ハーレムの地球の旅人が飛行機から砲弾を撃ち落とす様子をご覧ください

バスケットボールのトリックショットが得意だと思ってる？まあ、確かにそうかもしれないけど、飛んでる飛行機からシュートして得点できる？ハーレム・グローブトロッターズがまさにそれだ（デュード・パーフェクトもやってたかもしれないけど）。

私にとって、これは古典的な物理学の問題です。物理学の入門書を開けば、まさにこれと同じような問題が見つかるはずです。きっとあります。こんな感じです。

パイロットは、人間に荷物を落とすために飛行機を飛ばす必要があります（ご自身のバックストーリーを自由に追加してください）。飛行機は高度10メートル、速度20メートル/秒で飛行しています。荷物は、投下地点のどれくらい手前で水平方向に落とすべきでしょうか？

ここに問題に対応する図があります。

ハーレム・グローブトロッターなら、ターゲットをバスケットボールのゴールに置き換えることもできます。

物理学の解答

ではこの問題を解いてみましょう。

率直に言って、これは単なる投射運動の問題です。ボールが平面から離れると、基本的に作用する力はただ一つ、真下に引っ張る重力だけです。これにより、ボールは垂直方向に9.8 m/s ²の加速度を持ち、水平方向には一定の速度を持ちます。これが投射運動の定義とほぼ同じです。では、空気抵抗はどうでしょうか？確かに、多少は影響するかもしれませんが、空気抵抗の考察は宿題として残しておきます（最後に）。

さて、投射物の運動問題の秘密を解き明かしましょう。（この秘密は絶対に守ってください。）投射物の運動問題には、実際には2つの別々の運動学の問題があります。水平方向は等速度問題、垂直方向は等加速度問題です。これら2つの運動（X方向とY方向）は、かかる時間を除いて独立しています。

つまり、ある方向（例えばy方向）の移動時間を求めることができます。そして、同じ時間をx方向についても計算し、何か有用な結果を導き出すことができます。まさにこれからやろうとしていることです。少し計算があるので、覚悟しておいてください。また、最後まで（高さなどの）値を入力せずに解きます。これが物理学のやり方です。

まず最初に、これについて説明します。

初期の水平方向のx速度 = v ₀（物体は平面と同じ水平速度で移動している）
初期x位置 = 0（原点から開始）
最終的な x 位置 = x (図のように x と呼びます)
初期垂直速度 = 0 (初期はy方向に移動していない)
初期y位置 = h
最終的なy位置 = 0（地面をy = 0と呼ぶ）

先ほど言ったように、まずy方向から始めて、運動にかかる時間を調べましょう。y方向には一定加速度-gがあります（ここでは鉛直加速度をgとします）。一定加速度の運動学方程式を用いると、次のようになります。

最終位置はゼロ、初速度は0m/sなので、これを使って運動時間を求めることができます。ここでは代数的な手順をいくつか省略していますが、戻ってご自身で計算してみてください。

これで、この時間を水平方向の運動に使うことができます。ボールのx速度と時間がわかっているので、開始位置を求めることができます。x加速度は0 m/s ²であることを覚えておいてください。

ブーーン。これで完了です。では、高度と初速度の値を近似値として入力してみましょう。この飛行機はほぼ限界まで減速していると仮定します。パイパーカブの失速速度は約時速38マイルなので、初速度は少し速く、20メートル/秒としましょう。標準的なバスケットボールのフープの高さは3.05メートルなので、飛行機の高さはその2倍の6.1メートルだとしましょう。これらの値を上記の解に代入すると、水平距離は22.3メートルになります。これがボールを放すべき地点です。

ビデオ分析

でも待ってください！それだけではありません。グローブトロッターズが試合を横から撮影した動画を制作してくれたので、動画分析を使ってバスケットボールの動きをプロットすることもできます。これはちょっとした楽しみです。基本的な考え方は、動画の各フレームでボールの位置をマークし、位置と時間のデータを取得することです。この作業には、いつもお気に入りの無料ソフトウェア「Tracker Video Analysis」を使っています。

この分析から、2つのグラフを共有したいと思います。まず、これは飛行機とボール（落下直後）の軌道（垂直位置と水平位置）です。

いくつか注意すべき点があります。各時間（フレーム）において、ボールのX座標は飛行機のX座標と同じ位置にあります。ボールと飛行機はどちらも同じ水平速度で移動しています。では、飛行機の垂直位置はどうでしょうか？なぜ高度が下がるのでしょうか？私の推測では、高度は下がっておらず、カメラの設置方法によって高度が見かけ上変化していると考えられます。飛行機が移動すると、カメラからの距離が変わり、飛行機の見かけの大きさも変わります。スケールとしてバスケットボールゴールのサイズを使用しているため、高度が多少ずれることになります。とはいえ、それほど大きな問題ではありません。

さて、次のグラフです。これは、ボールの水平位置と垂直位置を時間の関数として表したものです。

水平データに線形関数を当てはめると速度は17.6 m/s（39.3 mph）となり、これは私が推定した通り、パイプカブの失速速度にかなり近い値です。垂直データに二次関数を当てはめると、垂直加速度は-7.78 m/s ²となります。これは期待値とは少し違いますが、それでもかなり満足のいく結果です。

宿題

遊びはもう十分だ。さあ、宿題の時間だ。いくつか質問がある。

動画では、バスケットボールゴールの前の地面にコーンがいくつか置かれていますが、ゴールからどれくらい離れていますか？
飛行機の高度はどれくらいですか？上のグラフから分かります。高度と速度から、ボールを打つのに最適な位置はどこでしょうか？
空気抵抗は重要ですか？空気抵抗によるボールのおおよその加速度を計算してください（近似値が必要です）。
ボールとバスケットボールのゴールの大きさに基づくと、人間がボールを放しても得点できる時間の範囲はどのくらいですか?
同じ状況の数値モデル（Pythonをお勧めします）を作成してみてください。ランダムな初期値で再実行し、ボールがどれくらいの頻度で「ヒット」するかを確認してみるのも面白いでしょう。もしよろしければ、以前似たようなモデルを作ったことがあります。

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