純粋数学と物理学の秘密のつながりが明らかに

数学には、ほとんどの人が聞いたこともなく、概念化することさえ難しいような、奇妙な数体系が溢れています。しかし、有理数は馴染み深いものです。有理数は、数え上げ数や分数など、小学校の頃から知っている数です。しかし、数学においては、最も単純なものほど理解するのが難しいことがよくあります。それは、隙間や突起、そして掴めるような明白な性質のない、切り立った壁のように単純なのです。

オックスフォード大学の数学者、ミンヒョン・キム氏は、特定の種類の方程式を解く有理数を解明することに特に興味を持っています。これは数千年にわたり数論研究者を悩ませてきた問題です。しかし、解決に向けた進展はほとんど見られませんでした。これほど長い間研究されてきたにもかかわらず解決に至らない問題であれば、前進する唯一の道は誰かが劇的に新しいアイデアを考案することだと結論付けるのは当然です。そして、キム氏はまさにそれを成し遂げたのです。

「3000年も研究を続けてきたにもかかわらず、使える技術はそれほど多くありません。ですから、誰かが真に新しい方法を思いつくたびに、それは大きな出来事です。ミンヒョン氏はまさにそれを成し遂げたのです」と、ウィスコンシン大学マディソン校の数学者、ジョーダン・エレンバーグ氏は語った。

キムは過去10年間、一見パターンのない有理数の世界にパターンを見出す全く新しい手法を提示してきた。彼はこの手法を論文や学会発表で発表し、学生たちに伝えてきた。そして彼らは現在、自ら研究を続けている。しかし、彼は常に何かを隠してきた。彼のアイデアを突き動かすビジョンは、純粋な数の世界ではなく、物理学から借用した概念に基づいている。キムにとって、有理数解は光の軌跡のようなものだ。

この関連性が空想的に聞こえるのは、数学者にとってもそうであるからだ。そしてだからこそ、キムは長い間このことを秘密にしてきた。「物理学との関連性に長年、ある種の恥ずかしさを感じていたので、隠していたんです」と彼は言う。「数論学者というのはかなり頑固な人たちで、物理学の影響で数学に対してより懐疑的になることがあるんです。」

しかし今、キムは自分のビジョンを公にする準備ができていると言います。「この変化は、おそらく単に歳を重ねる兆候なのでしょう！」と、このストーリーのために私たちが最初にやり取りしたメールの一つに53歳のキムは書いています。

彼は最近、数論学者と弦理論学者を集めた会議を主催しました。また、物理世界との直接的な類推を通して数を考えることに慣れていない数学界に向けて、自身の着想を説明し始めた論文も執筆しました。

しかし、まだ一つだけ障害が残っている。キム氏がまだ解明しなければならない物理と数学のアナロジーの最後のピースだ。彼は、他の人々、特に物理学者を自分のビジョンに招き入れることで、構想を完成させるために必要な助けが得られることを期待している。

古代の挑戦

方程式の有理解は人間の心に強い魅力を及ぼします。まるでパズルのピースがぴったりと収まるような、満足感を与えてくれます。そのため、数学における最も有名な予想の多くは、有理解を題材としています。

有理数には、整数と、1、-4、99/100など、2つの整数の比として表せる数が含まれます。数学者は特に、「ディオファントス方程式」と呼ばれる、x ² + y ² = 1のような整数係数を持つ多項式方程式を解く有理数に興味を持っています。これらの方程式は、西暦3世紀にアレクサンドリアでこれらの方程式を研究したディオファントスにちなんで名付けられました。

有理解は幾何学的なパターンを全く持たないため、どんな包括的な方法でも見つけるのは困難です。x ² + y ² = 1 という方程式を考えてみましょう。この方程式の実数解は円を形成します。円周上で分数で表せない点をすべて取り除くと、有理解だけが残りますが、それらはそれほど整然とした形状を成しません。有理解は円周上にランダムに散らばっているように見えます。

「点が有理座標を持つための条件は、幾何学的な条件とは全く異なります。有理点が満たすべき方程式を書くことはできません」とキム氏は述べた。

有理解を一つ、あるいは複数見つけるのは容易な場合が多い。しかし、曖昧な結論を好まない数学者は、すべての有理解を特定することに興味を持つ。これははるかに難しい。実際、有理解の個数に関するごく基本的な命題さえ証明できれば、数学の巨匠と言えるほど難しい。1986年、ゲルト・ファルティングスは数学界最高の栄誉であるフィールズ賞を受賞した。主な受賞理由は、モーデル予想と呼ばれる問題を解き、ある種のディオファントス方程式には（無限ではなく）有限個の有理解しか存在しないことを証明したことである。

ファルティングスの証明は数論における画期的な成果であった。しかし同時に、数学者が「非効率的な証明」と呼ぶものでもあった。つまり、有理解の個数を数えるどころか、ましてや有理解を特定することすらできなかったのだ。それ以来、数学者たちは次のステップに進む方法を模索してきた。有理点は、方程式の通常のグラフ上ではランダムな点のように見える。数学者たちは、問題を考える際の設定を変えれば、それらの点が星座のように見え始め、何らかの正確な方法で記述できるようになることを期待している。問題は、既知の数学の世界がそのような設定を提供していないことだ。

「合理的な点について効果的な結果を得るためには、間違いなく新しいアイデアが必要だという気がする」とエレンバーグ氏は語った。

現在、その新しいアイデアがどのようなものになるかについては、主に2つの提案があります。1つは日本の数学者望月新一氏によるもので、彼は2012年に京都大学の自身の教員ウェブサイトに数百ページに及ぶ精巧で斬新な数学論文を投稿しました。5年経った今でも、その研究は大部分が謎に包まれています。もう1つの新しいアイデアは、キム氏によるもので、彼は有理数を拡張された数値的設定で考察し、それらの間の隠れたパターンが見えてくるように試みています。

対称性の解決策

数学者はよく、対象が対称的であればあるほど研究しやすいと言います。そのため、彼らはディオファントス方程式の研究を、問題が自然に発生する状況よりも対称性の高い状況に置きたいと考えています。もしそれができれば、新たに重要になった対称性を利用して、探している有理点を突き止めることができるでしょう。

数学者が問題を解く際に対称性がどのように役立つかを知るには、円を想像してみてください。おそらく、その円上のすべての点を特定することが目的でしょう。対称性は、既知の点からまだ発見されていない点へと導く地図を作成するため、非常に役立ちます。

円の南半分にある有理点をすべて見つけたと想像してみてください。円は鏡映対称性を持つため、これらの点を赤道上で反転（すべてのy座標の符号を変える）すれば、北半分にある点もすべて見つけられます。実際、円は非常に豊かな対称性を持つため、たとえ1点の位置がわかっていても、円の対称性に関する知識と組み合わせるだけで、円上のすべての点を見つけることができます。つまり、円の無限回転対称性を元の点に適用するだけです。

しかし、扱っている幾何学的オブジェクトが、ランダムに曲がりくねった道のように非常に不規則な場合、各ポイントを個別に識別するために多大な労力を費やす必要があります。既知のポイントを未知のポイントにマッピングできる対称関係は存在しないからです。

数の集合にも対称性があり、集合の対称性が高いほど理解が容易になります。対称関係を応用することで、未知の値を発見することができます。特定の種類の対称関係を持つ数は「群」を形成し、数学者は群の性質を用いて、その群に含まれるすべての数を理解できます。

方程式の有理解の集合は対称性を持たず、群を形成しないため、数学者には一度に 1 つの解を発見するという不可能な課題が残されています。

1940年代初頭、数学者たちはディオファントス方程式をより対称性の高い状況に位置づける方法を模索し始めました。数学者クロード・シャボーティは、彼が構築したより大きな幾何学的空間（p進数と呼ばれる数の拡張宇宙を用いて）内で、有理数がそれ自身の対称部分空間を形成することを発見しました。そして彼はこの部分空間をディオファントス方程式のグラフと組み合わせました。2つのグラフが交差する点は、方程式の有理解を明らかにします。

1980年代、数学者ロバート・コールマンはシャボーティの研究を改良しました。その後数十年間、コールマン＝シャボーティのアプローチは、数学者がディオファントス方程式の有理解を求めるための最良のツールでした。しかし、このアプローチは、方程式のグラフがより大きな空間の大きさと特定の比率にある場合にのみ機能します。比率がずれると、方程式の曲線が有理数と交差する正確な点を見つけるのが難しくなります。

「周囲空間内に曲線があり、有理点が多すぎると、有理点が密集してしまい、どの有理点が曲線上にあるかを見分けるのが難しくなります」とカリフォルニア大学サンディエゴ校の数学者、キラン・ケドラヤ氏は語る。

そして、キムがそこに加わった。チャボーティの研究を拡張するために、彼はディオファントス方程式について考えるためのさらに大きな空間、つまり有理点がより広がっていて、より多くの種類のディオファントス方程式の交点を研究できる空間を見つけたいと思ったのだ。

空間の空間

より広い種類の空間を探していて、対称性を利用してそこを進む方法についての手がかりを探しているなら、物理学は良い研究対象です。

一般的に言えば、数学的な意味での「空間」とは、幾何学的あるいは位相的な構造を持つ点の集合を指します。1000個の点が無秩序に散らばっていても空間は形成されません。点を結びつける構造がないからです。しかし、点が特に一貫性のある形で配列された球面は空間です。トーラス、二次元平面、あるいは私たちが生きている四次元時空も同様です。

これらの空間に加えて、さらに奇妙な空間も存在します。これらは「空間の空間」と考えることができます。非常に簡単な例を挙げると、三角形があるとします。これは空間です。次に、あらゆる三角形の集合からなる空間を想像してみてください。この大きな空間の各点は特定の三角形を表し、その点の座標は、その点が表す三角形の角度によって与えられます。

こうした考え方は物理学でしばしば役立ちます。一般相対性理論の枠組みでは、空間と時間は常に変化しており、物理学者はそれぞれの時空構成を、あらゆる時空構成の空間における一点として捉えます。空間の空間は、ゲージ理論と呼ばれる物理学の分野でも登場します。ゲージ理論は、物理学者が物理空間の上に重ねる場と関係しています。これらの場は、電磁気力や重力などの力が空間を移動する際にどのように変化するかを記述します。空間のあらゆる点でこれらの場の構成がわずかに異なっており、それらすべての異なる構成が合わさって、高次元の「あらゆる場の空間」における一点を形成していると想像できます。

物理学におけるこの場の空間は、キムが数論で提唱しているものと非常によく似ています。その理由を理解するために、光線を考えてみましょう。物理学者は、光が高次元の場の空間を移動する様子を想像します。この空間では、光は「最小作用の原理」に従う経路、つまりA地点からB地点への移動に必要な時間を最小化する経路を辿ります。この原理は、光がある物質から別の物質に移動する際に曲がる理由を説明しています。曲がった経路は、かかる時間を最小化する経路なのです。

物理学で登場するこれらのより大きな空間は、それらが表すどの空間にも存在しない追加の対称性を特徴としています。これらの対称性は特定の点に注目させ、例えば時間最小化経路を強調します。別の文脈で別の方法で構築された場合、これらの同じ種類の対称性は、方程式の有理解に対応する点など、他の種類の点を強調する可能性があります。

対称性と物理学の結びつき

数論には追跡すべき粒子は存在しないが、時空のようなものが存在し、また、経路を描き、あらゆる可能な経路からなる空間を構築する方法も提供する。キム氏はこの基本的な対応関係から、「光の軌跡を求める問題とディオファントス方程式の有理解を求める問題は、同じ問題の二つの側面である」という枠組みを考案しており、これは先週、ドイツのハイデルベルクで開催された数理物理学の会議で彼が説明した通りである。

ディオファントス方程式の解は空間、つまり方程式によって定義される曲線を形成します。これらの曲線は円のように1次元の場合もあれば、高次元の場合もあります。例えば、ディオファントス方程式 x ⁴ + y ⁴ = 1 の（複素）解をプロットすると、3つの穴を持つトーラスが得られます。このトーラス上の有理点は幾何学的な構造を欠いており（そのため、有理点を見つけるのは困難です）、構造を持つ高次元空間の点に対応させることができます。

キムは、トーラス（あるいは方程式が定義する空間）上にループを描く方法を考察することで、この高次元空間を作り出します。ループを描く手順は以下のとおりです。まず、基点を選び、そこから任意の点へループを描き、また戻ってきます。この手順を繰り返し、基点とトーラス上の他のすべての点を結ぶ経路を描きます。こうして、基点を起点として終わる、あらゆるループの集合が完成します。このループの集合は数学において中心的な重要性を持つオブジェクトであり、空間の基本群と呼ばれます。

トーラス上の任意の点を基点として使用できます。各点からは、独自のパス群が放射状に伸びます。これらのパスの集合はそれぞれ、高次元の「パスのすべての集合の空間」（すべての可能な三角形の空間など）内の点として表すことができます。この空間の空間は、物理学者がゲージ理論で構築する「空間の空間」と幾何学的に非常によく似ています。トーラス上のある点から別の点に移動したときにパスの集合が変化する様子は、実空間でのある点から別の点に移動したときに場が変化する様子と非常によく似ています。この空間の空間には、トーラス自体には存在しない追加の対称性があります。また、トーラス上の有理点間には対称性はありませんが、パスのすべての集合の空間に入ると、有理点に関連付けられた点間に対称性が見つかります。以前は見えなかった対称性が得られます。

「私が時々使うフレーズは、これらの経路には、ゲージ理論の内部対称性と非常によく似た、一種の『隠れた算術対称性』が組み込まれているということです」とキム氏は語った。

キムはチャバウティと同じように、自らが構築したこの広大な空間における交点を考えることで、合理的な解を見つけ出しています。彼はこの空間の対称性を利用して、交点を絞り込んでいきます。そして、これらの交点を正確に検出する方程式を開発したいと考えています。

物理学の分野では、光線が取り得るあらゆる経路を想像することができます。これが「全経路空間」です。物理学者が関心を持つこの空間内の点は、時間を最小化する経路に対応する点です。キム氏は、有理点から発せられる経路の密集に対応する点も、これと似た性質を持っていると考えています。つまり、これらの点は、ディオファントス方程式の幾何学的形式について考え始めると浮かび上がるある性質を最小化するということです。ただ、その性質が何なのかは、まだ解明できていません。

「私が最初に探し始めたのは」、数学的な設定における最小作用原理だったと彼は電子メールに記している。「まだ完全には見つけられていませんが、確かに存在すると確信しています。」

不確かな未来

ここ数ヶ月、私はキムの物理学に着想を得たビジョンについて、数論へのキムの貢献を称賛する数人の数学者に説明してきました。しかし、キムの業績に関するこの見解を提示されたとき、彼らはどう解釈したらよいのか分からなかったようです。

「代表数論学者として、もしミンヒョンが行ってきた素晴らしい研究のすべてを見せて、これが物理的にインスピレーションを受けたものかどうか尋ねられたら、『一体何を言っているんだ？』と言うでしょう」とエレンバーグ氏は語った。

キムはこれまで論文の中で物理学について一切触れていない。代わりに、セルマー多様体と呼ばれる対象について書き、すべてのセルマー多様体の空間におけるセルマー多様体間の関係を考察してきた。これらは数論学者には馴染みのある用語だが、キムにとっては物理学における特定の種類の対象を指す別名としてしか捉えられていなかった。

「物理学者のアイデアを数論の問題解決に活用することは可能であるはずですが、そのような枠組みをどのように構築するかについて、私たちは十分に検討していません」とキム氏は述べた。「物理学に対する理解は十分に成熟しており、数論に興味を持つ研究者も十分にいるので、推進できる段階に達しています。」

キムの手法の開発における主な障害は、ループの密集した空間において最小化できる作用の探索にある。この種の視点は物理世界では自然に得られるが、算術では明白な意味をなさない。キムの研究を綿密に追っている数学者でさえ、彼がそれを発見できるかどうか疑問視している。

「（キム氏のプログラムは）私たちにとって多くの素晴らしい成果をもたらすだろうと思います。ミンヒョン氏が望むほど、有理点がある種の数論的ゲージ理論の古典的な解であるという明確な理解は得られないと思います」と、ハーバード大学の数理物理学教授、アーナフ・トリパシー氏は述べた。

今日、物理学の言語は数論の実践からほぼ完全に外れたままです。キムは、この状況はほぼ確実に変わると考えています。40年前、物理学と幾何学や位相幾何学の研究はほとんど関係がありませんでした。そして1980年代、今では誰もが偉大な人物となっている少数の数学者と物理学者が、物理学を用いて図形の性質を研究する正確な方法を発見しました。この分野はその後も決して後退していません。

「今では、物理学の知識がなければ幾何学や位相幾何学に興味を持つことはほとんど不可能です。数論でも今後15年以内にそうなるだろうと確信しています」とキム氏は述べた。「両者のつながりはとても自然ですから。」

_ オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物である Quanta Magazine から許可を得て転載されました。