現代代数学の礎となった4次元数

時計の短針を3時から正午まで巻き戻すことを想像してみてください。数学者は昔から、この回転を単純な掛け算で記述する方法を知っていました。つまり、平面上の短針の初期位置を表す数に別の定数を掛けるのです。しかし、空間における回転を記述するのに同様のトリックは可能でしょうか？常識的には可能でしょう。しかし、19世紀で最も多作な数学者の一人であるウィリアム・ハミルトンは、3次元における回転を記述するための数学的方法を見つけるために10年以上も苦心しました。この思いがけない解決策は、標準的な算術に非常によく似た4つの記数法のうち3番目の記数法に彼を導き、現代代数学の隆盛を促しました。

クアンタマガジン

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。

実数は、そのような数体系の最初のものです。最小から最大の順に並べられる数の列である実数には、-3.7、5の平方根、42など、学校で習うおなじみの文字がすべて含まれます。ルネッサンス時代の代数学者は、特定の方程式を解くには実数直線上のどこにも当てはまらない新しい数 i が必要であることに気付き、加算、減算、乗算、除算が可能な2番目の数体系に偶然出会いました。彼らはその直線から抜け出し、「複素平面」へと最初の一歩を踏み出しました。そこでは、誤解を招きやすい「虚数」という名前が付けられた数が、バトルシップゲームで大文字と数字が組み合わさるように、実数と組み合わされます。この平面の世界では、「複素数」は、加算と減算でスライドさせたり、乗算と除算で回転したり伸ばしたりできる矢印を表します。

アイルランドの数学者で、古典力学と量子力学における「ハミルトニアン」作用素の名を冠したハミルトンは、虚数j軸を追加することで複素平面から抜け出そうとした。これは、ミルトン・ブラッドリーが「戦艦」を小文字の列で「戦闘潜水艦」に変えたようなものだ。しかし、3次元にはハミルトンが思いつく限りのあらゆる体系を破綻させる何かがあった。「彼は何百万通りもの方法を試したに違いないが、どれもうまくいかなかった」と、カリフォルニア大学リバーサイド校の数学者ジョン・バエズは言う。問題は乗算だった。複素平面では、乗算は回転を生み出す。ハミルトンが3次元での乗算をいかに定義しようと試みたとしても、常に意味のある答えを返す、それと正反対の除算を見つけることはできなかった。

3次元回転がなぜそれほど難しいのかを理解するには、ハンドルを回すのと地球儀を回すのを比べてみてください。ハンドル上のすべての点は同じように動くため、同じ（複素）数が掛け合わされます。しかし、地球儀上の点は赤道付近で最も速く動き、北または南に移動すると遅くなります。重要なのは、極は全く変化しないということです。もし3次元回転が2次元回転のように機能するなら、すべての点が動くはずだとバエズ氏は説明しました。

1843年10月16日、ついにその答えを思いついたハミルトンが、ダブリンのブルーム橋に彫った有名な数字で知られる解決策は、地球儀を、回転が2次元のように振る舞う、より広い空間に配置することだった。2つではなく3つの虚軸i、j、kと実数直線aを使って、ハミルトンは4次元空間の矢印のような新しい数を定義できた。彼はそれを「四元数」と名付けた。日暮れまでに、ハミルトンは3次元の矢印を回転させる方式をすでに描き出していた。彼は、これらは実数部aを0に設定し、虚数成分i、j、kだけを保持することによって作成された簡略化された四元数として考えることができることを示した。ハミルトンは、この3つに対して「ベクトル」という言葉を発明した。3次元ベクトルを回転させるということは、回転の方向と度合いに関する情報を含む完全な4次元四元数のペアをベクトルに掛け合わせることを意味した。四元数の乗算の実際の動作を確認するには、人気の数学アニメーター 3Blue1Brown が新しく公開した以下のビデオをご覧ください。

実数や複素数でできることはすべて、四元数でもできますが、1つの大きな違いがあります。2 × 3 と 3 × 2 はどちらも 6 になりますが、四元数の乗算では順序が重要です。これは日常の物体が回転する方法を反映しているにもかかわらず、数学者はこれまで数値でこのような動作に遭遇したことがありませんでした。たとえば、携帯電話を平らな面に表向きに置きます。左に 90 度回転させてから、手前側に回します。カメラがどの方向を向いているか注意してください。元の位置に戻り、最初に手前側に回し、次に左に回します。カメラが右を向いているのがわかりますか? 最初は驚くようなこの非可換性と呼ばれる特性は、四元数が現実と共有している特徴であることが判明しました。

しかし、この新しい数体系にもバグが潜んでいました。電話や矢印は360度回転しますが、この360度回転を表す四元数は、四次元空間では上方向に180度しか回転しません。電話や矢印を2回転させて初めて、対応する四元数が元の状態に戻ります。（虚数は-1に2乗されるため、1回転で停止すると四元数は反転したままになります。）この仕組みを少し直感的に理解するために、上の回転する立方体を見てください。1回転でベルトがねじれ、2回転目でベルトが元に戻ります。四元数も似たような挙動を示します。

逆さまの矢印は誤った負の符号を生み出し、物理学に大混乱をもたらす可能性があるため、ハミルトンの橋の破壊行為から約 40 年後、物理学者らは四元数システムが標準化されるのを阻止するために互いに戦争を始めた。敵意が爆発したのは、イェール大学のジョサイヤ・ギブス教授が現代のベクトルを定義したときだった。4 次元目はまったく面倒すぎると判断したギブスは、項を完全に切り落とすことでハミルトンの創作の首をはねた。ギブスの四元数スピンオフは i、j、k の表記法を維持したが、四元数の乗算という扱いにくい規則を、今日すべての数学および物理学の学部生が学ぶベクトルの乗算、つまりドット積とクロス積の別々の演算に分割した。ハミルトンの信奉者たちはこの新しいシステムを「怪物」と呼び、ベクトルの支持者たちは四元数を「厄介な」そして「純粋な悪」と蔑んだ。何年もの間、雑誌やパンフレットの紙面で激しい議論が繰り広げられましたが、最終的には使いやすさが勝利につながりました。

四元数は、1920年代に量子力学がその真の正体を明らかにするまで、ベクトルの影に隠れていました。光子やその他の力の粒子は通常360度回転すれば十分ですが、電子やその他の物質粒子は元の状態に戻るのに2回転かかります。ハミルトンの数体系は、当時まだ発見されていなかったこれらの実体（現在では「スピノル」として知られています）をずっと記述してきたのです。

それでも、物理学者たちは日常の計算に四元数を採用することはありませんでした。スピノルを扱うための代替手法が行列に基づいて発見されたからです。四元数が復活したのは、ここ数十年になってからです。コンピュータグラフィックスにおいて回転計算の効率的なツールとして採用されているだけでなく、四元数は高次元曲面の幾何学でも生き続けています。特に、超ケーラー多様体と呼ばれる曲面は、ベクトル群とスピノル群の間を相互に変換できるという興味深い特徴を持ち、ベクトル代数という対立の両陣営を結びつけています。ベクトルは力の粒子を記述し、スピノルは物質の粒子を記述するため、この特性は、物質と力の間の対称性、いわゆる超対称性が自然界に存在するかどうか疑問に思う物理学者たちにとって極めて興味深いものです。（しかし、もし存在するとしたら、私たちの宇宙ではその対称性が大きく破れている必要があるでしょう。）

一方、数学者にとって、四元数はその輝きを失わなかった。「ハミルトンが四元数を発明するや否や、誰もが独自の数体系を作ろうと決意した」とバエズは言う。「ほとんどは全く役に立たなかったが、最終的には…現代代数学と呼ばれるものへとつながったのだ。」今日、抽象代数学者は、あらゆる次元数や様々な特異な性質を持つ、実に多様な数体系を研究している。それほど役に立たないとは言えない構成の一つが、四元数の発見直後にハミルトンの友人ジョン・グレイブスによって発見された、乗算の類似とそれに伴う除算を可能にする4番目で最後の数体系である。一部の物理学者は、この特異な8次元の「八元数」が基礎物理学において深い役割を果たすのではないかと考えている。

「四元数に基づく幾何学についてはまだ発見すべきことがたくさんあると思う」とオックスフォード大学の幾何学者ナイジェル・ヒッチン氏は言う。「しかし、新しい領域を求めるなら、それは八元数だ。」

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