はい、自宅で電界マップを作成できます

物理学者が研究する分野の中には、他の分野よりも測定が難しいものがあります。自由落下する物体の加速度を観察するなら、かなり簡単です。ボールを落として、高さと時間を測定すれば、有益なデータが得られます。重力場も、それほど難しくなく測定できます。

では、電界はどうでしょうか？どうやって測定するのでしょうか？それほど単純ではありませんが、できることはあります。導電性の紙を使って電界をマッピングするという方法です。大体うまくいきますが、いくつか問題もあります。それでは、この全体を見ていきましょう。

電界とは何ですか?

電場とは何かを理解するには、重力場という類似の考え方から始めると分かりやすいでしょう。ある質量（m）のボールを持っていると想像してください。このボールには下向きの重力（F）が働いており、その値はボールの質量に定数gを掛けた値に等しくなります。ここでgは9.8ニュートン/キログラムです。

ボールの質量が1キログラムの場合、重力は9.8ニュートンになります。これを10キログラムの質量に置き換えると、重力は98ニュートンになります。この2つの質量で変わらないものは何でしょうか？それは定数gです。これを重力場と呼びます。これは基本的に、地球の表面付近における単位質量あたりの力です。

では、電荷について同様のことをしてみましょう。電荷は、陽子や電子のような粒子の場合もあれば、乾燥機から取り出した靴下のように、正味電荷がゼロではない物体の場合もあります。2つの電荷間の電気的相互作用は通常、重力よりもはるかに強力ですが、正電荷と負電荷の数が同数であるため、相互作用をほぼ打ち消すため、通常はその効果に気づきません。

では、乾燥機に入れた靴下はどうでしょうか？確かに、2足の靴下は帯電して相互作用しますが、靴下は大きすぎてここでは役に立ちません。では、もし点のような電荷を1つだけ持てたらどうでしょうか？点電荷は非常に小さいので、大きさは問題になりません。電子はまさにその好例です。電子が1クーロン（これは非常に大きいですが、今は気にしないでください）の電荷を持っているとします。この電荷が1ニュートンの電気力を受けると、電場の領域にあると言えます。この電場の値は次のように計算できます。

この式では、ベクトルEは電場、Fは電気力、qは電荷です。重力場が単位質量あたりの力であるのと同様に、電場は単位電荷あたりの力です。つまり、電場は電荷または電荷分布の周囲の「電気の影響範囲」を記述する方法を与えてくれます。信じてください、これは本当に便利です！

電位

次に、電位の変化について考えてみましょう。位置エネルギーを考える最も良い方法は、重力とのアナロジーに戻ることです。1kgのボールを1メートル持ち上げると、仕事（正確には9.8ジュール）がかかります。これにより、ボールの重力による位置エネルギーが増加します。

同じことが電場と電気力についても言えます。仕事-エネルギー原理を含む完全な導出は避け、ここでは定義だけ説明します。一定の電場がある場合、電位の変化は次のようになります。

この式では、ΔVは電位の変化、Eは電界の大きさ、sは移動距離です。これは実際には単位電荷あたりの電位エネルギーの変化ですが、ボルト単位で測定されるため、私たちはしばしば面倒くさがり屋で「電位」や「電圧」と呼んでしまいます。何と呼ぶにせよ、常に電位の変化を扱っていることを忘れないでください。

最後にもう一つ。空間における電位の変化がわかれば、次の関係式で電界を求めることができます。

これは、電場のx成分（つまりx方向）は、電位が位置によってどのように変化するかに依存することを示しています。代わりにy方向に移動すれば、電場のy成分を求めることができます。電場は依然としてベクトルであることを覚えておいてください。一つの値だけでは全体像はわかりません。

しかし、ここで問題なのは、電界を直接測定することはできませんが、電位差を測定することはできるということです。これが電圧計の役割です。それでは、実験をしていくつか測定してみましょう。そうすることで、電位差と電界の関係をより深く理解できると思います。

古典的な実験

これがその仕組みです。導電性インクで線を描いた導電性紙（写真の2本の銀色の線）を使って、帯電したプレートを表現します。（2次元の紙なので線で描いています。3次元の紙が欲しかったのですが、バックオーダーになっていました。）

左側の赤いケーブルが接続された装置は電源です。基本的には可変抵抗電池のようなもので、この場合は6ボルトに設定されています。プラス出力を紙の右側の導電板に、マイナス出力を左側の導電板に接続しています。この2つの導電板には6ボルトの電位差があります。

右側にある黒いケーブルが付いている機器は電圧計です（厳密にはマルチメーターで、電位だけでなく他の測定もできます）。電位の変化を測定するには2本の電線が必要です。これらの電線のうち1本を負極の導電板に当て、もう1本を紙の上の別の場所に動かすことができます。こうすることで、負極板を基準とした各点の電位を測定できます。

（あ、ちょっとコメント。理論上の電位を計算するときは、無限遠点を基準にするのが一般的です。ただ、私のケーブルはそれほど長くないので、負極板を基準点として使用しました。）

さあ、データを取得しましょう！導電紙には1cmごとに目盛りが付いているので、電圧計のプラス側を別の場所に移動させ、電圧値と位置を( x , y )座標で記録します。そこから、次のような等高線図を作成できます。

これは実に素晴らしいですね。でも、これは一体どういう意味でしょうか？これらの等高線は地形図の線に似ています。地形図では、それぞれの線は同じ高度（ある固定点、例えば海面）にある点の集合で構成されています。同様に、電位図上の線は、（負極板を基準として）同じ電位にある点の集合で構成されています。これを等電位線と呼びます。

この電位プロットでは、2枚の導電板がグラフの上下にあります。これらの導電板に平行に移動すると、ほぼ等電位線に沿って移動していることがわかります。これらの線を見ると、この地域の電界の様子が分かります。地形図に例えると分かりやすいでしょう。地形図に例えると、上の線が6メートル（ボルトではなく）で、下の線が0メートル付近にある丘のように見えます。等高線はほぼ均等に間隔が空いているので、ほぼ直線的な下り坂です。電界の観点から見ると、これは一定の電界が「下り坂」を向いていることになります。

では、これらの導電板間の電界を数値的に表すとしたらどうでしょうか？ 片方の板からもう片方の板まで、真ん中をまっすぐ進むだけで、異なるy座標に対する電位値が得られます。その様子は以下のようになります。

電場と電位の関係を思い出してください。電場は、電位の変化を位置の変化で割った値の負数です。電位と位置の関係をプロットすると、傾きと同じになります。上のグラフは線形関数であることに注目してください。これは傾き、つまり電場が一定であることを意味します。傾きから、0.713ボルト/cm (0.00713 V/m) という一定の電場が得られます。ちなみに、1 V/m は 1 ニュートン/クーロン と同じです。どちらも電場の単位として同じ意味です。

でもちょっと待ってください！電場は電気力と関連しているので、ベクトルであるはずです。上で計算した値は傾きから算出したものなので、単なるスカラー値です。実は、これには簡単な修正方法があります。電位をy座標に対してプロットしたので、これで電場のy成分が得られます。x成分を求めるには、その方向の電位もプロットする必要があります。

しかし、この場合、電位はx方向にはほとんど変化しません。つまり、電界のx成分は0V/mになります。実のところ、これがこれらの平行導体板の良い点です。一方向に一定の電界を形成するのです。

なぜ紙が必要なのでしょうか?

さて、これが電界と電位差についての簡単な紹介です。さて、皆さんがまだ質問していない重要な質問への答えです。

9ボルトの電池の端子を、紙を使わずに10cm間隔で平行に置いた2枚のアルミホイルに電線で接続したとします。この実験を繰り返して、これらの板間の電界を計算できますか？

答えはノーです。うまくいくはずです。理論的には、2枚のアルミニウム板の電位差と距離の変化が起こります。2枚の平行板があるので、電界はほぼ一定になるはずです。しかし、うまくいきません。電圧計の片方のプローブを負極ストリップに、もう片方を真ん中に当てると、4.5ボルトを示すはずです。ところが、実際には0ボルトを示します。

問題は電圧計です！電圧計は電位の変化を測るだけです。実際には電流を測っているのです。電圧計内部の抵抗器に流れる電流値がわかれば、電位の変化を計算できます。それほど大きな電流は必要ありませんが、電流は必要です。2枚のアルミホイルの場合、空気中を流れる電流が足りず、電圧計が読み取れないのです。

これが導電性紙を使う理由です。2枚の平行な導電板に電位差を加えると、紙に電流が流れます。電圧プローブを紙に当てると、電流が測定され、電圧が算出されます。これがこの原理です。

もちろん、これは完璧な設定ではありません。2枚の平行板の間の電界を調べたいのですが、実際には板は存在せず、線で表されているだけです。これは、紙が現実世界のような3次元ではなく、2次元だからです。このような状況では、電界は一定なので大きな問題にはなりません。しかし、現実の3次元の点電荷と同じ結果にはなりません。さらに、エッジ効果という問題もあります。紙の端に近づくと、エッジによって電流の方向と大きさが変わります。これは興味深い境界条件を追加しますが、同時に、現実の3次元の電荷とは異なるものにもなります。

それでも、実際に電界を計算できる古典的な実験なので、私は気に入っています。

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