ボールと紐を使って地球の質量を求める方法

私たちがどのようにして物事を知っているのかを考えるのは楽しいものです。例えば、太陽の質量は約2×10の³⁰乗キログラムです。これはあまりにも巨大な質量で、理解するのは困難です。そして、これほど大きな数字を想像することさえ難しいのであれば、どのようにしてそれらの値を求めるのでしょうか？実は、元々の方法は、小さな質量と棒と紐を使うというものでした。そうです、これは太陽と太陽系のすべての惑星の質量を決定する上で重要なステップの一つです。これはキャベンディッシュの実験と呼ばれ、1798年にヘンリー・キャベンディッシュによって初めて行われました。とても興味深い実験なので、その仕組みを説明したいと思います。

質量を持つ物体は、互いに引力によって引き合います。バスケットボールは地球と重力相互作用を起こします（どちらも質量を持っているため）。この重力相互作用により、バスケットボールは手を放すと地面に向かって落下する際に速度を上げます。もちろん、物体を放すと落ちることは誰もが知っています。しかし、この相互作用が地球、月、太陽などの天体にも作用することがニュートンの時代になって初めて認識されました。こうして生まれたのが、この力のモデルです。これはニュートンの万有引力の法則と呼ばれることが多いのですが、多くの重要な概念と同様に、この法則にも多くの貢献者がいたと考えられます。

この重力モデルを詳しく見ていきましょう。まず、この力の大きさは、相互作用する2つの質量（m ₁とm ₂）の積に依存します。次に、この力の大きさは、2つの物体間の距離（r）の2乗に比例して減少します。最後に、Gがあります。これは万有引力定数で、地球の質量を求める鍵となります。

ちょっと立ち止まって考えてみてください。何かを測るときは、常に何らかの選択をしなければなりません。質量をキログラムで表したい場合、1kgという値をどのように定義するかを決めなければなりません。一つの方法は、1キログラムは1リットルの水の質量であるとすることです。もちろん、これは最良の定義ではありません（今ではもっと良い方法があります）。では、力の測定はどうでしょうか？私たちはニュートンという単位を使います。1ニュートンは、1キログラムの物体を毎秒1メートルの速度で加速させるのに必要な力です。確かに、物事は制御不能になりつつありますが、重要なのは、こうした定義をすることで、ある単位を別の単位の上に構築できるということです。

さて、この実験を想像してみてください。1リットルの水（1キログラムであることは分かっています）を取り、地球の重力を測定します。地球の半径（ギリシャ人はこれを非常にうまく計算しました）と重力定数Gが分かっていれば、上記の重力方程式を地球の質量について解くことができます。しかし、重力定数とは何でしょうか？ここが難しいところです。Gの値を求める方法は次の通りです。

この重力定数は極めて小さいことが判明しました。つまり、水の入ったボトルのようなありふれた物体2つの間の相互作用は、信じられないほど小さいということです。目に見えるほどの重力を発生させる唯一の方法は、相互作用する質量の1つが（地球のように）巨大である場合です。しかし、それを求める方法があります。それは、ねじり天秤を使うことです。

まずは、自宅で試せる簡単な物理のデモから始めましょう。鉛筆をテーブルの端に置きます。鉛筆の半分ほどが端からはみ出し、倒れそうになります（でも倒れません）。この時点では、鉛筆はほぼテーブルの端でバランスを保っています。鉛筆を支えているのはこの小さな接触点だけなので、摩擦力では回転を止めるトルクをほとんど発揮できません。鉛筆の先端にごくわずかな力を加えるだけで、鉛筆は回転してしまいます。口から軽く息を吹き出すと、鉛筆が回転するのを試してみてください。

指を鉛筆の近くに置いて、スーパーヒーローの力で鉛筆を動かしているような真似をするのが好きです。では、鉛筆をもっと長い棒に置き換えてみましょう。テーブルに置く代わりに、紐で吊るしてみましょう。真ん中で支えられているので、鉛筆と同じように、小さな力で回転させることができます。息を吹き込む代わりに、小さな重力で動かすことができます。仕組みはこうです。

回転する水平棒の端に、 2 つの小さな質量 (m ₁と表記) があります。これらの質量は、距離 (r) 離れた大きな質量 (m ₂ ) と相互作用します。棒を支えるケーブルのねじれからわずかなトルクが発生するため、水平棒は最終的に何らかの平衡位置に到達します。ケーブルは回転バネのように機能します。ねじれが大きいほど、トルクは大きくなります。回転角 (θ) とトルクの関係を知っていれば、棒の端の質量と大きな固定質量を一緒に引っ張る重力の力を計算できます。上の図に示す構成では、大きな質量によって棒は時計回りに回転します (上から見て)。大きな質量を棒の反対側に動かすと、重力によって棒は反時計回りに回転します。これは、回転がペアになった質量間の重力相互作用によるものであることを示しています。棒が安定した位置に落ち着くと、質量と質量間の距離を測定して重力定数を求めるだけです。

この場合、重力定数は G = 6.67 x 10 ^-11 N*m ² kg ²となります。この定数が実に小さいことがわかります。例として、サンプル計算を行ってみましょう。あなたが同じ質量（約75キログラム）の別の人間から1メートル離れたところに立っているとします。重力相互作用によって、あなたはどの程度の力に引っ張られるでしょうか？これらの値（および定数）を力の方程式に代入すると、次のようになります。

しかし、これは意味がありません。これほど小さな力を実際に感じ取ることは誰にもできません。では、二人の人間の間に働く重力に匹敵する力がある状況を想像してみましょう。どうでしょう？小さな物体を手に持ったとします。すると、地球からの重力をこの物体が感じます。なぜなら、重力と釣り合うように手で物体を押し上げなければならないからです。では、二人の人間の間に働く力に等しい地球の重力を生み出すには、どのくらいの質量の物体が必要でしょうか？地球の表面では、これらの値のいくつかは常に同じです（万有引力定数、地球の質量、地球の中心までの距離）。これらの値はすべて、一つの数字にまとめることができます。

これを局所地球​​重力定数と呼ぶことができます。質量に「g」（他の重力定数「G」と混同しないように小文字の「g」を使用します）を掛ければ、重力（重さ）が得られます。この場合、2人の間に働く力に等しい重さにするには、質量が約4×10-11グラムの物体が必要になります^。それでもまだ小さすぎて理解できません。では、どうでしょう？人間の髪の毛の線密度は1キロメートルあたり6.5グラムです（この出版物より）。つまり、わずか6×10-6ミリメートルの長さの髪の毛で^、 2人の間に働く引力に等しい重さになるということです。これはすごいですね。

ボーナスとして、値を変更したい場合の計算を以下に示します。

ああ、これと全く同じ計算を繰り返して、質量が分かっている地球の質量を求めることもできます。すると、約5.97×10の²⁴乗キログラムという値が得られます。でも、それだけで終わりではありません。Gの値を使って太陽の質量を求めることもできます。この計算の仕組みを簡単に説明します。

つまり、水星のような惑星が太陽の周りを回っているということです。もし円軌道を仮定すると、水星には太陽からの重力が作用します。

重力は惑星を加速させ、円運動させます（求心加速度）。しかし、この求心加速度は角速度（ω）と軌道距離（R）の両方に依存します。惑星には重力という唯一の力が働いているため、求心加速度は質量と加速度の積に等しくなり、次の関係が成り立ちます。

ここで注意すべき点は、太陽が静止していると仮定していることです。これはほぼ正しいです。太陽の質量は水星の質量に比べて非常に大きいため、水星の質量は基本的に無関係です。したがって、太陽の質量について解くと、

さて、あとは水星の軌道距離を求めるだけです。地球の半径から始めましょう。次に角速度を求めます。これは水星が一周するのにかかる時間から得られます。これで完了です。万有引力定数が分かり、太陽の質量を計算できます。水平に回転する棒の上にいくつかの質量が乗っているところからすべてが始まったと考えるのは驚きですが、これは事実です。

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