激しく曲がる野球ボールの物理法則を解明しよう

タンパベイ・レイズのオリバー・ドレイク選手によるこの素晴らしい投球に、Twitter界は熱狂しています。もちろんこれは現実ですが、なぜこんなことが起こるのでしょうか？物理学では、モデル化してみなければ、本当の理解には至りません。そこで、実際にモデル化してみましょう。この素晴らしい投球をモデル化する手順を、一つずつ解説していきます。物理学的な要素とコーディングの要素が少しありますが、ご安心ください。きっと楽しいものになるでしょう。

等速野球

物理学の素晴らしいところは、まずは最もシンプルなモデルから始めて、それを少しずつ複雑にしていくことができることです。では、投球された野球ボールの動きを示す最も簡単な方法は何でしょうか？ 投球マウンドから本塁まで、ボールが時速85マイル（38メートル/秒）の一定速度で移動すると仮定しましょう。そうそう、マウンドから本塁までの距離は60フィート（18.3メートル）としましょう。

これがどのように動作するかを説明します。この動きを非常に小さな時間間隔、例えば0.01秒に分割します。この時間間隔の開始時に、ボールはある位置にあり、これをr _{1 と}します。速度をvとすると、平均の定義を用いて、この時間間隔の終了時の位置を求めることができます。この2番目の位置をr ₂とします。上の小さな矢印は、これらがベクトル量であることを示しています。これは今はあまり重要ではありませんが、後のステップで重要になります。この2番目の位置を計算する方法を説明します。

この計算は紙に書いても十分簡単なのですが、野球ボールがホームベースに到達するのにたった1秒かかるとしたら、0.01秒の時間差は100回の計算になってしまいます。そんな時間のある人はいませんよね。そこで、コンピューターに計算させてみましょう。コンピューターは（あまり）文句を言いませんから。

等速野球ボールのコードはこちらです。（複雑な処理が1つありますが、これはマウンド、ボール、プレートを描画するだけのものなので無視してください。）「Play」をクリックしてビジュアライゼーションを実行してください。これは投球を上から見た図です。

遊び心でこのコードを編集してみましょう。例えば、ピッチのベロシティ（4行目）を変更してみましょう。鉛筆アイコンをクリックして編集モードに戻り、「再生」をクリックして再度実行します。では、コードを詳しく見てみましょう。実は、最も重要な部分は30行目です。

これは位置更新の式です。最後の項ball.p x dt / mは移動距離を表します。これは速度（運動量 ( p ) ÷ 質量 ( m ) と書きます）に時間変化dtを掛けたものです。この式は少し奇妙に見えるかもしれません。式の両辺にあるball.pos項は打ち消されるように見えます。なるほど！しかし、これは式ではありません。Pythonでは等号は「等しい」という意味ではなく、「等しくする」という意味です。つまり、コンピューターはボールの以前の位置を取得し、移動距離を加算して、それを新しい位置として設定します。コンピューターの思考方法を理解するには少し時間がかかります。

重力の力を持つ野球

等速野球ボールは退屈で簡単すぎました。しかし、等速を過度に単純化したにもかかわらず、それでもかなり便利だったことに注目してください。ボールがホームベースに到達するまでの時間を計算し、動きを視覚的に表現することさえできました。しかし、いつものように、コードに追加することでさらに改善できます。

この場合、ボールに重力を加えてみましょう。この力は、ボールの質量と重力場（g）に依存し、その値は約9.8ニュートン/キログラムです。ボールに力が加わると、ボールは一定速度で移動しなくなります。代わりに、この力はボールの運動量p（運動量は質量と速度の積）を変化させます。この運動量は、位置の更新と非常によく似た方法で、各時間間隔ごとに更新されます。

これを動作させるには、前のモデルに3行追加するだけです。そう、たった3行です。技術的には2行で済ませることもできます。1行目は、野球ボールに初期ベクトル方向を追加し、さまざまな角度で「投げる」ことができるようにします。残りの2行はこれです。

これはベクトル力（gはベクトルであることを覚えておいてください）を計算し、それを使って運動量を更新するだけです。残りのコードは次のとおりです。

2つだけコメントがあります。まず、これは上から見た図だということを覚えておいてください。念のため。次に、この動きをモデル化するために、少しズルをしました。まあ、ズルをしなくてもできたはずですが、今回は面白半分でズルをしました。ズルはどこにあるのでしょうか？位置更新の行（この新しいコードでは34行目）にあります。問題は、運動量（つまり速度）を更新したにもかかわらず、新しい位置を求めるのに平均速度ではなく最終速度を使ったことです。これは間違っています。しかし、時間間隔が短いため、少し間違っているだけです。信じてください、すべてうまくいきます。

空気抵抗のある野球

よりリアルな野球ボールを作るには、もう一つの力、つまり空気抵抗が必要です。ボールが空気中を移動すると、ボールの速度とは反対方向に力が加わります。これが空気抵抗です。ボールと空気中の分子間の相互作用は非常に複雑ですが、以下の式でかなり良いモデルを得ることができます。

慌てないでください。この表現の各用語を一つずつ説明していきます。

• ρは空気の密度です (1 立方メートルあたり約 1.23 kg)。
• Aはボールの断面積です。これはボールの半径を持つ円の面積に相当します。
• Cは抗力係数です。このパラメータは物体の形状によって異なります。野球ボールの場合は約0.4という値を使用しますが、正確に求めるのは難しいです。
• 最後に、vは速度です。では、帽子のような記号が上に付いたvはどうでしょうか？これは v-hat と呼ばれます。その通りです。これは速度ベクトルの方向の単位ベクトルです。つまり、その大きさは 1 で、空気力全体は変化しません。これは、この式全体をベクトルにするためにあるのです。

これをコードに追加してみましょう。

ボールの最終的な位置は、空気抵抗がない場合とそれほど変わりません。ボールの移動距離が短いため、空気抵抗によってボールの運動量が変化する時間はそれほど長くありません。しかし、それでもボールは存在します。ここで宿題を出します。抵抗係数を変えて、ボールの最終的な位置がどれだけ変わるか試してみてください。

マグナスフォースの野球

これぞ、まさにあなたが待っていたもの。空気抵抗と同じように、マグヌス効果はボールと空気の相互作用によって生じます。違いは、この力は回転するボールによって生じるということです。ボールが動きながら回転すると、ボールの表面と空気の間の摩擦によって空気が横に引っ張られます。この空気の運動量の変化によって、ボールには反対方向の力が生まれます。この図が参考になるかもしれません。

このマグヌス力の方向は、速度ベクトルと角速度ベクトル（回転軸の方向）の両方に垂直です。力の大きさは、速度、角速度、ボールの面積、空気の密度、そしてマグヌス係数（C _M）に依存します。方程式で表すと、次のようになります。

はい、最後のFハットベクトルは、力の方向以外、あまり意味がありません。この方向は外積を使って計算できます（これについては、あまり深く考えるべきではありません）。

この力をコードに入力する前に、まずマグヌス係数（C _M）を求める必要があります。アラン・ネイサン著の論文「野球の飛行におけるスピンの影響」によると、係数の計算方法はいくつかありますが、一般的には物体の速度、角速度、そして表面の種類によって決まります。係数の値を調べるための実験表がありますが、0.2～0.3の間になるようです。今回は試しに0.3とします。また、空気抵抗係数も増やし、角速度を2,000 rpmに設定しました。結果は以下のとおりです。

出力を見ると、このモデルは水平方向に約1メートル（約3フィート）の偏差を出しています。これはかなり極端な値ですが、それでもオリバー・ドレイクの投球ほど奇抜には見えません。動画での効果は、ボールの動きとカメラアングルの組み合わせによるものだと思います。投手の後ろから見ているので、ボールの偏差はさらに異常に見えます。もっとコーディングが得意なら、仮想カメラを試合中の実際のカメラと同じ位置に配置できるでしょう。

でも結局のところ、私は野球の専門家ではありません。コードを使ってモデル化する方法を知っているだけです。そして今、あなたもその方法を知っていますね。

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