タイルの決して繰り返されないパターンは量子情報を保護できる

この物語 のオリジナル版はQuanta Magazineに掲載されました。

浴室の床にタイルを敷くなら、正方形のタイルが最もシンプルな選択肢です。隙間なく格子状に敷き詰められ、無限に続くことができます。この正方形の格子には、他の多くのタイル張りに共通する性質があります。格子全体を一定量ずらすと、元のパターンと区別がつかなくなるのです。しかし、多くの数学者にとって、このような「周期的な」タイル張りは退屈です。小さなパッチを一つ見れば、すべてを見たようなものなのです。

1960年代、数学者たちははるかに豊かな振る舞いを示す「非周期的」なタイル集合の研究を始めました。おそらく最も有名なのは、博識な物理学者であり、後にノーベル賞受賞者となるロジャー・ペンローズが1970年代に発見した一対のひし形タイルでしょう。この2つのタイルをコピーすることで、無限に続く様々なパターンを形成することができ、ペンローズ・タイリングと呼ばれます。しかし、タイルをどのように配置しても、周期的な繰り返しパターンは得られません。

「これらは本来存在するはずのないタイルだ」とブリストル大学の物理学者ニコラス・ブロイクマン氏は語った。

半世紀以上にわたり、非周期タイリングは数学者、愛好家、そして様々な分野の研究者を魅了してきました。そして今、2人の物理学者が、非周期タイリングと一見無関係に見えるコンピュータサイエンスの分野、すなわち将来の量子コンピュータが情報を符号化してエラーから保護する方法の研究との関連性を発見しました。11月にプレプリントサーバーarxiv.orgに投稿された論文で、研究者たちはペンローズタイリングを全く新しいタイプの量子誤り訂正符号に変換する方法を示しました。彼らはまた、他の2種類の非周期タイリングに基づく同様の符号も構築しました。

この対応の中心にあるのは、単純な観察である。非周期的タイリングと量子エラー訂正コードの両方において、大規模なシステムの小さな部分について学んでも、システム全体については何も明らかにならない。

「振り返ってみると、当たり前のことのように見える素晴らしいことの一つです」と、ロンドン大学ユニバーシティ・カレッジの量子情報研究者、トビー・キュービット氏は語った。「『なぜ私はそれに気づかなかったのだろう？』と思うほどです」

禁断の知識

通常のコンピュータは、0と1という2つの異なる状態を持つビットを用いて情報を表します。量子ビット（キュービット）も同様に2つの状態を持ちますが、0と1の状態が共存する、いわゆる重ね合わせ状態を作り出すこともできます。多数のキュービットを含むより精巧な重ね合わせを利用することで、量子コンピュータは特定の計算を従来の機械よりもはるかに高速に実行できます。

しかし、量子重ね合わせは気まぐれな生き物です。重ね合わせ状態にある量子ビットを測定すると、0か1に崩壊し、進行中の計算はすべて消去されてしまいます。さらに悪いことに、量子ビットとその環境との間の微弱な相互作用から生じる誤差が、測定の破壊的な影響を模倣する可能性があります。詮索好きな研究者であれ、迷い込んだ光子であれ、量子ビットを刺激するものはすべて、計算を台無しにする可能性があります。

この極度の脆弱性から、量子コンピューティングは絶望的に思えるかもしれません。しかし1995年、応用数学者のピーター・ショアは量子情報を保存する巧妙な方法を発見しました。彼の符号化には2つの重要な特性がありました。1つ目は、個々の量子ビットにのみ影響を与えるエラーを許容できること。2つ目は、発生したエラーを即座に訂正する手順を備えており、エラーが蓄積して計算が狂うことを防ぐことです。ショアの発見は量子エラー訂正符号の最初の例であり、その2つの重要な特性は、あらゆる量子誤り訂正符号の決定的な特徴となっています。

最初の特性は、単純な原理に由来します。秘密情報は分割することで脆弱性が低くなるということです。スパイネットワークも同様の戦略を採用しています。各スパイはネットワーク全体についてほとんど何も知らないため、たとえ誰か一人が捕らえられても組織は安全です。しかし、量子誤り訂正符号はこの論理を極限まで推し進めます。量子スパイネットワークでは、一人のスパイは何も知らないのに、全員が集まると多くの情報を知ることになります。

それぞれの量子誤り訂正符号は、集団的な重ね合わせ状態にある多数の量子ビットに量子情報を分配するための特定のレシピです。この手順は、物理的な量子ビットのクラスターを単一の仮想量子ビットに実質的に変換します。このプロセスを大規模な量子ビット配列で何度も繰り返すことで、計算に使用できる多数の仮想量子ビットが得られます。

それぞれの仮想量子ビットを構成する物理量子ビットは、無知な量子スパイのようなものです。物理量子ビットのいずれかを測定しても、それが属する仮想量子ビットの状態については何も分かりません。これは局所識別不能性と呼ばれる性質です。それぞれの物理量子ビットは情報をエンコードしていないため、単一の量子ビットにエラーが発生しても計算が台無しになることはありません。重要な情報は、どういうわけかどこにでも存在し、しかも特定の場所には存在しないのです。

「それを個々の量子ビットに特定することはできない」とキュービット氏は語った。

すべての量子誤り訂正符号は、符号化された情報に影響を与えることなく少なくとも1つの誤りを吸収できますが、誤りが蓄積されると最終的にはすべて機能しなくなります。ここで、量子誤り訂正符号の2つ目の特性、つまり実際の誤り訂正が作用します。これは局所的識別不能性と密接に関連しています。個々の量子ビットの誤りは情報を破壊しないため、各符号に固有の確立された手順を用いることで、あらゆる誤りを常に元に戻すことができます。

騙されて

カナダ、ウォータールーにあるペリメーター理論物理学研究所のポスドク研究員、ジー・リーは量子エラー訂正理論に精通していた。しかし、同僚のレイサム・ボイルと会話を始めた時、その話題は彼の頭には全く浮かんでいなかった。2022年の秋、二人の物理学者はウォータールーからトロントへ向かう夕方のシャトルバスに乗っていた。当時トロントに住み、現在はエディンバラ大学に所属する非周期タイリングの専門家、ボイルは、しばしば渋滞に巻き込まれるシャトルバスの中ではお馴染みの顔だった。

「普段なら、彼らはとても惨めな気持ちになるものです」とボイル氏は言った。「今回は史上最高の出来事でした」

あの運命の夜以前、リーとボイルは互いの研究内容を知っていましたが、研究分野が直接重なることはなく、直接会話を交わしたこともありませんでした。しかし、無関係な分野の無数の研究者と同様に、リーも非周期的タイリングに興味を持っていました。「興味を持たないでいるのは難しい」と彼は言います。

ボイルが非周期的タイリングの特殊な性質、すなわち局所的識別不能性について言及した時、興味は一変し、魅了された。この文脈では、この用語は別の意味を持つ。同じタイルの集合から、全体としては全く異なるように見えるタイリングが無限に形成される可能性があるが、局所領域を調べても2つのタイリングを区別することは不可能である。なぜなら、どんなタイリングの有限のパッチも、それがどんなに大きくても、他のどのタイリングにもどこかで現れるからだ。

「もし私があなたをどちらかのタイルに座らせて、残りの人生を探検させるとしたら、私があなたをあなたのタイルに座らせたのか、私のタイルに座らせたのか、あなたは決して分からないでしょう」とボイル氏は語った。

李にとって、これは量子誤り訂正における局所識別不能性の定義と非常によく似ているように思えた。彼はボイルにこの関連性について話すと、ボイルはたちまち魅了された。両者の根底にある数学は全く異なるものの、その類似性は無視できないほど魅力的だった。

リーとボイルは、非周期的タイリングのクラスに基づく量子誤り訂正符号を構築することで、局所識別不能性の2つの定義をより正確に結び付けることができるのではないかと考えた。2時間のシャトルバスの乗車中も彼らは話し合いを続け、トロントに到着する頃には、そのような符号が実現可能であると確信していた。あとは正式な証明を構築するだけの問題だった。

量子タイル

リーとボイルは、シンプルで馴染みのあるペンローズタイリングから始めることにした。これを量子誤り訂正符号に変換するには、まずこの特異なシステムにおける量子状態とエラーがどのように見えるかを定義する必要があった。これは容易だった。ペンローズタイルで覆われた無限の二次元平面、つまり量子ビットのグリッドは、量子物理学の数学的枠組みを用いて記述できる。量子状態は0と1ではなく、特定のタイリングである。エラーはタイリングパターンの1つのパッチを単に削除するだけであり、量子ビット配列における特定のエラーが小さなクラスター内のすべての量子ビットの状態を消去するのと同じである。

次のステップは、通常の量子誤り訂正符号における仮想量子ビット状態のように、局所的なエラーの影響を受けないタイリング構成を特定することでした。その解決策は、通常の符号と同様に、重ね合わせを利用することでした。ペンローズタイリングの慎重に選択された重ね合わせは、世界で最も優柔不断なインテリアデザイナーが提案する浴室のタイル配置に似ています。たとえそのごちゃごちゃした設計図の一部が欠けていたとしても、全体的な間取りに関する情報は何も漏らしません。

このアプローチを機能させるために、リーとボイルはまず、異なるペンローズタイリング間の質的に異なる2つの関係を区別する必要がありました。任意のタイリングが与えられた場合、それを任意の方向にシフトまたは回転させることにより、無限の数の新しいタイリングを生成できます。このようにして生成されたすべてのタイリングの集合は、同値類と呼ばれます。

しかし、すべてのペンローズタイリングが同じ同値類に属するわけではありません。ある同値類に属するタイリングは、回転と平行移動をどのような組み合わせで行っても、別の同値類に属するタイリングに変換することはできません。つまり、2つの無限パターンは質的に異なるものの、局所的には区別がつかないのです。

この区別が明確になったことで、リーとボイルはついに誤り訂正符号を構築することができました。通常の量子誤り訂正符号では、仮想量子ビットが物理量子ビットの重ね合わせで符号化されることを思い出してください。彼らのタイリングベースの符号では、類似状態は単一の同値類内のすべてのタイリングの重ね合わせです。平面がこの種の重ね合わせでタイリングされている場合、量子状態全体に関する情報を明らかにすることなくギャップを埋める手順が存在します。

「量子コンピュータが発明される前から、ペンローズ・タイリングは量子エラー訂正について何らかの形で知っていた」とボイル氏は語った。

バスの中でリーとボイルが抱いた直感は正しかった。深いレベルでは、局所的区別不能性の二つの定義自体が区別不能だったのだ。

パターンを見つける

数学的には明確に定義されているものの、リーとボイルの新しいコードは実用的とは言えませんでした。ペンローズ・タイリングにおけるタイルの辺は一定の間隔で並んでいるわけではないため、その分布を指定するには離散的な整数ではなく連続的な実数が必要です。一方、量子コンピューターは通常、量子ビットのグリッドのような離散的なシステムを使用します。さらに悪いことに、ペンローズ・タイリングは無限平面上でのみ局所的に区別が不可能であり、有限の現実世界にはうまく当てはまりません。

「非常に興味深い関連性です」と、デルフト工科大学の量子コンピューティング研究者、バーバラ・テルハル氏は述べた。「しかし、それを現実に即して考えてみるのも良いことです。」

Li氏とBoyle氏は既にその方向への一歩を踏み出しており、2つのタイリングベース符号を構築しています。これらの符号では、基盤となる量子系が一方は有限で、もう一方は離散的です。離散符号も有限にすることは可能ですが、他の課題が残っています。どちらの有限符号も、密集した誤りしか訂正できません。一方、最も一般的な量子誤り訂正符号は、ランダムに分布する誤りを処理できます。これがタイリングベース符号の固有の限界なのか、それともより巧妙な設計によって回避できるのかはまだ明らかではありません。

「追加研究はまだまだたくさんできる」とブリストル大学の物理学者フェリックス・フリッカー氏は述べた。「優れた論文はすべてそうすべきだ」

より深く理解する必要があるのは技術的な詳細だけではありません。この新たな発見は、より根本的な疑問も提起しています。次の明らかなステップの一つは、他にどのようなタイリングが符号として機能するかを特定することです。昨年、数学者たちは、それぞれ単一のタイルのみを使用する非周期的なタイリングのファミリーを発見しました。「これらの最近の進歩が量子エラー訂正の問題とどのように関連するのかを見るのは興味深いでしょう」とペンローズ氏は電子メールで述べています。

もう一つの方向性は、量子誤り訂正符号と特定の量子重力モデルとの関連性を探ることです。2020年の論文で、ボイル、フリッカー、そして故マデリン・ディケンズは、これらのモデルの時空幾何学に非周期タイリングが現れることを示しました。しかし、この関連性はタイリングの特性に由来しており、リーとボイルの研究では全く役割を果たしていません。量子重力、量子誤り訂正、そして非周期タイリングは、研究者たちがその輪郭を理解し始めたばかりのパズルの異なるピースのようです。非周期タイリング自体と同様に、これらのピースがどのように組み合わさるかを解明するのは、驚くほど微妙な場合があります。

「これらの異なる事柄を繋ぐ深い根源があります」とフリッカー氏は述べた。「この魅力的な繋がりは、解明されるのを待ち望んでいます。」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。