つければいいのです。手作業でやりたくないので、Pythonを使います。そのプログラムはこちらです（皆さんも試してみてください）。

実行ボタンを押して実行すれば、必要に応じてコードに戻って編集できます。心配しないでください。実際に何かを壊すことはありません。これは非常に単純なプログラムです。しかし、面白いのは、ある角度で押す力が最小になるということです。摩擦係数の値を大きくすると分かりやすくなるため、上記のコードでは0.6に設定しています。この値では、押し出す角度が約59.9°のときに、最小の力が得られます。この力は、水平に押すよりも、また真上に押すよりも小さくなります。実際、どの角度でも水平に押すよりも力は小さくなります。

摩擦係数を変えるとどうなるでしょうか？楽しみのために、このグラフを作成できるようにプログラムを少し複雑にしてみました。（コードはこちらです）

君がどう思おうと構わない。これはクールだ。ほら、退屈な物理の問題だと思っていただろう？でも、それは間違いだった。ああ、これって実生活で何の役に立つんだ？そんなことはどうでもいい。それでも私はすごいと思う。

宿題

コードをいじる以外に、宿題が一つあります。質量、静摩擦係数、そして押し出す角度が同じ値だとします。ブロックが滑り上がる前に押し出せる最大の力はいくらでしょうか？ヒント：摩擦力の方向を変える必要があります。また、角度を変えて何が起こるか試してみてください。まあ、楽しみのためにね。

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