SpaceX、初のロケットフェアリングを回収。数字を見てみましょう！

ロケットが衛星などのペイロードを積んで打ち上げられる際には、フェアリングが必要です。フェアリングは、ロケットのノーズコーンとも呼ばれ、ペイロードの上にある覆いのことで、地球の大気圏を高速で通過する際に宇宙船の空力性能を確保します。しかし、ロケットが大気圏のほとんどを過ぎると、フェアリングは不要になります。余分な重量になってしまうからです。そのため、フェアリングは排出され、地球に落下します。

さて、イーロン・マスクが設立し、新しいことに挑戦するロケット会社、SpaceXの登場です。しかし、これらのフェアリングは決して安くはないことが判明しました。ファルコン・ヘビーロケットの場合、約600万ドルかかるようです。もしフェアリングを捨てるのではなく、再利用できれば、大きな節約になります。そしてもちろん、費用を節約できれば、（長期的には）軌道到達コストも下がるでしょう。

SpaceXはフェアリングをどのように回収する計画なのか、ここでご紹介します。フェアリングは2つのパーツに分かれて放出され、小型スラスターの助けを借りて着陸地点へと誘導されます。高度が十分に低くなると、フェアリングは大型パラシュートを使ってさらに減速します。そして魔法の部分がやってきます。パラシュートで落下するフェアリングは、巨大なネットを取り付けた大型（そして高速）ボートでキャッチされるのです。小学4年生が思いつくような突飛な計画に思えるかもしれませんが、これは現実です。そして、実際に機能したのです。直近のファルコン・ヘビーの打ち上げでは、「Ms. Tree」（そう、実際にそのボートの名前です）という高速船がフェアリングの1つをキャッチしました。SpaceXがこのような偉業を成し遂げたのはこれが初めてです。

これは本当にクレイジーな出来事で、物理学の問題を考える上で素晴らしいインスピレーションを与えてくれます。このような演習は、フェアリングを捕まえるためのプロジェクトの最初のステップだったと言えるでしょう。大まかな推定値を用いることで、フェアリングを捕まえることが本当に可能かどうかを確認できます。これが、実際の紙切れを用意するほどの時間をかけていないので、封筒裏計算と呼ばれるのです。

やりましょう。

まず、フェアリングがロケットから落下するのにどれくらいの時間がかかるでしょうか？フェアリングが100キロメートル（宇宙空間の端のおおよその目安）の高さから落下すると仮定します。もちろん、フェアリングは落下するにつれて速度が増加しますが、より高密度の空気（低高度）に入ると、速度とともに増加する空気抵抗にも遭遇します。最終的に、フェアリングは一定の落下速度に達し、下向きの重力と上向きの空気抵抗が打ち消されます。これは終端速度として知られています。空気抵抗が速度の2乗と物体の形状と質量に依存する場合、終端速度は次のように計算できます（終端速度に関するより詳細な情報は、最近の投稿をご覧ください）。

この式には次の変数があります。

mはフェアリングの質量です。このWikipediaのページによると、フェアリング1個の質量は850キログラムです。
gは 1 キログラムあたり約 9.8 ニュートンの値を持つ重力場です。
Cは抗力係数です。この値は物体の形状によって異なります。ここでは約0.5と推定します。こちらが（抗力係数のリスト）です。
Aは断面積（運動方向）です。フェアリングは（側面から見ると）長方形で、おおよそ13.2 m×5.2 m、面積は約68 m ²です。
^{最後にρがあります。これは、約1.2 kg/m 3}（少なくとも地球に近い場所）の空気の密度です。

これらをすべてまとめると、終端速度は20m/s（時速45マイル）となります。計算結果はこちらをご覧ください。フェアリングが高度100kmから出発した場合、地表に到達するまでに82分かかります。しかし、これは少し長すぎるように感じます。もちろん、フェアリングが地球に落下する時間の大部分は、空気の密度が低いため、この計算された終端速度よりもはるかに速く移動します。したがって、大まかな見積もりとして、フェアリングが地表に到達するまでに41分かかるとしましょう。ご心配なく、大まかな見積もりで問題ありません。

落下時間が分かったので、Ms. Treeについて考えてみましょう。「速い」ボートであることは分かっていますが、それがどういう意味なのかはよく分かりません。かなり大きいので、時速50マイルではなく、時速25マイルくらいでしょうか。とりあえず、ボートの速度を時速30マイルとしましょう。これは完全に推測ですが。では、ボートが時速30マイルで航行でき、フェアリングの集合場所まで41分かかるとしたら、どれくらいの広さのターゲットエリアが必要でしょうか？

この場合、速度が時速マイルで表されているため、41/60時間という時間間隔を使用する方が簡単かもしれません。この時間間隔における直線移動距離は次のように計算できます。

ツリーさんがこの距離をどの方向にも移動できると想像すると、目標エリア全体が円になることがわかります。この円の面積は928平方マイルになります。かなり広いように思えますが、これは海の話です。そして、この目標エリアはさらに狭いかもしれません。落下するフェアリングの位置と軌道を正確に特定するには、ある程度の時間がかかると思います。

さて、次は物理の問題です。実は、これまでの推定はすべて、物理を勉強するための口実に過ぎませんでした。問題はこれです。

SpaceXのフェアリングが高度50kmから20m/sの一定終端速度で落下しています。あなたは高速艇Ms. Treeの船長です。ミッションコントロールセンターは、フェアリングがあなたの位置から12.3km離れた場所に着陸すると決定しました。皆に良い印象を与えたいので、ランデブー地点への移動はギリギリまで待つことにしました。どれくらい待つべきでしょうか？

ほら、現実世界の物理の問題でしょ？現実世界って冗談だけど、それでも楽しい。さて、どうやって解くの？もちろん、基本的な代数方程式を立ててこの問題を解くこともできる。正直言って、解法はそれほど複雑じゃない。でも、私はちょっと違うやり方が好きなんだ。Pythonで解くのはどうだろう？皆さんはどうか知らないけど、私はPythonが大好き。最高だよ。

私の解決策のコードはこちらです。下にいくつかメモを記載します。「鉛筆」をクリックするとコードを確認できます。変更を加えた場合は、「再生」をクリックして再実行してください。

学生（そして他の人間）は、コーディングによる解決策に尻込みしがちです。しかし、素晴らしいのは、この問題は様々な方法で解決できるということです。洗練されたアルゴリズムなどは必要ありません。とにかく、ちゃんと動くものを作ってください。私のやり方はこうです。

重要なのは、問題を小さな時間単位に分割することです。今回の場合は0.1秒間隔で計算します。そのため、最終的には単純な問題をたくさん解くことになりますが、それで十分です。
まず、フェアリングとボートの位置をモデリングします。どちらも一定の速度で動き、それぞれのオブジェクトを一定の時間間隔で段階的に移動させます。
ボートが待っていないことに注目してください。すぐに動き出します。ズルだと思うかもしれませんが、これは単純な解決策です。ボートをランデブーポイントまで移動させ、そこで停止させます。そうすれば、衝突までの残り時間を計測し、それを遅延時間として使用できます。
グラフが好きなので、ここにプロットを載せています。グラフ上の2本の線は、2つの物体の位置です。つまり、縦軸は水面に沿った位置（x方向）と垂直方向の位置の両方を表しています。ちょっとズルをしていますが、物体がどのように動くかは分かります。

コーディングはそんなに怖いものではないとご理解いただけたでしょうか。ぜひ試してみてください。練習用の宿題問題をいくつか用意しましたので、ぜひ試してみてください。

宿題

船長がフェアリングの位置まで一定速度（前の問題と同じ距離）で航行したいとします。時間通りに到着するには、船はどのくらいの速度で航行すべきでしょうか？
フェアリングにはパラシュートが付いています。機長はランデブーに向けて出発する前にできるだけ長く待機したいとします。しかし、この場合、フェアリングは高度2,000メートルに達するまで20m/sの一定速度で降下します。その時点でパラシュートが展開され、フェアリングの垂直速度は4m/sになります。
パラシュート付きフェアリングの場合、新しいターゲットエリアのサイズは平方マイルと平方キロメートルの両方でどれくらいですか?

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