テニスボールがバスケットボールで跳ね返るとなぜ飛ぶのか

シンプルだけど少し危険な物理のデモをしてみませんか？きっと楽しいですよ。必要なのはバスケットボールとテニスボール（または、質量の異なる2つの弾むボール）だけです。バスケットボールを地面から浮かせて、その上にテニスボールを置きます。そして、同時に両方を放します。すると、次のような反応が起こります。

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すごいと思いませんか？テニスボールをものすごい速度で飛ばせるんです。なぜ危険なのでしょうか？それは、完全に垂直に落とさなければ、テニスボールが斜めに飛んでしまうからです。その角度によって、テニスボールがあなたの顔に向かって飛んでくる軌道になる可能性もあります。私も何度か経験しました。

さて、ここで何が起こっているのでしょうか？テニスボールがスタート地点よりもずっと高く跳ね返るのは、物理学のトリックのように見えるかもしれません（だからこそ、この動きはクールなのです）。しかし、エネルギーの観点から見ると、これは全く理にかなっています。バスケットボールとテニスボールは、地面に衝突する直前は同じ速度で動いています。つまり、どちらもある程度の運動エネルギーを持っていますが、バスケットボールの方が質量が大きいため、より多くの運動エネルギーを持っています。衝突後、バスケットボールの速度は非常に遅くなり、運動エネルギーもほとんどありません。つまり、テニスボールは大量の運動エネルギーを得ることになります。そして、質量が小さいため、高い速度が得られるのです。

しかし、衝突後、バスケットボールはどうやって止まるのでしょうか？もう少し簡単な例でこの疑問に答えてみましょう。質量の異なる2つのボールが同じ速度で互いに近づいているとします。こんな感じです。

質量の異なるボールの場合、2つのボールの最終的な速度も異なります。衝突後のボールの速度はどのようにして求めますか？一つの方法は、全運動量（質量と速度の積）と全運動エネルギー（質量と速度の2乗の半分）の両方を考慮することです。非常に跳ね返る衝突では、運動量と運動エネルギーはどちらも保存されるはずです。片方のボールが停止するように質量比を数学的に解くのは非常に簡単です。

しかし、この問題には別のアプローチがあります。それは（少なくとも私にとっては）もっと興味深い方法です。2つのボールが衝突する様子を数値計算で計算したらどうなるでしょうか？数値計算では、運動を多くの小さな時間ステップに分割できます。それぞれの小さな時間ステップにおいて、力はほぼ一定であるとみなすことができるため、非常に多くの単純な物理問題を解くことができます。

この場合、ボールが衝突（重なり合う）した時にのみ、ボールを押し広げる力が働きます。この衝突力を、バネがボールを押し広げているかのようにモデル化できます。基本的には、このような現象が起きます。さて、数値モデルを見てみましょう。「再生」ボタンを押すとコードが実行され、「鉛筆」ボタンを押すとコードの表示や編集ができます。

コードをいじってみたい場合（ぜひ試してみてください）、質量比を変えて再度実行してみてください。念のため、衝突後に重い質量が停止するように質量比を変更する必要があります。

この衝突は既にコンピュータで計算しているので、何度も繰り返し実行して、質量比の関数として最終速度のグラフを作成できます。こちらがコード（雑ですが）とグラフです。

答えはここにあります。質量比が3対1の場合、重い方のボールは停止します。その場合、運動エネルギーはすべて質量の小さい方のボールに伝わります。しかし、質量比が3対1のときが最終速度が最大になるわけではないことに注意してください。質量比が0に近づくにつれて、最終速度は最大値に近づきます。しかし、目標は重い方のボールを停止させることでした。その方が面白いからです。

より多くのボール

テニスボールをバスケットボールの上に落とすと、みんなが「かっこいい！」と思うかもしれません（物理学の究極の目標です）。でも、3つ以上のボールを落とすのはどうでしょう？質量の異なる4つのボールが入ったおもちゃがあります。これを落とすとどうなるか見てください（スローモーションです）。

もちろん、物理学の目的はモデルを構築することです。それでは、複数のボールが落下するモデルを作ってみましょう。4つのボールの代わりに3つのボールを用意し、必要に応じてボールを追加できるようにします。ボールの衝突モデルはこれまでと同じもの（ボール間にバネ力がある）を使用しますが、今回は実際のボールと同じように、ボールが落下して地面に当たるようにします。

この計算がどのように機能するかについての基本的な考え方は次のとおりです。

ボールを3つ作ります（この部分は明らかです）。
各ボールにかかる重力を計算します（ボールが落ちるように）。
ボールが重なっていないか確認してください。重なっている場合は、重なり具合に基づいてボール間の「バネ」力を計算します。
下のボールが床に「当たった」かどうか確認しましょう。もし当たったら、勢いを逆にします。
飽きるまで、あるいは永遠に繰り返します。

では、コードを見てみましょう。「実行」を押してプレイしてください。以下の宿題の質問に答えたい場合は、コードを修正する必要があります。少なくとも、ボールの質量を変えてみてください（初期値はランダムに選んだだけです）。

なかなか良さそうだね。さあ宿題だ。これはすごいことになるぞ。

宿題

最初の水平衝突プログラムで運動量が保存されるかどうかを確認してください。3つのボールを落下させるケースでは、地球の運動量を考慮していないため、運動量は保存されません。
水平衝突において運動エネルギーは保存されるのでしょうか？もしそうでないなら、大きな問題があります。
3つのボールを落とす場合はどうでしょうか？全エネルギーは保存されますか？
一番上のボールはどれくらい高くなりますか？
衝突バネ定数を変更すると何が起こりますか?
最も重要な質問：小さなボールが最も高く跳ね返る質量比を見つけることができますか？
跳ねるボールが 4 つになるようにコードを変更します。
エネルギー計算だけに基づいて、3つのボールを落とし、下の2つが静止していると仮定します。上のボールが宇宙空間に到達するには、地面からどれくらいの高さまで落とさなければなりませんか？ボールを軌道に乗せるには、どれくらいの高さまで落とせばよいでしょうか？空気抵抗はないものとします。

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