幾何学は世界が立方体でできていることを明らかにする

2020年11月29日午前8時

純粋数学の実践により、プラトンと地球物理学を結びつける幅広い理論が生まれました。

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2016年の穏やかな秋の日、ハンガリーの数学者ガボール・ドモコスは、フィラデルフィアにある地球物理学者ダグラス・ジェロルマックの玄関口を訪れた。ドモコスはスーツケースとひどい風邪、そして燃え上がるような秘密を抱えていた。

二人の男は、ジェロルマックの妻がタコスの屋台を経営している家の裏にある砂利敷きの敷地を横切って歩いた。足音は砕けた石灰岩の上をザクザクと音を立てた。ドモコスは下を指差した。

「この砂利にはそれぞれ何面あるんだ？」と彼は言った。それからニヤリと笑った。「もしその数がいつも6くらいだと言ったらどう思う？」それから彼は、同僚の脳裏にしみ込んでくれることを願って、もっと大きな疑問を投げかけた。もし世界が立方体でできていたとしたら？

当初、ジェロルマックは反論した。家はレンガで建てられるが、地球は岩でできている。言うまでもなく、岩石は多種多様だ。雲母は薄片状に剥がれ落ち、結晶は明確な軸に沿って割れる。しかし、数学的に言えば、ランダムに割れた岩石は平均して6面8頂点の形状に割れるはずだとドモコスは主張した。これらを総合的に考えれば、すべては一種の理想的な立方体に収束する、影のような近似値になるはずだ。ドモコスはそれを数学的に証明したのだ、と彼は言った。そして今、自然界がまさにそうであることを示すために、ジェロルマックの助けが必要だった。

「これは幾何学の正確な予測が自然界で実証されたもので、物理学とは全く関係ありません」とペンシルベニア大学のジェロルマック教授は述べた。「一体全体、自然はどうしてこんなことが起こるのでしょうか？」

その後数年間、二人は幾何学的なビジョンを、微細な破片から岩の露頭、惑星の表面、そしてプラトンの『ティマイオス』にまで追求し、プロジェクトに神秘的な雰囲気を漂わせていった。紀元前360年頃に著作を残したギリシャの哲学者プラトンは、5つのプラトン立体を、土、空気、火、水、星の物質という五つの元素と結びつけていた。先見の明か、幸運か、あるいはその両方か、プラトンは最も積み重ねやすい形状である立方体を土と組み合わせた。「ああ、なるほど、少し形而上学的な話になってきたな、と思いました」とジェロルマックは語った。

しかし、彼らは自然界に直方体の平均を発見し続け、さらに同じ理論で説明できる直方体ではないものもいくつか発見しました。そして最終的に、新たな数学的枠組み、すなわち万物がどのように崩壊していくかを表現する記述言語を確立しました。今年初めに発表された論文には、難解なハリー・ポッターの小説のようなタイトルが付けられました。「プラトンの立方体と自然的断片化幾何学」です。

クアンタが連絡を取った複数の地球物理学者は、同じ数学的枠組みが、ひび割れた崖面の浸食の理解や危険な岩盤崩落の防止といった問題にも役立つ可能性があると述べています。「これは本当に、本当にエキサイティングです」と、論文出版前に査読を行った2人の科学者のうちの1人、エディンバラ大学の地形学者ミカエル・アタル氏は述べています。もう1人の査読者であるヴァンダービルト大学の地球物理学者デビッド・ファービッシュ氏は、「このような論文を読むと、『これらのアイデアを何か活用できるだろうか』と考えさせられます」と述べています。

あらゆる可能性のある休憩

フィラデルフィアに来るずっと前から、ドモコスはもっと無害な数学的な疑問を抱いていた。

何かを複数の破片に砕いたとします。するとモザイク模様が出来上がります。古代ローマ浴場の床のように、重なりや隙間なく貼り合わせることができる形の集合体です。さらに、それらの形がすべて凸型で、凹凸がないと仮定します。

ドモコスはまず、幾何学だけで、そのようなモザイクを構成する平均的形状を予測できるかどうかを確かめようとしました。次に、他に考えられるあらゆる形状の集合を記述できるようにしたいと考えました。

二次元では、何も壊さずにこの方法を試すことができます。一枚の紙を用意し、その紙を2つに分けるようにランダムに切ります。次に、それぞれの多角形をランダムに切ります。このランダムな処理を数回繰り返します。そして、すべての紙片の頂点の数を数えて平均を求めます。

幾何学を学ぶ学生にとって、答えを予測するのはそれほど難しくない。「ビール1箱を賭けてもいい。2時間以内にその式を導き出せる」とドモコスは言った。ピースは平均して4つの頂点と4つの辺を持ち、長方形になるはずだ。

同じ問題を3次元で考えることもできます。約50年前、ロシアの原子物理学者であり、反体制活動家でノーベル平和賞受賞者のアンドレイ・ドミトリエヴィチ・サハロフは、妻とキャベツを刻みながら、同じ問題を提起しました。キャベツの頂点は平均していくつあるべきでしょうか？サハロフはこの問題を、伝説的なソビエトの数学者ウラジーミル・イゴレヴィチ・アーノルドと弟子に託しました。しかし、彼らの解決への努力は不完全であり、ほとんど忘れ去られています。

ドモコスはこの研究を知らずに、立方体を答えとする証明を書いた。しかし彼は念のため確認したかった。もし同じ問題の解答が既に存在するなら、ドイツの数学者ヴォルフガング・ヴァイルと、幾何学界の巨匠である80歳のロルフ・シュナイダーが書いた難解な書物の中に閉じ込められているはずだと考えたのだ。ドモコスはプロの数学者だが、彼でさえその文章は難解だと感じた。

「本のその部分を読んで、人間の言葉に翻訳してくれる人が見つかったんです」とドモコスは言った。彼は任意の次元数に対して定理を発見した。これにより、立方体がまさに3次元の答えであることが確認された。

ドモコスは、平面や三次元ブロックを分割することで得られる平均的な形状を解明した。しかし、そこからさらに大きな探求が始まった。ドモコスは、平均だけでなく、潜在的可能性についても数学的に記述できると気づいた。何かが崩壊するとき、どのような形状の集合が数学的に可能なのだろうか？

何かが崩壊した後に生じる形はモザイクであることを覚えておいてください。重なり合うことも隙間もなく、ぴったりと合います。例えば、切り分けられた長方形は、簡単にタイル状に並べることで、2次元のモザイク模様を埋めることができます。数学者がボロノイパターンと呼ぶ理想的な六角形も同様です。しかし、五角形や八角形はタイル状に並べられません。

モザイクを適切に分類するために、ドモコスはモザイクを2つの数値で表現し始めました。1つ目は、セルあたりの頂点の平均数です。2つ目は、各頂点を共有する異なるセルの平均数です。例えば、六角形のバスタイルのモザイクでは、各セルは6つの頂点を持つ六角形です。そして、各頂点は3つの六角形によって共有されています。

モザイクでは、これら 2 つのパラメータの特定の組み合わせのみが機能し、何かが崩壊した結果として生じる可能性のある狭い帯状の形状を形成します。

もう一度言いますが、この完全な帯状部分を見つけるのは2次元では比較的簡単ですが、3次元でははるかに困難です。立方体は3次元ではもちろんうまく積み重なりますが、ボロノイ図の3次元版を形成するものなど、他の形状の組み合わせでも同様です。問題を実行可能な状態に保つため、ドモコスは、同じ頂点を共有する整然とした凸状セルを持つモザイクだけに限定しました。最終的に、彼と数学者のゾルト・ランギは、このようなすべての可能性のある3次元モザイクの曲線を概説する新しい予想を考案しました。彼らはそれをExperimental Mathematics誌に発表し、「その後、私はもちろん神様であるロルフ・シュナイダーにその全容を送りました」とドモコスは語っています。

「この推測に至った経緯を説明してほしいかと尋ねたのですが、彼は分かっていると断言しました」とドモコス氏は笑いながら言った。「それは、どんな論文誌にも掲載されるよりも100倍も大きな意味がありました」

さらに重要なのは、ドモコスが枠組みを手に入れたことだ。数学は、面やブロックが分解できるあらゆるパターンを分類する方法を提供した。幾何学はまた、平面をランダムに分割すると大まかな長方形に分解され、三次元で同じことをすると大まかな立方体になることを予測した。

しかし、これが少数の数学者以外の人にとって意味のあるものになるためには、ドモコスはこれらの同じルールが現実世界でも現れることを証明しなければなりませんでした。

幾何学から地質学へ

ドモコスが2016年にフィラデルフィアを訪れた頃には、すでに現実世界の問題にいくらか進展を遂げていた。ブダペスト工科経済大学の同僚たちと、ブダペストのハルマシャタルヘジ山の崖面から浸食されたドロマイトの破片を集めていたのだ。立方体への普遍的な陰謀などという前提を持たずに、実験室の技術者が数日かけて、数百個の粒子の面と頂点を丹念に数えた。平均すると？6面、8頂点。コンピューターシミュレーションの専門家ヤノシュ・トーレックと、破砕物理学の専門家フェレンツ・クンと共同で、ドモコスは石膏や石灰岩といった岩石にも直方体の平均が見られることを発見した。

ドモコスは、数学的な計算と初期の物理的証拠を基に、驚愕するジェロルマックに自分のアイデアを売り込んだ。「どういうわけか彼は呪文を唱え、他のすべてが一瞬消え去るんです」とジェロルマックは言った。

彼らの同盟は馴染み深いものだった。ドモコスは数年前、ゴンボックの存在を証明して名声を博していた。ゴンボックとは、どんなに押しても回転して直立する奇妙な立体形状の物体だ。ゴンボックが自然界に存在するかどうかを確かめるため、彼はイェロルマックを招聘し、イェロルマックはこの概念を応用して地球と火星の小石が丸い理由を解明した。そして今、ドモコスは再び、高尚な数学的概念を文字通りの石に翻訳する手助けを求めていた。

二人は新たな計画に着手した。プラトンの立方体が自然界に実際に存在することを証明するには、幾何学と少量の岩石との単なる偶然の一致以上のものを示す必要があった。あらゆる岩石を考慮し、抽象的な数学がいかにして複雑な地球物理学を通り抜け、さらに複雑な現実へと浸透していくのかを、説得力のある理論として描き出す必要があったのだ。

最初は「すべてがうまくいっているように見えました」とジェロルマック氏は言う。ドモコス氏の数学は、岩石の破片の平均は立方体になるはずだと予測していた。実際の岩石の破片は、その予測に喜んで従うようになってきた。しかしジェロルマック氏はすぐに、この理論を証明するには、規則を破る事例にも立ち向かう必要があることに気づいた。

結局のところ、同じ幾何学は、二次元と三次元の両方に存在する可能性のある他の多くのモザイク模様を記述するための語彙を提供したのです。ジェロルマックは、長方形や立方体には全く見えないものの、それでもこの大きな空間に分類できる、現実世界のいくつかの砕けた岩石をすぐに思い浮かべることができました。

もしかしたら、これらの例は立方体世界理論を完全に覆すことになるかもしれない。もっと期待できるのは、これらの例が特定の状況でのみ発生し、地質学者にそれぞれ異なる教訓をもたらすかもしれないということだ。「私は、立方体世界理論がどこでも通用するわけではないことを知っていると言いました。そして、その理由を知る必要があるのです」とジェロルマック氏は述べた。

その後数年間、ジェロルマックとチームの他のメンバーは大西洋の両側で作業を進め、ドモコスの枠組みのどこに砕けた岩石の実例が当てはまるかを図式化し始めた。チームが基本的に二次元的な表層システム――アラスカの亀裂が入った永久凍土、ドロマイトの露頭、そして露出した花崗岩の岩塊の亀裂――を調査したところ、彼らは平均して四辺と四頂点からなる多角形を発見した。それはまるで一枚の紙を切ったように――だった。これらの地質学的事例はいずれも、岩石が単純に破砕された場所に現れているように見えた。ここでドモコスの予測は正しかった。

一方、別の種類の破砕された岩盤は、ジェロルマックが期待していた通りの、独自の物語を持つ例外的な岩盤であることが証明された。乾燥し、ひび割れ、湿潤し、治癒し、そして再びひび割れる干潟は、平均して6つの辺と6つの頂点を持つセルを持ち、おおよそ六角形のボロノイパターンに従う。表面から下に向かって固まる、冷えた溶岩からできた岩石も同様の外観を呈することがある。

興味深いことに、これらのシステムは、異なる種類の応力、つまり岩石を押し込む力ではなく、外側に引っ張る力の下で形成される傾向がありました。その形状から地質学が明らかになりました。そしてジェロルマックとドモコスは、このボロノイパターンは、たとえ比較的まれではあっても、これまで考えられていたよりもはるかに大きなスケールでも発生する可能性があると考えました。

クラストを数える

プロジェクトの途中で、チームはブダペストに集まり、3日間を駆け足で費やして、より多くの自然現象を取り入れようと奔走しました。間もなく、ジェロルマックはコンピューターに新しいパターンを表示させました。地球のプレートがどのように組み合わさっているかを示すモザイク模様です。プレートは、地球表面のほぼ2次元的な表層であるリソスフェアに閉じ込められています。そのパターンに見覚えがあり、ジェロルマックは他のメンバーを呼び寄せました。「みんな、わあ、すごい！と思いました」と彼は言いました。

目視では、プレートは長方形ではなくボロノイパターンに沿っているように見えました。そこで研究チームは数えました。平面上の六角形の完全なボロノイモザイクでは、各セルは6つの頂点を持つはずです。実際のプレートは平均5.77個の頂点を持っていました。

地球物理学者にとっては、祝うに十分近かった。しかし、数学者にとってはそうではなかった。「ダグは上機嫌になっていました。猛烈に働いていました」とドモコスは言った。「私は翌日のことが気になって仕方がありませんでした。その差のことばかり考えていたからです」

ドモコスは夜、家に帰った。まだその違いが彼を苛んでいた。彼は再び数字を書き出した。そして、あることに気づいた。六角形のモザイクで平面をタイル状に並べることができる。しかし、地球は平面ではない。少なくともYouTubeの一部のコーナーを除けば。六角形と五角形で覆われたサッカーボールを想像してみてほしい。ドモコスは球面の表面積を計算し、地球儀ではボロノイモザイクセルの頂点数は平均5.77個になるはずだと分かった。

この洞察は、地球物理学における重要な未解決問題「地球のプレートはどのように形成されたのか」を解明する上で役立つかもしれない。プレートはマントル深部で活発に活動する対流細胞の副産物に過ぎないという説がある。しかし、地球の地殻は別のシステムであり、膨張して脆くなり、亀裂が生じたという異論もある。ジェロルマック氏は、観測されたプレートのボロノイパターンははるかに小さな干潟を彷彿とさせ、後者の主張を裏付ける可能性があると述べた。「この論文がいかに重要かを改めて認識させてくれたのも、まさにこの論文です」とアタル氏は述べた。「本当に驚異的です」。

啓示的な休憩

一方、三次元の世界では、直方体の法則に例外となるものは極めて稀でした。そして、それらもまた、外向きの引力という特殊な力をシミュレートすることで作り出すことができました。北アイルランドの海岸には、波が何万もの玄武岩の柱に打ち寄せる、特徴的に非直方体の岩層があります。アイルランド語では「Clochán na bhFomhórach（超自然的な存在の種族の飛び石）」、英語では「Giants Causeway（巨人の土手道）」と呼ばれます。

重要なのは、これらの柱状構造や類似の火山岩は六角形であるということです。しかし、トーロック氏のシミュレーションでは、ジャイアンツ・コーズウェイのようなモザイクは、火山岩が冷えてできた二次元のボロノイ基盤から単純に成長した三次元構造として生成されました。

研究チームは、視野を広くすれば、現実のほとんどの破砕岩モザイクは、プラトン長方形、2次元ボロノイパターン、そして圧倒的に多い3次元プラトン立方体だけで分類できると主張している。これらのパターンはそれぞれ、地質学的な物語を語ることができる。そして、適切な注意を払えば、世界は確かに立方体でできていると言えるだろう。

「彼らは、モデルを現実と照らし合わせて精査する十分な努力を払いました」と、ノースカロライナ大学シャーロット校の地球科学者、マーサ＝キャリー・エップス氏は述べた。「当初抱いていた疑念は払拭されました。」

「数学的に言えば、岩石を破砕し始めると、それがどのように行われようと、ランダムであろうと決定論的であろうと、可能性は限られたものしかないということです」とファービッシュ氏は言った。「なんて賢い考えでしょう？」

具体的には、実際に断裂した現場を取材し、頂点や面などを数えて、その原因となっている地質学的状況について何かを推測できるかもしれません。

「このように考えることができるデータがある場所があります」と、ペンシルベニア州立大学の地形学者、ローマン・ディビアス氏は述べた。「ジャイアンツ・コーズウェイよりも微細なものを識別したり、ハンマーで岩を叩いて破片がどのように見えるかを確認したりできれば、本当に素晴らしい成果になるでしょう。」

ジェロルマックは、プラトンとの偶然の繋がりに当初は違和感を覚えていたものの、今ではそれを受け入れるようになった。結局のところ、プラトンは理想的な幾何学的形態が宇宙を理解する上で中心的な役割を果たしているものの、常に目には見えず、歪んだ影としてしか見えないと提唱していたのだ。

「これは文字通り、私たちが思いつく最も直接的な例です。これらすべての観測値の統計的平均は立方体です」とジェロルマック氏は述べた。

「しかし、立方体は存在しない。」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。

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