宇宙の三角形が時間の起源への窓を開く

2019年11月3日午前8時

物理学者たちは、時間を宇宙の空間的相関関係から生じる一種のホログラムである創発的次元として捉える新しい方法を発見した。

キラキラ光る背景に三角形と台形の切り抜きがあり、その中にはカラフルな時計が入っています。

8月下旬、古生物学者たちは、恐竜が「踏みつけた可能性がある」扁平化したカメの甲羅の化石を発見したと報告した。恐竜の足跡は、その真上の岩層にまで及んでいた。相関性のある化石の発見は稀であり、2つの過去の種が同じ時代と場所に生息していた可能性を示唆している。「そうすることで初めて、古代の生態系を復元できるのです」と、ある古生物学者はニューヨーク・タイムズ紙に語った。

このアプローチは、宇宙学者が宇宙の歴史を推測する方法と似ています。化石のように、天体は宇宙空間に無作為に散らばっているわけではありません。むしろ、銀河などの天体の位置関係における空間的な相関関係が、太古の過去の詳細な物語を語ります。「古生物学者は、奇妙な骨のパターンを合理的に説明するために、恐竜の存在を推測します」と、ニュージャージー州プリンストン高等研究所の物理学者で宇宙学者のニマ・アルカニ＝ハメド氏は述べています。「私たちは今日の宇宙のパターンを観察し、それを説明するために宇宙史を推測しているのです。」

宇宙論者が数十年にわたり認識してきた興味深いパターンの一つは、宇宙が相関関係にある天体のペアで満たされているというものです。望遠鏡で描いた初期宇宙の地図に見られるホットスポットのペア、現在の宇宙に存在する銀河、銀河団、超銀河団のペア、そしてあらゆる距離で見られるペアなどが挙げられます。これらの「2点相関」は、定規を天空地図上で動かすことで確認できます。宇宙論者は、一方の端に天体がある場合、もう一方の端にも天体が存在する可能性が高くなることを発見しています。

これらの相関関係の最も単純な説明は、ビッグバンの始まりに空間が指数関数的に膨張する中で、揺らぎながら存在するようになった量子粒子のペアに起因するというものです。初期に発生した粒子のペアはその後最も離れ、今日の空では互いに遠く離れた天体のペアを形成しました。後から発生した粒子のペアはより離れ、現在ではより近い天体のペアを形成しています。化石のように、空全体に見られるペアごとの相関関係は、時間の経過、つまりこの場合はまさに時間の始まりを象徴しています。

宇宙学者たちは、宇宙の誕生時には、3個、4個、あるいはそれ以上の粒子が関与する稀な量子ゆらぎも発生したはずだと考えています。このゆらぎは、今日の天体のより複雑な配置、例えば銀河の三角形の配置、四辺形、五角形、その他の形状を生み出していたと考えられます。望遠鏡はまだこれらの統計的に微妙な「高点」相関を捉えていませんが、発見されれば物理学者はビッグバン後の最初の瞬間をより深く理解するのに役立つでしょう。

しかし、理論家たちは最近まで、信号がどのように見えるかを計算することさえ困難でした。過去4年間、少数の研究者グループがこの問題に新たなアプローチを試み、相関関係の形が対称性などの深遠な数学原理から直接導かれることを発見しました。これまでで最も重要な発見は、アルカニ＝ハメド氏と3人の共著者による論文で詳述され、今夏に最終版が発表されました。

物理学者たちは「ブートストラップ」と呼ばれる戦略を採用した。これは「自分のブーツストラップで立ち上がる」（地面を蹴り上げるのではなく）というフレーズに由来する。このアプローチは、経験的証拠に基づかず、法則自体の数学的論理と自己一貫性のみを考慮することで自然法則を推論する。研究者たちはこのブートストラップ哲学を用いて、様々な原始的要素に起因する空における相関関係のパターンを規定する簡潔な数式を導き出し、それを解いた。

「彼らは教科書的なアプローチとは全く異なる計算方法を発見した」と、ブートストラップ法を他の状況にも応用しているコーネル大学の理論物理学者トム・ハートマン氏は言う。

スタンフォード大学の理論物理学者エヴァ・シルバースタイン氏は、この研究には関与していないが、アルカニ＝ハメド氏と共同研究者による最近の論文は「実に素晴らしい貢献」だと付け加えた。シルバースタイン氏らによると、この研究の最も注目すべき点は、おそらく時間の性質について示唆していることだという。この新しいブートストラップ方程式には「時間」という変数はどこにも存在しない。しかし、この方程式は宇宙論的な三角形、長方形、そしてあらゆる大きさの形状を予測しており、時間の始まりに量子粒子が出現し進化していくという理にかなった物語を物語っている。

これは、宇宙の起源を語る時間的な物語が幻想である可能性を示唆している。時間は「創発的」次元、つまり宇宙の空間的相関関係から生じる一種のホログラムと見ることができる。空間的相関関係自体は、基本的な対称性から生じているように思われる。つまり、このアプローチは、時間がなぜ始まり、そしてなぜ終わるのかを説明するのに役立つ可能性がある。アルカニ＝ハメド氏が述べたように、「私たちがブートストラップしているのは、時間そのものである」のだ。

時の始まりの地図

1980年、宇宙論者のアラン・グースは、数々の宇宙論的特徴について熟考した結果、ビッグバンは「宇宙インフレーション」として知られる突発的な指数関数的膨張から始まったという仮説を立てた。2年後、世界を代表する多くの宇宙論者がイギリスのケンブリッジに集まり、この新理論の詳細を詰めた。3週間にわたるナフィールド・ワークショップでは、グース、スティーブン・ホーキング、そして後に英国王室天文官となるマーティン・リースを含むグループが、時の始まりにおける短いインフレーション期の影響をつなぎ合わせた。ワークショップの終わりまでに、数人の参加者がそれぞれ個別に計算を行い、宇宙インフレーション中の量子ジッターは適切な速度で実際に起こり、適切な方法で進化して、観測される宇宙の密度変化をもたらした可能性があると結論づけた。

その仕組みを理解するには、宇宙のインフレーションを引き起こした仮想のエネルギー場、「インフレーション場」を思い浮かべてみてください。このエネルギー場が空間の指数関数的な膨張の原動力となったため、場の中で粒子の対が自然発生的に発生したと考えられます。（これらの量子粒子は、量子場のさざ波とも考えられます。）このような粒子対は量子場に常に現れ、ハイゼンベルクの不確定性原理によって許される範囲で、場から瞬間的にエネルギーを借りています。通常、さざ波はすぐに対消滅して消え、エネルギーを戻します。しかし、インフレーションではこれが起こりません。空間がインフレーションすると、さざ波はタフィーのように伸びて引き裂かれ、密度の双子のピークとして場の中に「凍結」されました。このプロセスが続くと、ピークはあらゆるスケールで入れ子になったパターンを形成しました。

インフレーションが終結した後（開始からほんの一瞬後）、空間密度の変動は残った。宇宙マイクロ波背景放射と呼ばれる古代の光の研究により、誕生間もない宇宙には約1万分の1の密度差が点在していたことが明らかになった。これは大きな差ではないが、十分な差だった。それから約138億年を経て、重力は物質を高密度の点へと引き寄せ、このコントラストを高めてきた。現在、天の川銀河やアンドロメダ銀河のような銀河は、宇宙平均の100万倍の密度となっている。ガスが回顧録に記したように（中国の万里の長城ではなく、巨大な銀河の帯を指している）、彼は「電子とクォークの挙動を支配するハイゼンベルクの不確定性原理は、アンドロメダや万里の長城にも影響を与えているのかもしれない！」と述べている。

その後、1980年代から90年代にかけて、宇宙論者たちは、インフレーション宇宙において、インフレーション場以外にどのような場やメカニズム、あるいは要素が存在していたのか、そしてそれらが宇宙の膨張パターンをどのように変化させるのか、疑問に思い始めました。インフレーション場は少なくとも重力場と相互作用していたことは周知の事実です。場は量子力学的に互いに干渉し合う傾向があるため、インフレーション場内で一対の粒子が物質化し、宇宙膨張によって引き離されると、時折、そのうちの一方が自発的に二つの重力子粒子、つまり重力場の励起へと変化するはずです。この重力子粒子と残ったインフレーション粒子は分離を続け、宇宙空間に凍結し、エネルギーが三角形状に集中する構造を作り出したはずです。一方、原始粒子の一対の粒子が揺らぎによって存在し、その後、それぞれの粒子が崩壊して二つの別の粒子になったとすれば、後に四点相関が生じることになります。

しかし、望遠鏡は2点相関を非常に明確に観測できる一方、3点以上の相関はより稀で、したがって発見がより困難になると予想されます。これらの信号はこれまでノイズに埋もれていましたが、今後10年間に稼働予定の強力な望遠鏡がいくつか登場すれば、それらを検出できる可能性があります。

宇宙論の化石ハンターたちは、宇宙の地図を描き、その上を三角形のテンプレートを動かして信号を探します。テンプレートの位置と方向ごとに、3つの頂点における宇宙の密度を測定し、それらの数値を掛け合わせます。答えが平均宇宙密度の3乗と異なる場合、これは3点相関です。特定のテンプレートの3点相関の強さを空全体で測定した後、彼らは他のサイズや相対的な辺の長さの三角形テンプレート、そして四角形のテンプレートなどでこのプロセスを繰り返します。異なる形状とサイズの関数としての宇宙相関の強さの変化は「相関関数」と呼ばれ、宇宙誕生時の粒子のダイナミクスに関する豊富な情報をエンコードします。

とにかく、それがアイデアです。三点相関関数の形を近似する試みは行われましたが、指数関数的に膨張する空間を背景に、相互作用する原始粒子のダイナミクスを実際に計算するのは、想像するほど困難でした。

そして2002年、高等研究所の理論物理学者フアン・マルダセナは、インフレーションと重力子の相互作用から生じる三点相関のパターンを計算することに成功しました。マルダセナの計算は、インフレーションと重力子以外の場と関連する粒子を仮定する他のインフレーション理論の高点相関の解析にマルダセナの手法を適用した研究者たちの研究産業の幕開けとなりました。

しかし、マルダセナが原始粒子の力学を計算する力ずくの方法は、難解で概念的にも難解だった。「こう言いましょう。非常に複雑です」と、アムステルダム大学の物理学者で、今回の宇宙論的ブートストラップ論文の共著者であるギー・ピメンテル氏は述べた。

シンプルな対称性

2014年3月、BICEP2望遠鏡の科学者たちは、宇宙のインフレーション期に重力子対が刻み込んだ渦巻きを空に発見したと発表しました。この渦巻き模様は、太古の宇宙の出来事ではなく、銀河の塵に由来するものであるとすぐに判明しましたが、この騒動の過程で、アルカニ＝ハメドやマルダセナを含む多くの物理学者がインフレーションについて新たな考察を始めました。

二人の物理学者は専門知識を結集し、宇宙インフレーションを超強力な粒子加速器のように扱えることに気づいた。インフレーション場のエネルギーは大量の粒子対の生成を促進し、それらの相互作用と崩壊によって、ヨーロッパの大型ハドロン衝突型加速器（LHC）の衝突から飛び出す粒子のカスケードに似た高点相関が生み出されたはずだ。

通常、この再構成は役に立たない。粒子の相互作用は無数の方法で進行する可能性があり、最も起こり得る結果を予測するための標準的な方法（基本的に、書き出せる限り多くの可能な一連のイベントの重み付き合計を取る）は大変な作業だ。しかし、最近、素粒子物理学者たちはブートストラップを使った近道を見つけた。対称性、論理原理、無矛盾性条件を活用することで、複雑な粒子力学を検討することなく、最終的な答えを決定できることが多かった。この結果は、粒子が空間と時間の中で運動し相互作用するという、素粒子物理学の通常の描像が、実際に起こっていることの最も深い説明ではないかもしれないことを示唆していた。大きな手がかりは2013年に得られた。アルカニ＝ハメドと彼の学生ヤロスラフ・トルンカが、特定の粒子衝突の結果が、アンプリチュヘドロンと呼ばれる幾何学的形状の体積から非常に単純に導かれることを発見したのだ。

これらの発見を念頭に置いて、アルカニ＝ハメドとマルダセナは、宇宙のインフレーション中のダイナミクスをより簡単に理解できるのではないかと考えました。インフレーション宇宙論によると、指数関数的に膨張する宇宙は「ド・ジッター空間」の形状とほぼ同じであるという事実を利用しました。ド・ジッター空間は球状の空間で、10 の対称性、つまり変換しても同じままである方法があります。これらの対称性のいくつかはよく知られており、今日でも当てはまります。たとえば、どの方向にも移動または回転しても物理法則は同じです。ド・ジッター空間は膨張対称性も尊重します。つまり、ズームインまたはズームアウトしても、すべての物理量は同じか、最大で定数分だけ再スケーリングされます。最後に、ド・ジッター空間は「特別な共形変換」の下で対称です。つまり、すべての空間座標を反転してから座標を移動し、さらに再度反転しても、何も変わりません。

二人は、インフレーション宇宙のこれら10の対称性が、インフレーションが生み出す宇宙論的相関を強く制約することを発見した。通常のアプローチでは、インフレーショントンやその他の存在した可能性のある粒子の記述から始め、それらがどのように動き、相互作用し、互いに変形するかを特定し、その結果として宇宙に定着した可能性のある空間パターンを解明しようとするのに対し、アルカニ＝ハメドとマルダセナは、ド・ジッター空間の10の対称性を、最終的な答えを導く簡潔な微分方程式へと変換した。2015年の論文では、彼らは非常に狭い三角形と四辺形の「圧縮極限」においてこの方程式を解いたが、完全に解くことはできなかった。

当時ケンブリッジ大学の教授と大学院生だったダニエル・バウマンとヘイデン・リー、そしてアムステルダムのピメンテルは、アルカニ＝ハメドとマルダセナの解を、様々な原始場とそれに伴う粒子に対する3点および4点相関関数に拡張する方法をすぐに見出した。アルカニ＝ハメドは若い物理学者たちと協力関係を築き、4人は自力で数学の探求を進めていった。

彼らは、特定の4点相関関数が鍵となることを発見した。なぜなら、この関数を規定する微分方程式を解けば、他のすべての関数をブートストラップできるからだ。「彼らは基本的に、対称性は、ほんの少しの追加の条件を加えるだけで、完全な答えを導き出すのに十分強力であることを示したのです」と、ハーバード大学の宇宙学者で、高点相関に関する独自の計算がアルカニ＝ハメドとマルダセナの2015年の研究の着想のきっかけとなったシンガン・チェンは述べた。

一つの注意点は、ブートストラップ方程式は原始場間の弱い相互作用を仮定しているのに対し、インフレーションのいくつかのモデルはより強い力学を仮定している点です。アルカニ＝ハメドらは、この弱相互作用の仮定を緩和する方法を研究しています。彼らの方程式は既に、文献にある多くの既存の計算を簡素化しています。例えば、マルダセナが2002年に発表した最も単純な3点相関関数の計算は数十ページにも及びましたが、「数行にまで縮まりました」とピメンテル氏は述べています。

これまでの計算は、宇宙のインフレーションから生じる可能性のある空間パターンに関するものでした。宇宙誕生に関する代替理論は、異なる高次点のシグネチャーを持つことが予想されます。過去5年間、ビッグバンを以前の時代からのビッグバウンスとして捉え直すバウンス宇宙論への関心が再び高まっています。対称性に基づくこの新しいアプローチは、インフレーションを起こした宇宙とバウンスを起こした宇宙の高次点の相関関係を区別するのに役立つ可能性があります。「メカニズムも対称性も異なるでしょう」とピメンテル氏は述べました。「両者は異なる宇宙論的相関関係を持つでしょう。」

これらは、新たな数学ツールを用いて追求すべき追加的な計算です。しかし、研究者たちは数学そのものの探求も続けています。アルカニ＝ハメド氏は、彼と共同研究者が導き出したブートストラップ方程式が、アンプリチュヘドロンに似た幾何学的物体と関連しているのではないかと考えており、この物体は宇宙の誕生時に生じた相関関係をより単純かつエレガントに表現しています。既に明らかなのは、この新しいバージョンの話には時間という変数が含まれないことです。

時間はどこから来るのか

アンプリチュヘドロンは、衝突する粒子（一見すると時間的な事象）を、時間を超えた幾何学の観点から再概念化した。2013年にこれが発見されたとき、多くの物理学者は、時間は創発的であると考える新たな根拠を見出した。時間とは、私たちが知覚し、粗粒度の自然記述に現れる変数だが、現実の究極的な法則には書き込まれていない。

その予感の理由のリストの一番上にあるのはビッグバンです。

ビッグバンは、私たちが知っている時間という概念が誕生した瞬間です。その最初の瞬間を真に理解するには、時間を超えた視点が必要と思われます。「時間という概念に代わる何かを考え出す必要があるとすれば、それは宇宙論に関するこうした疑問です」とアルカニ＝ハメド氏は言います。

そのため、物理学者たちは、時間とともに進化する宇宙のように見えるものを生み出す、時間を超えた数学を探求しています。最近の研究は、それがどのように機能するかを垣間見せています。

物理学者は、ド・ジッター空間の10個の対称性から出発します。インフレーションの構成要素の任意の組み合わせに対して、これらの対称性から微分方程式が得られます。この方程式の解は相関関数です。相関関数とは、特定の形状における相関の強さが、大きさ、内角、および相対的な辺の長さの関数としてどのように変化するかを示す数式です。重要なのは、これらの式を得るために方程式を解くには、方程式の特異点、つまりゼロ除算に相当する、数学的に無意味な変数の組み合わせを考慮する必要があることです。

この方程式は、例えば四辺形の隣接する2辺が互いに折り重なり、四辺形が三角形に近づく極限では、典型的には特異になる。しかし、この方程式の解として三角形（つまり、3点相関）も許される。そこで研究者たちは、4点相関関数の「折り重なった極限」が、その極限における3点相関関数と一致することを要求している。この要求により、正しい4点相関関数として特定の解が選ばれる。この関数はたまたま振動する。実際には、これは宇宙論者が四辺形のテンプレートを空にかざして4隅の物質余剰を探し、次に徐々に狭くなっていく四辺形のテンプレートで同じことを行うと、検出された4点信号の強度が上下することがわかるはずである。

この振動には時間的な解釈がある。インフレーション場の中で発生した粒子対が互いに干渉し合ったのだ。その過程で、それらの崩壊確率は、それらの間の時間（ひいては距離）の関数として変化した。その結果、空には四点相関の振動パターンが刻み込まれた。「振動は時間の発展と同義なので、私にとってこれは時間の出現を最も明確に示す例でした」と、現在アムステルダム大学教授を務めるバウマン氏は述べた。

この例や他の多くの例では、時間の進化は対称性と特異点から直接生じるように見えます。

しかし現状では、ブートストラップ方程式は数学と物理学の奇妙な融合のままである。方程式の辺の長さは、例えば運動量という物理量の単位を持ち、相関関数は異なる場所にある物理量を関連付ける。アルカニ＝ハメドは、この数学をより単純で純粋に幾何学的な定式化を模索しており、もしそれが見つかれば、時間の発生とその根底にある原理について更なる洞察が得られる可能性がある。例えば、アンプリチュヘドロンによって記述される粒子相互作用の場合、アンプリチュヘドロンの内部体積を定義する正値性と呼ばれる原理によって、理にかなった結果が保証される。正値は宇宙論においても役割を果たす可能性がある。

もう一つの目標は、宇宙の始まりから終わりまでの物語を拡張することです。興味深いことに、現在の傾向が続けば、宇宙は最終的に10個のド・ジッター対称性が回復する状態に到達するでしょう。この回復は、今から数兆年後、最小の粒子に至るまであらゆる物体が膨張し、他のあらゆる物体との因果関係がなくなる頃に起こるかもしれません。その結果、宇宙は空虚と同義となり、並進、回転、膨張、そして特殊な共形変換に対して完全に対称になります。この可能性のあるド・ジッター終末状態が、インフレーションによって想定されるド・ジッター的な始まりとどのような関係があるのかは、まだ解明されていません。

インフレーション宇宙は、ド・ジッター空間の幾何学的形状とほぼ一致するものの、完全に一致するわけではないことを思い出してください。完全なド・ジッター空間では、時間的に何も変化しません。外側に伸びる幾何学的形状全体が同時に存在します。インフレーション場は、時間の経過とともにエネルギーをゆっくりと低下させることで、この時間的対称性を弱く破り、変化を引き起こしました。バウマンは、これが宇宙論の創造に必要だと考えています。「宇宙論では、定義上、時間とともに進化するものを求めます」と彼は言います。「ド・ジッター空間には進化はありません。私たちがその点に非常に近いところに住んでいるのは興味深いことです。」彼は原始宇宙を、相転移を起こす臨界点に非常に近い水や磁石のような系に例えました。「私たちは非常に特別な場所に住んでいるのです」と彼は言いました。

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。

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