象と一緒に月まで飛んでいって！

インターネットには奇妙で素晴らしいものがたくさんあります。最近、サターンVロケットの打ち上げシーンを描いたアニメーションを見つけました。ただし、少し手を加えられています。ロケットの燃料を底から噴射する代わりに、ゾウを発射するアニメーションです。

なぜ？と疑問に思うかもしれません。サターンV自体がまさに怪物だったのです。1960年代から1970年代にかけてアポロ計画の主力ロケットとして、数々の有名な月面探査ミッションを打ち上げたロケットです。離陸には膨大な量の燃料が必要でしたが、この動画では、サターンVがどれほど速く燃料を消費したかを、分かりやすく、直感的に、そして驚くほど速く示しています。ぜひご覧ください！

（念のため言っておきますが、これは概念上の象であり、実在する象ではありません。「撃つ」と「象」という言葉が同じ文中に出てくるのは誰も望んでいません。私は、同等の質量を持つ大きなグミの象を想像しています。）

ちょっとした楽しみとして、このクリップで燃料消費率が正確かどうかファクトチェックしてみましょう。確かに、これは技術的にはロケット科学ですが、良い意味でのロケット科学です。

ロケットはどのように機能するのでしょうか?

ロケットは後端から物体を発射することで動きます。これには多くの複雑な物理学が関わっていますが、基本的には運動量の変化に帰着します。運動量は質量と速度の積として定義されます。

まずは、ロケット史上最もシンプルなロケットから見ていきましょう。低摩擦のカートの上にボールランチャーが搭載されています。後ろからボールが発射されると何が起こるか見てみましょう。

発射前、金属球は静止しており、運動量はゼロでした。発射後は、ゼロではない運動量を持つようになりました。運動量原理によれば、物体の運動量の変化は、その物体に力が作用していることを意味します。

この力をF _c-bと名付けました。下付き文字はカートがボールに及ぼす力を表します。これは、単位時間 ( t ) あたりのボールの運動量 ( p b ) の変化 ( Δ ) を示しています。

さて、これがロケットの秘密です。力は常に対になって作用するのです！物体を押すと、同じ力で押し返されます。私たちの場合、カートがボールに力をかけると、ボールはカートに同じ力で反対向きの力をかけます。この反対向きの力は「推力」と呼ばれます。つまり、カートの運動量も変化し、反対方向に押されるのです。

ボール1個では効果はそれほど大きくないのは分かっています。でも、カートがボールを発射し続ければ、かなりの推進力を得ることができます。どれくらいになるでしょうか？ ええと、推進力は発射するボール（あるいはその他の物体）の運動量の変化率に依存します。

では、上の式で、運動量 = 質量 × 速度であることを思い出し、上の式にあるΔp _{b を}Δ ( mv _b ) に置き換えてみましょう。すると、発射するボールの質量と速度に基づく推力（下の式、第2項を参照）の式が得られます。

では、整理してみましょう。通常は、時間増分（Δt）を速度の変化とグループ化します。これは加速度を与えるためです。しかし、質量の変化とグループ化することもできます。Δm / Δt （上記の3番目の項）。これで、有効推力を質量減少率 （r _m）の関数として表すことができます。

ここで重要な値が2つあります。1つはボールの速度（ v _b）、もう1つはボールが発射される速度（r _m）で、単位はキログラム/秒です。ボールの重さがわかれば、1秒あたりのボール数に簡単に換算できます。したがって、推力を高めたい場合、(1) 各ボールをより高速で発射するか、(2) 発射速度（つまり1秒あたりのボール数を増やす）を上げるかのいずれかを選択できます。

ああ、確かに、もっと複雑になることもあります。例えば、ロケットから物を発射すると、ロケットの質量は減少します。でも、ここでは単純に考えましょう。

サターンVスラスト

さて、これまで学んだことを踏まえて、サターンV型ロケットに戻りましょう。このロケットの最大の目的は、地面から離陸し、上昇するにつれて加速するのに十分な推力を生み出すことです。この便利なWikipediaのページによると、サターンV型ロケットは3510万ニュートンの推力を生み出しました。

それはとてつもなく大きいですね。ちなみに、ボーイング737のジェットエンジンの最大離陸推力は約12万ニュートンです。これだけの力を出すには、300個近くのエンジンを一気に噴射し、ペダルを全開にしなければなりません。私の小さなカートでこれに匹敵するには、毎秒8億発以上のボールを発射しなければなりません。

推力はポンド単位でも表すことができます。3510万ニュートンは約790万ポンドの力に換算されます。これは偶然ではありませんが、満載のロケットの重量650万ポンドをやや上回ります。「より大きく」なるため、ロケットは上向きに加速することができます。

これで燃料消費率を推定できます。上記リンク先のページには、第一段の総燃料量が216万キログラム、燃焼時間が168秒と記載されています。つまり、平均質量率は毎秒12,900キログラムとなります。

もうすぐ終わりです！あとはキログラムからゾウへの換算だけです。これには便利な裏技があり、ほとんどの状況で使えます。

一般的に、数値の単位を変更するには、1に相当する分数を掛けます。例えば、雄象の質量が6トン、つまり5,000kgだとします。質量燃料の減少率に、分数（象1頭）/（5,000kg）を掛けると、以下のようになります。

以下の式の単位だけを見ると、上と下の「kg」を消して、1秒あたり12,900/5,000頭の象、つまり次の式が得られることがわかります。

それだけではありません。これらの象を射出する速度も計算できます。推力と質量率（kg/s）を用いると、象の射出速度は毎秒2,721メートル、つまり時速約6,000マイルとなります。

ビデオ分析

では、映像を確認してみましょう！お気に入りの動画解析ソフトウェア「Tracker」を使って、アニメーションの質量率と射出速度を推定できます。質量率については、0.3秒間に約6頭、つまり1秒あたり20頭の象を数えました。うーん…これは私が計算した1秒あたり2.58頭よりずっと高いですね。このアニメーションの制作者はもっと小さな象を使っているに違いありません。あるいは、私が数え間違えたのかもしれません。（弾道象を数えるのは簡単ではありません。）

ゾウの速度はどうでしょうか？こちらは、放り出されたゾウのうち1頭の垂直位置をプロットしたものです。これは垂直位置と時間の関係を表しているので、この直線の傾きが垂直速度（つまり放り出された速度）となります。

近似直線の傾き係数はAです。ご覧の通り、約72m/sです。おっと…これでは全然速すぎませんね。射出速度は2,721m/sと推定していたことを思い出してください。つまり、もし本当に象ロケットを作ったとしても、こんなに絵になることはないということです。象たちがすっと通り過ぎていく姿は、ただの灰色のぼんやりとしたものになってしまいます。

ボーナス問題：ロケットの速度が上がると、ゾウの速度（地上に対する相対速度）はどのように変化すると思いますか？難しいですね。わかりましたか？ 答え：地球から加速しながら飛んでいくロケットから一定速度でゾウが発射された場合、地上に対するゾウの速度は低下します。

結局のところ、これはサターンVロケットが燃料をどれだけ速く消費するかを示すクールなアニメーションです。このようなものを作る方法を学ぶのは楽しいです。しかし、実際の偽象ロケットが生み出す巨大な推力のリアルな描写ではありません。

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