二人の数学者が、整数の加法性に関する最も有名な予想の一つである、最初の部分を解きました。ハンガリーの伝説的な数学者ポール・エルデシュによって60年以上前に提唱されたこの予想は、「無限の整数のリストに、26、29、32のように、少なくとも3つの等間隔の数字のパターンが必ず含まれるのはいつなのか」というものです。
エルデシュは生涯を通じて何千もの問題を提起したが、どの数列に等間隔の数が含まれるか（数学者が等差数列と呼ぶ）という問題は、彼の永遠のお気に入りの一つだった。「多くの人がこれをエルデシュの一番の問題だと考えていたと思います」と、ケンブリッジ大学のティモシー・ガワーズ氏は述べた。1998年にフィールズ賞を受賞したガワーズ氏は、この問題を解くために多くの時間を費やしてきた。「ある程度野心的な加法的な組合せ論者なら、ほぼ誰でもこの問題に挑戦したことがあるでしょう」と、この予想が属する数学の分野を指して彼は述べた。
原則として、数のリストが密集しているほど、疎なリストよりも等差数列を含む可能性が高くなるため、エルデシュは単純な密度検定法を提案した。リスト内の数の逆数を足し合わせるだけである。もし数が多すぎてこの和が無限大になるなら、エルデシュは、リストにはあらゆる有限の長さの等差数列（3倍、4倍など）が無限に含まれるはずだと予想した。
今回、7月7日にオンライン掲載された論文で、ケンブリッジ大学のトーマス・ブルーム氏とストックホルム大学のオロフ・シサスク氏は、5、7、9のような等間隔の3つ組に関してこの予想を証明した。2人は、数列の逆数の合計が無限である場合、そこには等間隔の3つ組が無限個含まれているはずであることを示した。
ケンブリッジ大学のトーマス・ブルーム氏。提供：トーマス・ブルーム
「この結果は長年にわたり、画期的な目標でした」とカリフォルニア工科大学のネッツ・カッツ氏は述べた。「これは大きな意味を持つのです。」
逆数の和が無限大になる集合の一つに素数があります。素数は、1とその数自身でしか割り切れない数です。1930年代、ヨハネス・ファン・デル・コルプトは素数の特殊な構造を用いて、素数には等間隔の三つの数（17、23、29など）が無限に存在することを示しました。
しかし、ブルームとシサスクの新たな発見は、素数が無限の数の3倍数を含むことを証明するために、素数の独特な構造に関する深い知識は必要ないことを意味します。必要なのは、素数の逆数の和が無限になるほど素数が多く存在するという点だけです。これは数学者が何世紀にもわたって知っていた事実です。「トーマスとオロフの結果は、たとえ素数が実際の構造とは全く異なる構造を持っていたとしても、素数が数だけ存在するという事実だけで、等差数列が無限に存在することを示唆しています」と、オックスフォード大学のトム・サンダースはメールで述べています。
この新しい論文は77ページに及び、数学者たちが綿密に検証するには時間がかかるだろう。しかし、多くの人がその正確性に楽観的だと考えている。「まさにこの結果の証明としてあるべき姿だ」と、この新しい結果の基盤の大部分を築いた以前の研究を持つカッツ氏は述べた。
ブルームとシサクスの定理は、数列が十分に密集している限り、特定のパターンが必ず出現することを示唆している。この発見は、オックスフォード大学のサラ・ペルスがこの数学の分野における基本的なスローガン（元々はセオドア・モツキンによって提唱されたもの）と呼んだもの、「完全な無秩序は不可能である」という主張に沿っている。
偽装された密度
リストを十分に疎にすれば、等差数列のない無限リストを簡単に作ることができます。例えば、1、10、100、1,000、10,000、…という数列を考えてみましょう（これらの逆数を合計すると有限小数1.11111…になります）。これらの数は急速に離れていくため、等間隔の3つの数を見つけることは不可能です。
しかし、等差数列を回避しながらも大幅に密度の高い数集合が存在するのではないかと疑問に思うかもしれません。たとえば、数直線をたどっていき、等差数列を完成しないすべての数を残すことができます。これにより、1、2、4、5、10、11、13、14、… という数列が作成されますが、これは最初は非常に密度が高いように見えます。しかし、より大きな数に移るにつれて、信じられないほどまばらになります。たとえば、20桁の数字に達すると、その時点までの全数のうち約0.000009パーセントしかリストに含まれません。1946年に、フェリックス・ベーレンドはより密度の高い例を思いつきましたが、これらでさえすぐにまばらになります。20桁の数までのベーレンド集合には、全数の約0.001パーセントが含まれます。
もう一方の極端な例として、もし集合にほぼすべての整数が含まれているなら、そこには必ず等差数列が含まれます。しかし、これらの両極端の間には、広大でほとんど未知の中間領域が存在します。数学者たちは、集合をどれだけ疎にすれば、等差数列が含まれると確信できるのか、と疑問に思ってきました。
ストックホルム大学のオロフ・シサスク氏。オロフ・シサスク氏の厚意による
エルデシュは（ハンガリーの数学者パル・トゥランと共同研究したという説もあるが）1つの可能な解答を示した。逆数の和に関する彼の条件は、密度に関する陳述である。つまり、リストの密度は任意の数Nまで少なくとも約1/ Nの桁数である、と言っているのと同じである。言い換えれば、数直線に沿って進むにつれてリストがまばらになっても問題ないが、非常にゆっくりとまばらになる場合に限られる。つまり、5桁の数まで、リストの密度は少なくとも約1/5であるべきであり、20桁の数まで、リストの密度は少なくとも約1/20であるべきであり、以下同様である。この密度条件が満たされる場合、エルデシュは、リストにはあらゆる長さの等差数列が無限に含まれるはずだと予想した。
1953年、クラウス・ロスは数学者たちにエルデシュ予想の証明への道を拓きました。5年後、ロスはフィールズ賞を受賞するに至りました。彼は、等間隔の3倍数を保証する密度関数を確立しました。エルデシュの密度ほど低い密度ではありませんが、それでも数直線に沿って進むにつれて0に近づく密度関数です。ロスの定理は、密度が最終的に1%を下回り、次に0.1%を下回り、さらに0.01%を下回るといった具合に減少していく数のリストは、それらの閾値を十分にゆっくりと下回る限り、等差数列を必ず含むということを意味していました。
ロスのアプローチは、まず第一に、彼が選んだ密度を持つリストのほとんどが等差数列を「望む」という事実に依拠していた。つまり、十分な数の異なるペアが存在するため、これらのペアの中間点のいくつかもほぼ確実にリストに含まれ、等間隔の3つ組が形成される。難しいのは、「ほとんどの」数リストから「すべての」数リスト、さらには等差数列を避けるために特別に構造が工夫されている数リストに至るまで、どのように到達するかということだった。
ロスは、高度に構造化されたリストの一つを思いつき、フーリエ変換と呼ばれる手法を用いて「周波数スペクトル」をマッピングすることで、その構造を精査するというアイデアを思いつきました。これは、どの繰り返しパターンが特に強く現れるかを検出するもので、X線結晶構造解析や電波分光法といった技術の基盤となる数学と同じです。
一部の頻度は他の頻度よりも強く現れ、これらの変化はパターンを浮き彫りにします。例えば、強い頻度は、リストに奇数が偶数よりも多く含まれていることを示唆している可能性があります。もしそうなら、奇数に焦点を絞れば、最初の集合（すべての数に対する相対値）よりも、より密度の高い集合（すべての奇数に対する相対値）が得られます。ロスは、このような抽出を有限回数繰り返すことで、等差数列を含むほど密度の高い集合が得られることを示しました。
スタンフォード大学のジェイコブ・フォックス氏は、ロスのアプローチは過去半世紀にわたり解析的数論の多くの発展に影響を与えてきたと述べた。「これらは非常に影響力のあるアイデアでした。」
ゲーム、セット、マッチ
ロスの議論は、もともとかなり密度の高い集合に対してのみ成立した。そうでなければ、蒸留を繰り返しても集合は蒸発してしまうだけだった。他の数学者たちは徐々にロスの方法をさらに活用する方法を見つけ出したが、エルデシュ予想の密度にまで到達することはできなかった。「これは本当に乗り越えるのが難しい障壁だったようだ」とフォックスは語った。
そして2011年、カッツとマイケル・ベイトマンは、よりシンプルな設定でこの障壁を克服する方法を編み出しました。それは、パターンのあるカードの3つ揃いを探すカードゲーム「セット」です。セットの3つ揃いは等差数列として正確に考えることができ、整数のリストと同様に、少なくとも1つの3つ揃いを確実に見つけるためには、カードを何分の1ずつ並べなければならないかを問うことができます。
写真：ルーシー・リーディング・イカンダとサミュエル・ベラスコ/Quanta Magazine
この問い（標準的なセットゲームだけでなく、より多くのカードを使ったより大規模なバージョンにも当てはまる）は、整数に関する対応する問いの自然なおもちゃモデルとなる。そのため、数学者たちは、ベイトマンとカッツの画期的な発見が、特に最近の他の進歩と組み合わせることで、エルデシュ予想の証明への道を開くかもしれないと期待した。ベイトマンとカッツの論文が発表されて間もなく、ガワーズはこの試みを行うために、大規模なオンライン共同研究であるPolymathプロジェクトを立ち上げた。
しかし、プロジェクトはすぐに行き詰まってしまいました。「非常に高度な技術的議論が絡んでいました」とガワーズ氏は言います。「1人か2人が長時間かけて苦労して進めるようなプロジェクトでした。」
幸運なことに、二人の数学者がまさにそれを実現しようと準備を進めていた。ブルームとシサスクは既にエルデシュ予想の問題を考え始めていた。最初は別々に考えていたが、二人ともそこに含まれる技術の美しさに魅了されていた。「これは私が初めて取り組んだ研究課題の一つでした」と、ブルームと同じく現在30代半ばのシサスクは語る。
ブルームとシサスクは2014年に協力し、2016年までに解決策を突き止めたと考えました。ブルームは講演でその結果を発表しましたが、後になって、自分たちの近道のいくつかは維持できないことに気づきました。二人は研究を続け、ベイトマンとカッツの方法の仕組みを深く掘り下げ、最終的に、集合の世界から整数の世界へとそれを移行するための新しいアイデアを見出しました。
新たな論文は正しい情報をすべて含んでいるようだ、とカッツ氏は述べた。「以前の主張は信じていなかったが、今回は信じる」
ブルーム氏とシサスク氏の研究は「偉大な成果だ」とフォックス氏は述べた。彼をはじめとする数学者たちは、今回の論文で示された手法が他の問題にも応用できるかどうかを熱心に研究している。「最も大きな影響を与えるのは、まさにその手法になるだろう」とフォックス氏は語った。
エルデシュ予想の完全証明については、研究はまだ終わっていません。ブルームとシサスクは、等間隔の3倍数についてのみ予想を証明しましたが、より長い等差数列については証明しておらず、これは現時点では不可能に思えます。
ブルームとシサスクが今や解決した三重集合の場合でも、多くの数学者はエルデシュ予想を一種の誤解を招くものとみなしている。エルデシュの密度が三重集合が等間隔に並ぶことを保証することを示すのは困難だったが、数学者たちは、この保証が崩れる真の密度はおそらくはるかに低く、おそらくベーレンドが等差数列を回避するように構築した集合の密度よりもほんの少し高い程度だろうと考えている。
「完全に解決したわけではありません」とブルーム氏は述べた。「この問題について、ほんの少しだけ光が当てられただけです」
ブルーム氏とシサスク氏は、おそらく現行の手法を限界まで押し上げたのだろうとフォックス氏は述べた。「根本的に改善するには、もっと多くのことを実現する、真に新しいツールが必要だ」と彼は述べた。しかし、「おそらくこれで話は終わりではないだろう」
オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。
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