素粒子物理学者が2より大きい数を数えるアルゴリズム

トーマス・ゲールマン氏は、 20年前のある日、コンピューターの画面に数式の洪水が次々と流れてきたことを覚えています。

彼は、2つの粒子が衝突して3つの素粒子ジェットが噴出する確率を計算しようとしていました。これは物理学者が理論と実験結果が一致するかどうかを確認するために頻繁に行う、いわば基本的な計算です。しかし、より正確な予測にはより長い計算が必要であり、ゲールマンは壮大な計算に挑戦していました。

リチャード・ファインマンが70年以上前に考案した標準的な手法を用いて、彼は衝突する粒子が3つのジェットを発射する前に変形し相互作用する可能性のある数百通りの図を描きました。これらの事象の個々の確率を合計することで、3つのジェットが発射される全体的な確率が得られます。

しかし、ゲールマンは確率の公式の3万5000項を数えるためだけにソフトウェアを必要としていた。それを計算するには？「降伏の旗を掲げて同僚と話し合う」必要があると彼は言った。

幸運なことに、同僚の一人が、まさにこの種の式を劇的に短縮する、まだ未発表の手法を偶然知っていた。この新しい手法によって、ゲールマンは項が何千個も融合し、消えていくのを目の当たりにした。残った19個の計算可能な式の中に、彼は素粒子物理学の未来を垣間見たのだ。

今日では、ラポルタアルゴリズムとして知られるこの縮約手順は、粒子の挙動に関する正確な予測を生成するための主要なツールとなっています。「これはどこにでも存在するのです」と、コペンハーゲン大学の素粒子物理学者マット・フォン・ヒッペル氏は述べています。

このアルゴリズムは世界中に広まっているが、発明者のステファノ・ラポルタ氏は依然として無名だ。会議に出席することも滅多になく、大勢の研究者を率いることもない。「多くの人が彼が亡くなったと思い込んでいました」とフォン・ヒッペル氏は言う。しかし、ラポルタ氏はイタリアのボローニャに住み、最も関心のある計算、つまり彼の先駆的な手法を生み出した計算、つまり磁場中における電子の動きをより正確に評価することに取り組んでいる。

1、2、多数

素粒子の世界について予測を立てる上で難しいのは、無限に多くのことが起こり得るということです。ただ自分のことだけを考えていた電子でさえ、自発的に光子を放出し、再び光子を放出することがあります。そして、その光子はその間に、さらに束の間の粒子を次々と生み出すこともあります。こうしたおせっかいな存在は、電子の活動に少しずつ干渉するのです。

ファインマンの計算スキームでは、相互作用の前後に存在する粒子は漫画のスケッチの出入りする線となり、一時的に現れて消える粒子は中央でループを形成します。ファインマンはこれらの図を数式に変換する方法を考案し、ループはファインマン積分と呼ばれる加算関数になります。より起こりやすい事象は、ループの数が少ないほど起こります。しかし、物理学者は実験で検証できるような正確な予測を行う際には、より稀でループの多い可能性を考慮しなければなりません。そうすることで初めて、計算では見逃されている可能性のある新しい素粒子の微妙な兆候を見つけることができるのです。そして、ループの数が増えると、積分の数も指数関数的に増えます。

1990年代後半までに、理論家たちは1ループレベルでの予測を習得していました。これは100回のファインマン積分を必要とする場合もありました。しかし、2ループ、つまりゲールマンの計算の精度レベルになると、起こり得る事象のシーケンスの数は爆発的に増加します。四半世紀前には、2ループの計算のほとんどは考えられないほど困難でしたが、3ループや4ループとなるとなおさらでした。「素粒子理論家がループを数えるのに用いる非常に高度なカウントシステムは、『1、2、多数』です」と、ボローニャ大学の物理学者でラポルタの共同研究者でもあるエットーレ・レミディは冗談めかして言いました。

ラポルタの方法は、すぐに彼らの成績向上に役立つだろう。

ステファノ・ラポルタは、機械を使って現実世界の出来事を予測するという発想に、早くから魅了されていました。1980年代、ボローニャ大学の学生だった彼は、TI-58電卓を使って日食を予測するプログラムを独学で習得しました。また、ファインマン図にも出会い、理論家たちがファインマン図を用いて、短命粒子の渦巻きが磁場中の電子の進路を妨げる仕組み（電子の異常磁気モーメントと呼ばれる効果）を予測する方法を学びました。「まるで一目惚れでした」とラポルタは最近語っています。

イタリア軍向けのソフトウェア開発にしばらく携わった後、彼は博士号取得のためボローニャに戻り、レミディとともに、すでに何年も進行中だった電子の異常磁気モーメントの3ループ計算に取り組んだ。

物理学者たちは1980年代から、これらの計算において個々のファインマン積分を評価する代わりに、その積分に逆の数学的関数（微分）を適用することで、恒等式と呼ばれる新しい方程式を生成できることを知っていました。適切な恒等式を用いることで、項を並べ替え、いくつかの「マスター積分」に凝縮することができました。

問題は、ファインマン積分から恒等式を生成する方法が無限にあることであり、そのため、計算を崩壊させる正しい方法を探すのに一生を費やすことになるかもしれない。実際、レミディとラポルタが1996年にようやく発表した3ループ電子計算は、数十年にわたる努力の結晶であった。

ラポルタは、当初数百あった積分式が最終的にわずか18式にまで凝縮されるのを見て、ファインマンの法則の非効率性を痛感しました。そこで彼は計算をリバースエンジニアリングしました。どの導関数が最終的な積分式に寄与し、どの導関数が寄与しないかのパターンを研究することで、正しい恒等式に焦点を絞る方法を編み出しました。様々な積分式でこの戦略を検証する試行錯誤を何年も重ねた後、彼は2001年にこのアルゴリズムの解説を発表しました。

物理学者たちはすぐにこの手法を採用し、発展させてきました。例えば、SLAC国立加速器研究所の素粒子物理学者、ベルンハルト・ミストルバーガーは、大型ハドロン衝突型加速器（LHC）がヒッグス粒子をどのくらいの頻度で生成するかを決定するために、ラポルタの手法を応用しました。この問題は5億回のファインマン積分を必要としました。ミストルバーガーが独自に考案したラポルタの手法では、積分の回数を約1,000回にまで削減できました。2015年には、ミシガン州立大学のアンドレアス・フォン・マントイフェルとロバート・シャビンガーが、項の簡略化をより分かりやすくするために応用数学の手法を借用しました。彼らの手法は標準となっています。

ラポルタのアルゴリズムが多ループ素粒子物理学の世界に衝撃を与えた一方で、彼自身は電子の異常磁気モーメントの問題に取り組み続け、今回はあらゆる4ループ事象を包含する形で解決に取り組みました。10年以上の研究を経て、2017年、ラポルタは自身の最高傑作を発表しました。4ループ図が電子の磁気モーメントに1100桁の精度で寄与するというものです。この予測は最近の実験結果と一致しています。

「解放感でした」と彼は言った。「まるで肩から重荷が下りたようでした」

よりまっすぐな道

素粒子物理学者たちは、ラポルタを突き動かした疑問に今も取り組んでいる。答えが少数のマスター積分にあるのなら、なぜ彼らは大量の中間ファインマン積分を苦労して解かなければならないのか？量子の世界へのより深い理解を反映した、より直線的な道はあるのだろうか？

近年、数学者たちは、ファインマン図から得られる予測結果に、なぜか特定の種類の数値が含まれ、他の種類の数値は含まれていないことに気づいています。研究者たちは当初、このパターンを量子論の単純なモデルの出力に見出しました。しかし2018年、ラポルタのおかげで、電子の磁気モーメントの桁にも同じパターンが見られることが分かりました。この謎めいたモチーフは、研究者たちがファインマン図から直接マスター積分を得るための新たな方法を模索するきっかけとなりました。

現在、ラポルタ氏はパドヴァ大学とゆるやかな関係にあり、自身のアルゴリズムを時代遅れにしようと試みる研究者グループの一つと共同研究を行っている。彼らの研究成果が、電子の磁気モーメントの次なる近似値を計算するという現在のプロジェクトに役立つことを期待している。

「5回のループでは計算の数が膨大になります」と彼は言いました。

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。

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