封筒裏の計算をもっと上手にする方法

推定の技術は物理学者にとってまさに生命線です。私たちは皆、優れた推定問題が大好きです。これは「封筒裏計算」や「ナプキン計算」と呼ばれることもあります。この筆記媒体は、問題に取り組むための準備がいかに少ないかを強調するものです。推定者は、まっさらな紙を探す時間さえ取れないのです。

しかし、こうした計算は単なる楽しみのためではなく、役に立つものでもあります。良い例として、私が最近計算した「人間を持ち上げるのにどれくらいの大きさの風船が必要か？」という問題があります。

うわあ！ここで「でも待って！これは熱気球？水素気球？何の素材でできてるの？」と疑問に思う人もいるかもしれません。答えは「わからないし、どうでもいい」です。推定問題の真の強みは、わからないことはほぼ無視できるということです。確かに、何が重要で何がそうでないかを見極めるにはある程度の練習が必要です。さて、それでは私の仮定と推定から始めましょう。

風船の浮力は、押しのけられた空気の重力の重さに等しくなります。
空気の密度は1立方メートルあたり約1キログラムです。
人間の質量は90キログラムです。
風船は、辺の長さが L の立方体です (もちろん、実際には立方体ではありません)。
空気と風船の素材の重さは無視します。

さあ、始めましょう。人間が風船で持ち上げられるには、浮力が人間の体重と等しくなければなりません。あらゆる物体の浮力は、その物体が押しのけた空気（または水）の重力に等しくなります。空気の密度が分かれば（私は知っています）、風船の体積を求めることができます。計算を簡単にするために、球形の風船ではなく立方体の風船を使います。どちらも大きさがほぼ同じなので、大きさは問題にならないはずです。

空気の密度が1kg/m ³で、人間の体重が約90kgだとすると、風船の容積は90立方メートルになります。さて、90の立方根を取るだけです。計算機を使うと計算が面倒になってしまうので、ここでは使いません。さて、立方根は難しいので、とりあえず大まかな値を求めましょう。5の3乗は125、4の3乗は64です。その差を割り算して、90の3乗根は4.5としましょう。つまり、立方体の直径は4.5メートル、つまり約12フィートです。風船の直径は約12フィートになります。

この答えは間違っています。多くの理由で間違っています。私は正しい形の風船を使用しておらず、空気の密度の値を間違っていました (実際は 1.2 kg/m ³に近いです)。最大の間違いは、風船内のガスの質量を考慮に入れておらず、風船の素材の質量を含めていなかったことです。しかし、絶対に正しいことが推定の目的ではありません。私の推定では、少なくとも大まかな答えが得られました。これは、お店で見つけることができる最大のパーティー用風船よりも大きくなければならないことはわかっています。パフォーマンス中のピエロから風船の束をつかんで、それを使って浮かべることさえできないでしょう。それは巨大な風船でなければなりません。直径 12 メートル以上です。

分かりましたか？この見積もり、楽しかったですよね？また別の見積もりをしますが、まずは優れた見積もりの重要な要素をいくつか説明させてください。

何かから始めなければなりません。何らかの推定値や物理法則に基づいて始める必要があります。重力や月が地球を一周するのにかかる時間について何も知らないのに、月の質量を推定することはできません。上の例では、たまたま空気の密度は以前使っていたので知っていました。また、浮力と物体の大きさの関係（アルキメデスの原理）も知っていました。それがなければ、私はかなり行き詰まっていたでしょう。

おおよその値で構いません。空気密度を1.2 kg/m ³ではなく1.0 にしたことには問題がありますか？あまり問題ではありません。確かに空気密度を1.2 kg/m ³にすると風船のサイズは小さくなりますが、極端に小さくなるわけではありません。風船の正確なサイズを計算しようとしているわけではないことに注意してください。適切なサイズかどうかを確認したいだけです。それでは、どうぞ。重力場の値は9.8 N/kgではなく10 N/kgにしてください。計算が簡単であれば、人間の質量を100 kgにしてください。結局のところ、それほど問題にはなりません。

推定問題は、鉛筆で描いたラフスケッチのようなものです。写真のように細部まで正確に描かれているわけではありませんが、何が起こっているのかを大まかに把握するには十分です。

問題の最も単純なバージョンを選びましょう。牛からの熱放射を推定したい場合、牛の表面積を知る必要があります。これは複雑なので、もっと簡単に考えてみましょう。球形の牛はどうでしょうか？（物理学の定番ジョーク）牛は実際には球形ではありませんが、この問題では球形に近い形をしています。また、球形の表面積は計算が簡単です。

値がわからない場合は、少なくとも妥当な範囲を取得してください。でも、ちょっと待ってください! 空気の密度がわからなかったらどうしますか? 風船の問題はどうやって解けばいいのでしょうか? では、始めましょう。あなたが知っている密度の値はどれくらいですか? 水はどうですか? 密度は 1000 kg/m ³です。空気の密度はこれより高いべきか低いべきか? はい、低いです。でも、どのくらい低いのでしょうか? 100 kg/m ^{3はまだ高すぎるように思えます。10 kg/m}³を使ったらどうでしょうか? これはかなり高いですが、少なくとも第一歩です。また、密度は明らかに 0 kg/m ³より大きいです。範囲は 0.1-10 kg/m ³はどうでしょうか。ほら、少なくとも今は作業するものができました。

答えを確認しましょう。風船の大きさを推定して4.5キログラムと答えたとしても、おそらく正しくありません。単位は重要なので、答えが正しい単位であることを確認してください。他にも確認すべき点があります。風船の直径がマイナスになっていませんか？推定値を再確認した方が良いかもしれません。しかし、単位はあなたの味方でもあります。水の流量と流速の関係がわからない場合は、単位が合っているか確認するだけで、関係性を見つけられるかもしれません。

終端速度に達するにはどのくらい落下する必要がありますか?

もう一つ、面白い推定問題があります（実際に何度も出題された問題です）。なぜこの問題を問うのでしょうか？終端速度で落下する物体をテストしたいとします。当然のことですが、終端速度で移動する物体を落とすのは良いことです。しかし、どれくらいの高さから落とすのでしょうか？やってみましょう。

これが私の最初の仮定と見積もりです。

人間の質量は 75 kg です (はい、以前は簡単だったので 90 kg を使用していました)。
人間の終端速度は時速120マイル（これは私の頭の中にこびりついた、くだらない事実の一つです）。ああ、これは67メートル/秒（より正確な単位で言えば）か、簡単に言えば約50メートル/秒ですね。
重力場は10 N/kgです。
空気抵抗は反対方向に働き、速度とともに増加します。空気抵抗は人間の速度の2乗に比例するとしましょう。

物体が静止状態（空中）から落下するとき、本質的に2つの力が作用します。まず重力による下向きの引力があり、次に物体の速度が増すにつれて上向きの空気抵抗が生じます。重力が空気抵抗よりも大きい限り、物体は落下するにつれて速度を増します。終端速度とは、2つの力が釣り合い、物体が一定速度で移動する点を指します。

空気抵抗のある物体の運動をモデル化するのは、実はかなり難しいです。問題は、力（そして加速度）は速度に依存するのに、速度は加速度に依存するということです。そこで、もっと単純化しましょう。空気抵抗は無視することにします。

空気抵抗がない場合、人間は10 m/s ²の一定加速度で落下します。これで、速度50 m/sに達するまでの時間を計算できます。物体の速度は毎秒10 m/sずつ増加するため、この速度に達するには5秒かかります（加速度の定義を用いる）。

では、距離はどうでしょうか？物体はずっと50m/sで動いているわけではありませんが、誰が気にするでしょうか？とりあえずそう仮定しましょう。もし5秒間50m/sの速度で動いたとしたら、250メートルの距離を移動します。ですから、これは良い出発点と言えるでしょう。少なくとも490メートルの高さから落とす必要があります。実際にはそれほど速く動いていないでしょうから、おそらくもっと高い高度から落とすことになるでしょう。

Pythonは新しい封筒です

封筒や紙切れで計算することは滅多にありません（今でも時々はしますが）。その代わりに、Pythonを使って簡単な数値計算をするのが、同じくらい早いんです。特に今はスマートフォンでPythonの計算ができるので、とても便利です。おかげであっという間に計算できます。あくまで概算ですが、より正確な概算になります。

落下する人間の例で、空気抵抗を考慮し、速度を時間の関数としてプロットできるようになりました。結果は以下の通りです（詳細は割愛します）。「再生」ボタンを押すだけで計算が実行され、コードを編集しても何も変わりません。

250 メートルの高さから落下すると、人間は終端速度に完全には到達しないことに注意してください。ただし、これはかなり正確な推定値です。

宿題

見積もりに関する質問をもう少しせずにはいられません。いくつか質問を用意しましたので、ぜひ試してみてください。

ニューヨークからロサンゼルスまで歩くとどれくらい時間がかかりますか？
寝室に水を満たした場合（上まで）、その水を全部飲むのにどれくらいの時間がかかりますか？
アメリカで音叉を製造・販売したいと考えています。毎年どのくらいの音叉を購入するのが妥当でしょうか？
地球上にはどれくらいの虫がいるのでしょうか？注：友人は空中で虫を食べる鳥を観察し、その鳥のカロリー必要量を推定することでこの推定を行いました。これは面白いですね。
もしフロリダ州がカーペットで覆われていたら、掃除機をかけるのにどれくらいの時間がかかるでしょうか?

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