マクスウェル方程式を知ろう - あなたも今まさに使っている

物理学者たちと長く付き合っていると、いつか誰かがマクスウェル方程式について話すようになるでしょう。冗談かもしれないし、Tシャツやタトゥーに出てくるかもしれない。いずれにせよ、どこかには必ずあるはずです。ですから、物理学専攻でなくても、これらの象徴的な方程式の基本を理解しておいて損はありません。

マクスウェル方程式は物理学において非常に重要なものです。電磁波（光とも呼ばれる）をモデル化する方法の一つです。そうそう、ほとんどの発電機や電動モーターの仕組みもマクスウェル方程式です。たとえ意識していなくても、あなたは今まさにマクスウェル方程式を使っています。なぜ「マクスウェル方程式」と呼ばれるのでしょうか？それはジェームズ・クラーク・マクスウェルにちなんで名付けられました。19世紀の科学者で、他にも多くの貢献がありましたが、マクスウェルはマクスウェル方程式をある程度まとめ上げた人物です。

これらの方程式は4つあり、それぞれについて概念的な説明をしていきます。ご安心ください。微積分の知識を新たにする必要はありません。もし数式を理解したいのであれば、これらの方程式は積分と空間微分という2通りの書き方があることをお伝えしておきます。両方の書き方を説明しますが、もし数式が難しそうに思える場合は、無視していただいて構いません。

ガウスの法則

簡単に言うと、ガウスの法則は電荷による電場のパターンを記述するものです。では、電場とは何でしょうか？私はこの説明が好きです。

それはすべての生物によって作り出されるエネルギー場です。それは私たちを取り囲み、私たちを貫き、銀河を一つに結びつけています。

ああ、ちょっと待って。あれは『スター・ウォーズ エピソード4』でオビ＝ワンがフォースについて語った言葉だった。でも、電界の説明としては悪くない。別の定義を書いておこう（私による）。

二つの電荷を取ると、それらの間には相互作用力が働きます。電場とは、それらの電荷の一つに働く単位電荷あたりの力です。つまり、電場は電荷がどのように力を感じるかを表す領域のようなものです。しかし、電場は本当に存在するのでしょうか？ ええと、電場はエネルギーと運動量の両方を持つことができるので、少なくともそれらと同じくらい現実的です。

実際の方程式については気にしないでください。少し複雑なので、その背後にある考え方を説明したいだけです。（この物理方程式を以前に見たことがある方は、これから電束の話になると思うかもしれませんが、「電束は与えられていない」という前提で説明できるか試してみましょう。）ガウスの法則によれば、電場は正電荷から負電荷へと向きます。これをクーロン場（シャルル＝オーギュスタン・ド・クーロンにちなんで名付けられました）と呼ぶことができます。

正電荷は赤、負電荷は青であることは誰もが知っています。実は、なぜいつも正電荷を赤くするのか、自分でもよく分かりません。どうせ見えないですから。また、負電荷による電場が短く見えることにお気づきかもしれません。これは、矢印が電荷から遠いところから始まっているためです。クーロン場の重要な概念の一つは、電場の強さは点電荷からの距離に応じて減少するというものです。

でもちょっと待ってください！すべての電場がこのように見えるわけではありません。電場は重ね合わせの原理も従います。つまり、任意の場所における全電場は、近くにある点電荷による電場のベクトル和になります。つまり、下図のような、2つの等しく反対の電荷（双極子と呼ばれます）によって生じるクールな電場を作ることができるのです。これを作成するために使用したPythonコードはこちらです。

この双極子場は次の方程式にとって重要になります。

磁気に関するガウスの法則

はい、これはもう一つのガウスの法則と非常によく似ています。でも、なぜ前の式は「電気のガウスの法則」と呼ばれないのでしょうか？まず、「電気」という言葉が（まだ）正式な言葉ではないからです。次に、もう一つのガウスの法則の方が先に生まれたので、シンプルな名前が付けられました。小学3年生の時、クラスにジョンという名前の生徒がいました。その後、もう1人のジョンがクラスに加わり、みんなが彼をジョン2号と呼ぶようになったのと同じです。不公平ですが、そういうこともあるのです。

さて、この方程式でまず重要なのはBです。これは磁場を表すために使います。しかし、方程式の反対側がゼロになっていることにお気づきでしょう。これは磁気単極子が存在しないからです。棒磁石の周りに鉄粉が巻かれているこの図を見てください（きっと似たようなものを見たことはあるでしょう）。

これは双極子による電場と非常によく似ています（ただし、粉の塊は広げられないので除きます）。数学的に同じなので、似ているように見えます。棒磁石による磁場は双極子による電場に似ています。しかし、単一の磁気「電荷」だけを取得して、点電荷による電場のように見えるものを得ることはできるでしょうか？いいえ、できません。

磁石を半分に折るとどうなるか、ご説明します。はい、ちょっとズルをしました。上の写真は棒磁石2つです。でも、信じてください。磁石を2つに折ると、こんな感じになります。

やはり双極子です。点電荷による磁場は電場のように見えることはありません。なぜなら、個々の磁荷（磁気単極子と呼ばれる）が存在しないからです。これは基本的にガウスの磁気の法則が述べていることと同じです。つまり、磁気単極子というものは存在しないということです。さて、ここではっきりさせておきましょう。私たちは磁気単極子を見たことはありません。もしかしたら存在するかもしれません。

ファラデーの法則

この方程式を超簡潔にまとめると、電場を作る別の方法があるということです。電場を作るのは電荷だけではありません。実際、変化する磁場によっても電場を作ることができます。これは電場と磁場を結びつける非常に重要なアイデアです。

まずは定番のデモンストレーションから始めましょう。ここに磁石、コイル状の電線、そして検流計（基本的には微小な電流を測定する装置です）があります。磁石をコイルに差し込んだり離したりすると、電流が流れます。

コイルの中に磁石をただ差し込んでいるだけでは電流は流れません。変化する磁場が必要です。ところで、電場はどこにあるのでしょうか？電流を発生させるには、電線の方向に電場を作る必要があります。電線内のこの電場が電荷を押し出して電流を発生させます。

しかし、この電場には何かが違う。正電荷から離れて負電荷に向かうのではなく、電場のパターンは単に円を描いている。このような場合を「渦巻電場」と呼ぶことにする（この用語は、私が愛読する物理学の教科書の著者から拝借した）。つまり、電荷から形成される電場は「クーロン場」と呼ぶことができる（クーロンの法則による）。

これは、変化する磁場と誘導される渦巻電場の関係を示す大まかな図です。

円の内側に磁場の方向を示していますが、実際に重要なのは磁場の変化の方向であることに注意してください。

アンペール・マクスウェルの法則

似ている点に気づきましたか？この式はファラデーの法則に似ていますよね？EをBに置き換え、項を一つ追加しているだけです。この式は磁場を作る2つの方法を示しているという基本的な考え方です。1つ目は電流を使う方法です。

超簡単なデモをご紹介します。磁気コンパスに電線を巻き付けてあります。電流が流れると磁場が発生し、コンパスの針が動きます。

このデモでは分かりにくいですが、この磁場の形状は渦巻き状の磁場です。電流を流した紙の上に鉄粉を置くと、なんとなく分かります。

数値計算の出力を見れば、この磁場の形状がもう少しよくわかるかもしれません。これは、電流が流れる電線の一部と、その結果生じる磁場を示しています。

実は、この画像の作成は複雑に見えるかもしれませんが、実際にはそれほど難しくありません。Pythonを使って磁場を計算するチュートリアルはこちらです。渦巻き状の磁場を作成する別の方法があります。それは、変化する電場を使う方法です。そうです、変化する磁場が渦巻き状の電場を作成するのと同じ方法です。その様子は以下のようになります。

先ほどの渦巻き磁場の図に合わせてベクトルの色を変えていることに注目してください。これは細部にこだわったからです。でも、一番すごいところをまとめましょう。電場を変えると渦巻き磁場ができます。磁場を変えると渦巻き電場ができます。すごいですね。

光はどうですか?

マクスウェル方程式に関連する最も一般的なトピックは電磁波です。電磁波はどのように機能するのでしょうか？電場と磁場だけが存在する空間領域があるとします。電荷も電流もありません。例えば、この図のような状態だとします。

ここで何が起こっているのか説明しましょう。コンピューターの画面に向かって電場があり (そうです、2D 画面で 3 次元を扱うのは大変です)、磁場が下を向いています。この磁場のある領域は、ある速度 v で右に移動しています。あの四角形はどうでしょうか。あれはある領域の輪郭にすぎません。しかし、問題は次の通りです。電場がその四角形に向かって移動すると、変化する場が発生し、それが磁場を作り出すことができます。これに垂直な別の四角形を描くと、変化する磁場が発生し、それが磁場を作り出すことができることがわかります。実際、この空間領域が光速 (3 x 10 ⁸ m/s) で移動する場合、変化する磁場は変化する電場を作り出すことができます。これらの場は、電荷や電流がなくても互いにサポートできます。これが電磁パルスです。

電磁波は振動する電場であり、振動する磁場を生み出し、さらに振動する磁場が振動する電場を生み出します。ほとんどの波は伝わるために何らかの媒体を必要とします。音波は空気（または他の物質）を必要とし、海の波は水を必要とします。しかし、電磁波はこれを必要としません。電磁波はそれ自体が媒体なのです。電磁波は何も無い空間を伝わることができるので、地球上で太陽の光を得ることができるのです。

2019年12月9日午後4時30分（東部標準時）に更新: 記事は、James Clerk Maxwell のミドルネームのスペルを修正するために更新されました。

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