父と息子のチームが無限の折り畳みを持つ幾何学の問題を解く

コンピュータ科学者のエリック・ドゥメイン氏と、アーティストでありコンピュータ科学者でもある父マーティン・ドゥメイン氏は、長年にわたり紙折りの限界に挑戦してきました。彼らの精巧な折り紙作品は、ニューヨーク近代美術館の常設コレクションに収蔵されており、10年前にはPBSで放送された折り紙芸術に関するドキュメンタリー番組でも取り上げられました。

二人が協力し始めたのは、エリックが6歳の時でした。「『エリックとパパのパズル会社』という会社を経営し、カナダ中のおもちゃ屋にパズルを製造・販売していました」と、現在マサチューセッツ工科大学教授を務めるエリック・デメイン氏は語ります。

エリック・ドゥメインは父親から基礎的な数学と美術を学びましたが、最終的にはマーティンに高度な数学とコンピュータサイエンスを教えました。「今では私たちは二人ともアーティストであり、数学者／コンピュータサイエンティストでもあります」とドゥメインは言います。「私たちは多くのプロジェクトで協力していますが、特にこれらの分野を横断するプロジェクトでは特にそうです。」

彼らの最新作である数学的証明は、この共同研究を新たな極限へと押し上げます。それは、無限の折り目が刻まれた後に形が崩壊するという領域です。当初は彼ら自身でさえ、このアイデアを受け入れるのに苦労しました。

「私たちはしばらくの間、『これは合法なのか？これは本当のことなのか？』と議論しました」と、MITのマーティン・デメイン氏とザカリー・アベル氏、椙山女学園大学の伊藤仁一氏、シンガポール国立大学のジェイソン・クー氏、明治大学の奈良千恵氏、ウォータールー大学のジェイソン・リンチ氏とともに新論文の共著者であるエリック・デメイン氏は述べた。

昨年5月にオンライン投稿され、10月にComputational Geometry誌に掲載されたこの新たな研究は、デメイン夫妻自身が2001年に、エリックの博士課程の指導教官であるウォータールー大学のアンナ・ルビウと共に提起した疑問に答えるものである。彼らは、有限な多面体（または平面）形状（球体や無限平面ではなく、立方体など）を、折り目を使って平らに折りたたむことが可能かどうかを解明しようとした。

形状を切ったり引き裂いたりすることは許されません。また、形状の固有の距離は維持されなければなりません。「これは、単に『素材を伸ばしたり縮めたりしてはいけない』という意味を言い換えただけです」とエリック・ドゥメイン氏は言います。このタイプの折り方は交差を避ける必要があり、「紙が自身を貫通しないようにする」必要があります。なぜなら、現実世界ではそのようなことは起こらないからです、と彼は指摘します。この制約を満たすことは、「すべてが3Dで連続的に動いている場合には特に困難です」と彼は付け加えました。これらの制約を総合すると、形状を単純に押しつぶすだけではうまくいかないことがわかります。

証明では、無限折り戦略に頼ればこの折り畳みが実現可能であることが立証されていますが、それは同じ著者のうちの 4 人が 2015 年の論文で紹介した、より現実的な手法から始まります。

そこで彼らは、より単純な図形のクラス、すなわち面が直角に交わり、x、y、z座標軸の少なくとも1つに垂直な直交多面体について、折り畳みの問題を研究しました。これらの条件を満たすことで、図形の面は長方形となり、冷蔵庫の箱を折りたたむのと同じように、折り畳みが簡単になります。

「それぞれの角が同じように見えるので、これは比較的簡単に理解できます。単に2つの平面が垂直に交わっているだけです」とエリック・デメインは言いました。

2015年の成功後、研究者たちはこの平坦化技術をあらゆる有限多面体に適用しようと試みました。この変更により、問題ははるかに複雑になりました。非直交多面体では、面が三角形や台形になる可能性があり、冷蔵庫の箱に有効な折り目をつける手法は、角錐には適用できないからです。

特に、非直交多面体の場合、任意の有限数の折り目から、常に同じ頂点で交わる折り目がいくつか生成されます。

「それが私たちの（折りたたみ）ガジェットを台無しにしてしまった」とエリック・デメイン氏は語った。

彼らはこの問題を回避するために様々な方法を検討しました。そして、その探求の結果、特に非凸な物体を平坦化しようとするときに現れる手法にたどり着きました。それは、立方格子と呼ばれる3次元の無限格子です。立方格子の各頂点では、多くの面が接し、辺を共有しているため、これらの点のいずれか1つで平坦化を達成するのは至難の業です。

「実際には、必ずしもそれができるとは思わないだろう」とクー氏は語った。

しかし、この悪名高い難解な交差を平坦化する方法を検討した結果、研究者たちは最終的に証明の基盤となる手法に辿り着いた。クー氏によると、まず研究者たちは「頂点から離れた場所」で平坦化できる場所を探した。次に、平坦化できる別の場所を見つけ、このプロセスを繰り返し、問題となる頂点に近づきながら、進むにつれて形状をより平坦化していった。

途中で止めればさらに作業が増えることになるが、手続きを永久に続ければこの問題を回避できることを証明できるだろう。

「問題のある頂点に近づくにつれて、スライスをどんどん小さくしていくという極限において、それぞれの頂点を平坦化できるでしょう」とクー氏は述べた。ここで言うスライスとは、実際のカットではなく、形状を小さなピースに分割し、セクションごとに平坦化することをイメージするための概念的なカットだとエリック・ドゥメイン氏は説明する。「そして、これらの解を概念的に『接着』して、元の面の解を得るのです。」

研究者たちは、この同じアプローチをすべての非直交多面体に適用しました。有限の「概念的」スライスから無限の「概念的」スライスへと移行することで、数学的に極限まで推し進めた手順を考案し、彼らが求めていた平面物体を生成しました。その結果、この問題に取り組んできた他の研究者を驚かせる形で、この疑問は解決されました。

「無限の数の折り目を使うなんて、全く思いもしませんでした」と、この問題に取り組んできたスミス大学のコンピューター科学者で数学者のジョセフ・オルーク氏は語った。「彼らは、解の基準を非常に巧妙な方法で変えてしまったのです。」

数学者にとって、この新たな証明は答えとなる疑問と同じくらい多くの疑問を提起する。例えば、有限個の折り目だけで多面体を平坦化できるかどうかは依然として不明だ。エリック・ドゥメインは可能だと考えているが、彼の楽観的な見方は単なる勘に基づいている。

「私はいつもそれが可能であるはずだと感じていました」と彼は語った。

この結果は興味深い好奇心を掻き立てるものですが、他の幾何学の問題にもより広範な影響を与える可能性があります。例えば、エリック・ドゥメインは、彼のチームが開発した無限折り畳み法をより抽象的な形状に適用することに興味を持っています。オルークは最近、この手法を用いて4次元の物体を3次元に平坦化できるかどうかを調べるようチームに提案しました。数年前には突飛に思えたアイデアかもしれませんが、無限折り畳みはすでに驚くべき結果を1つ生み出しています。もしかしたら、新たな結果を生み出す可能性もあるかもしれません。

「同じようなアプローチがうまくいくかもしれない」とエリック・デメイン氏は言う。「確かに検討すべき方向性だ」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。