なぜ地球には小さな衛星が沢山ないのか？

太陽を周回する天体が地球に接近し、捕獲されて巨大な月と共に地球を周回するようになる可能性が、地球に新たな一時的な「ミニムーン」をまもなくもたらす可能性があります。このミニムーン（正式には「2020 SO」）は小惑星かもしれませんし、1960年代のロケットブースターかもしれません。いずれにせよ、2020年10月15日頃には地球の軌道に入ると思われます。

この小さな月の運動には多くの要素が絡み合っています。もちろん地球と月の両方に重力的な相互作用がありますが、太陽とも相互作用しています。それだけでなく、地球と月は太陽の周りをほぼ円軌道で公転しながら加速しています。では、もっと単純なものから始めましょう。地球、月、そして小さな月だけを考えてみましょう。この3つの物体の運動をモデル化することはできるでしょうか？答えは「はい」です。また、物体が地球-月系に閉じ込められるのは非常に簡単なのでしょうか？調べてみましょう。

地球、月、ミニムーンが次の位置にあると想像してください。

この図はひどいですね。かなりリアルに描かれているからこそ、こんなにも見苦しいのです。確かに月は地球からとても遠く、とても見えにくいのです。それに、小さな月をかなり大きく描きすぎてしまいましたが、そうしないと月が見えません。多くの教科書が地球と月の系を正しい縮尺で示さないのは、このためです。太陽を含めようとすると、さらに状況は悪化します。太陽はさらに遠くにあるので、月と地球の大きさはまるで小さな目に見えない蟻のようです。そこで、この系を正しい縮尺（小さな月を除く）で示したので、もっと分かりやすい図にしてみようと思います。

はい、この図には他にもたくさんのことが描かれていますので、何が起こっているのか説明しましょう。これらの矢印についてはどうでしょうか？これは、3つの天体（地球、月、ミニムーン）間の重力相互作用を表しています。「質量」と呼ばれる性質（ほとんどすべてのもの）を持つ2つの物体がある場合、必ずこれら2つの物体を引き寄せる引力が発生します。この力の大きさは、2つの物体の質量の積に比例し、2つの物体間の距離の2乗に反比例します。この関係を言葉で説明するのは面倒なので、次の式で説明することもできます。

この式で、Gは万有引力定数（値は 6.67 x 10 ^-7 Nm ² 2/kg ²）、M _EとM _mは地球と月の質量、r は地球の中心から月の中心までの距離です。ただし、これらの物体と力に関して注目すべき非常に重要な点が 2 つあります。まず、力は対になって作用します。月が地球を引っ張る場合（F _{m-E と}表記）、地球は同じ大きさの力で月を引っ張ります（F _E-mと表記）。次に、各物体には 2 つの重力が作用します。全体の力は、これら 2 つの力のベクトル和（正味の力と呼ばれる）になります。

しかし、これらの正味の力は物体にどのような影響を与えるのでしょうか？物体に働く正味の力は、その物体の運動量を変化させます。ここで、運動量とは物体の質量と速度の積です。そうです、運動量を表す記号としてpを使います。これは私たちがいつも使っている記号です（mは既に質量を表しているので使えません）。

これを正味の力と組み合わせると、運動量原理が得られます。これは物理学において非常に重要な概念です。

つまり、この問題をミニムーンの運動について解くことができそうです。力を計算し、それを使って運動量の変化を求め、その運動量（と速度）を使ってミニムーンの新しい位置を見つければいいのです。確かにこれはうまくいくでしょう。しかし、ミニムーンの位置を表す単一の方程式を得ることは実際には不可能です。難しいのは、ミニムーンが地球と月の両方を引っ張っていることです。つまり、それぞれの運動量も変化します。3つの物体はすべて相互作用しており、何らかの近似（例えば、地球にかかる力は無視できるほど小さいと判断するなど）をしない限り、この問題は解けません。

この問題は実はとても有名なので、名前が付けられています。三体問題と呼ばれ、解くことができます。皆さんの考えはわかります。解けないと言っただけですよね？いいえ。3 つの物体の運動方程式を導くことはできないと言いました。しかし、特定の時間における物体の位置を見つけることはできます。これらの物体がどのように動くかを調べる方法は、数値計算です。数値計算では、問題は多数の短い時間間隔に分割されます。各時間間隔では、重力は一定であると仮定できます (実際には一定ではありませんが)。力が一定であれば、時間間隔の終了時に物体がどこにあるのかを調べるのはかなり簡単です。次に、次の時間間隔に移るとき、新しい力 (物体はすべて移動したため) を見つけて、それが再び一定であると仮定します。

一見、余分な手間をかけずに解が得られるように見えるかもしれませんが、この方法には代償が伴います。動きを1秒間隔に分割し、100秒後に物体がどこにあるかを調べたい場合、これらの計算をすべて100回行う必要があります。つまり、運動方程式を求めるという不可能な問題ではなく、多くの簡単な問題が求められることになります。しかし、少なくとも実現可能です。

個人的には、この3つの物体の運動について延々と計算するのはやりたくありません。しかし、コンピューターに任せるのは構いません。実際、この種の計算を手作業で行う人はもういません。多くの人はこれを計算物理学的ソリューションと呼ぶかもしれません。「数値計算」という名称を維持することが重要だと思います。そうすることで、コンピューターを使わなければならないと思われないようにするためです。実際、コンピューターを使う必要はありません。

結果に焦点を当てたいので、細かい説明は省きます。Pythonを使って数値計算を構築するプロセスを学びたい方は、簡単なチュートリアルを用意しましたので、ぜひご覧ください。

でもご心配なく。結果だけをお見せするわけではありません。コードを使って何が起こるかをお見せします。これは、質量中心が静止している基準系におけるミニムーンの動きです（つまり、太陽の周りの動きは無視しています）。計算をもう一度実行したい場合は、「再生」をクリックしてください。コードを見るには、「鉛筆」アイコンをクリックしてください。

ミニムーンの初期位置と速度は、2020年のSOに関するWikipediaページにあるこの素晴らしいアニメーションを参考にしました。しかし、私のバージョンのミニムーンは、実際には地球-月系に閉じ込められていないことがわかります。一時的な月ですらないのです。静止した地球を持つこの系では、閉じ込められることなどありません。すべてはエネルギーの問題です。平らな地面を転がるボールを想像してみてください。ボールは穴に向かって進んでいます（地面の窪みのようなものかもしれません）。ボールが窪みに入ると、坂を転がり落ちて速度を上げます。しかし、反対側に到達すると、坂を上りながら速度を落とします。

もしこれが完璧な地面に置かれた完璧なボールであれば、摩擦によるエネルギー損失は発生しません。つまり、ボールは穴に入った時と同じ速度で穴から出てきます。「閉じ込められる」ことはありません。これは、静止した地球の近くを小さな月が移動するのと似ていますが、実際には窪みではなく、地球と月の相互作用による重力の位置エネルギーの変化です。

では、どうすれば動いているボールをくぼみまで到達させ、そこに留まらせることができるのでしょうか？一つの答えは、くぼみを加速させることです。このくぼみがボールから離れる方向に加速すると、ボールとくぼみの相対速度は、ボールが穴から抜け出すのに十分な速度にならないほど小さくなります。そう、これはまさに地球とミニムーンが地球の近くに少なくとも一時的に閉じ込められたときに起こることです。地球は実際には静止していません。太陽の周りを公転しているため、運動方向が変わるにつれて加速しています。確かに、地球の加速は他の物体との重力相互作用に比べれば小さいように見えますが、だからこそ物体が地球の近くに閉じ込められるのは非常に難しいのです。つまり、ミニムーンが閉じ込められるには、低い相対速度で、ちょうど良い角度で接近する必要があります。しかし、私たちの太陽系は十分に古いため、この条件に当てはまる物体のほとんどは既に閉じ込められています。すべての衛星は使い果たされています ― ほとんど。

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