円周率の日、おめでとうございます！ 3月14日は円周率を祝います。3-14でこの有名な数字の最初の3桁が揃うからです。でも、そもそも円周率って一体何なのでしょう？なぜ特別な日があるのかって？まず、円周率は最も単純で完璧な形、円を定義するからです。だから、あなたの周りにもどこにでもあります。円周率は円の円周と直径の比、π = C/dです。
円の大きさに関わらず、その比率は常に同じです。十進数で表すと3.141592653になります…そして、これは無理数なので、どこまでも広げることができます。そして、決して、決して、決して終わることはありません。
人々がやっていること、つまり計算機でπボタンを押したときと同じように、必要な精度に応じて小数点以下の桁数を決め、その数値に丸めています。これは厳密には円周率ではありませんが、円周率の一部と言えるでしょう。（すみません、円周率の日の話には必ず円周率のダジャレが必要ですね。）
非合理的なものは非合理的な行為をする
無限に長いからといって、数が無理数になるわけではありません。例えば、4メートル×11メートルの長方形があるとします。辺の比は4/11で、0.36363636…となります。この数も無限ですが、一定のパターンに従います。無理数には繰り返しはありません。
本当の違いは、有理数は2つの整数の比として表せるということです。（分かりますか？ 比ですね。）そして、比は分数と同じです。つまり、
また、どんなに長い小数であっても、2 つの整数の比として表すことができます。（これだけでもかなり驚くべきことですが。）一方、無理数は分数形式では表せません。
ああ、試してみるといいよ。例えば、22/7はかなり良い近似値だけど、円周率じゃないんだ。（世界のほとんどの国では日付に日月年形式を使っているので、7月22日に円周率の日を祝うこともできたはず。そうすると22-7になるからね。）
でも、もしかしたら私の言うことを信じてくれないかもしれませんね。そこで、これからやることを説明します。Pythonで作った総当たりアルゴリズムを使って、あらゆる整数分数を生成し、そのうちのどれかが円周率に等しいかどうかを調べます。
PythonにはPiがない
ブルートフォース法とは何でしょうか？それは、巧妙さを必要とせず、膨大な作業量で問題を解決する方法です。私のプログラムは分数1/1から始まり、分子または分母に1を加算することで、系統的に分数を増やしていきます。手順は次のとおりです。
- 分数 (u/v) を円周率と比較します
- u/v が円周率より小さい場合は、分子に 1 を加えます (u+1)
- u/v が円周率より大きい場合は、分母に 1 を加えます (v+1)
- u/v が円周率と等しい場合は、勝ちです。円周率が有理数であることが証明されました。
つまり、級数は次のように始まります。1/1、2/1、3/1、4/1、4/2、5/2、6/2、7/2、7/3、8/3… 紙に書いても同じですが、すぐに気が狂ってしまうでしょう。私はプログラムを1,000回繰り返し実行しました。（コードを見たい方は、Google Colabのこちらのページをご覧ください。）そして、1,000個の分数すべてについて、小数値をプロットしました。（横軸が1から1,000までなので、対数スケールを使って圧縮しています。）
1,000回実行した結果、分数は760/242になりました。これは円周率としては妥当な値です。小数点以下2桁まで正確で、多くの人が使っている標準的な3.14です。しかし、これは円周率ではありません。さて、50万回繰り返したらどうでしょう？
これにより、最終的な割合は次のようになります。
この整数比は円周率とほぼ一致しています。小数点第6位まで円周率と一致していますが、それでも円周率ではありません。では、1000万回繰り返して計算するとどうなるでしょうか？ 2,414,531を7,585,471で割った整数分数となり、誤差はわずか0.00003%です。しかし、それでも円周率ではありません。
では、ここで何をしたのでしょうか？実際には大したことはありません。円周率が無理数であることを証明したわけではありませんが、ここまでくれば理性的な人なら誰でもそれを受け入れるでしょう。
非合理性を描く
視覚的なデモはいかがでしょうか？円周上でボールを振り回すことで、円周率が無理数であることを実際に証明できます。仕組みはこうです。まず、1つのボールが一定の速度で動いています。
では、そのボールの端にもう一つボールを追加してみましょう。同じ半径の円を描いて動きますが、速度は3.5倍です。こうすることで、美しい模様が生まれるだけでなく、ある時点でこの模様が繰り返されます。右側の始点に注目すると、ボールが軌道を戻り始めるタイミングが分かります。
上の3.5のように、有限の小数になる速度比を試してみるのも良いでしょう。つまり、有理数です！3.5は7/2という整数分数で表すことができます。それぞれ異なるパターンになりますが、すべての有理数において、最終的には同じパターンが繰り返されます。
では、速度に無理数を使うとどうなるでしょうか？下の図では、2つ目のボールが1つ目のボールのπ倍の速度で動いています。
分かりますか？このパターンは一度も繰り返されません。円周率の終わりのない数字列のようです。少し近づいてはいますが、まだ少しずれています。線が太くなり始めているのがわかります。実際、長時間そのままにしていたら、こんな結果になりました。
円周率は整数の分数として表すことができないため、2つの円は元の位置に戻ることはありません。円周率が無理数であることを示すクールな方法であるだけでなく、見ているだけでも楽しいです。
