奇妙な空間に隠れたフィボナッチ数列

14年前、数学者のドゥサ・マクダフとフェリックス・シュレンクは、今になってようやく開花し始めた、隠された幾何学の庭園に偶然出会いました。二人は、ある種の長方形、つまり非常に特殊な方法で圧縮したり折り畳んだりしてボールの中に詰めることができる形状に興味を持ちました。彼らは疑問に思いました。「ある形状を実現するには、ボールはどれくらいの大きさが必要なのだろうか？」

研究結果が具体化し始めると、当初は彼らは際立ったパターンの出現に気づきませんでした。しかし、彼らの研究をレビューした同僚が、有名なフィボナッチ数列に気づきました。この数列は、自然界や数学の歴史の中で幾世紀にもわたって繰り返し登場してきました。例えば、フィボナッチ数列は、古代ギリシャ時代から芸術、建築、そして自然界で研究されてきた崇高な黄金比と密接に関連しています。

コーネル大学の数学者タラ・ホルム氏は、フィボナッチ数は「数学者をいつも喜ばせる」と述べた。マクダフとシュレンクの研究にフィボナッチ数が登場したことは、「そこに何かがあるという兆候だ」と彼女は付け加えた。

彼らの画期的な成果は、この分野で最高峰の学術誌と広く考えられているAnnals of Mathematics誌に2012年に発表されました。この論文は、無限の段を持つ階段状の構造が存在することを明らかにしました。これらの「無限階段」の各段の大きさは、フィボナッチ数列の比でした。

階段を上るにつれて、段はどんどん小さくなり、階段の頂点は黄金比に押しつぶされていった。黄金比もフィボナッチ数列も、球の中に図形を収める問題とは明らかに何の関係もない。マクダフとシュレンクの研究の中にこれらの数列が潜んでいるのを見つけるのは奇妙なことだった。

そして今年初め、マクダフはこの謎を解く新たな手がかりを発見した。彼女と他の数名の研究者は、無限に続く階段だけでなく、複雑なフラクタル構造も明らかにした。ジョージア大学のマイケル・アッシャー教授は、彼らの研究結果は「この種の問題で自然に生じるとは到底予想していなかった」と述べた。

この研究により、一見無関係に見える数学の領域に隠されたパターンが明らかになった。これは、何か重要なことが起こっていることを示す確かな兆候である。

動きの形

これらの問題は、物体が形を保つユークリッド幾何学という馴染み深い世界では起こりません。むしろ、形が物理システムを表すシンプレクティック幾何学の奇妙なルールに従っています。例えば、単振り子を考えてみましょう。ある瞬間における振り子の物理的状態は、振り子の位置と速度によって定義されます。振り子の位置と速度という2つの値について、あらゆる可能性をプロットすると、無限に長い円筒の表面のようなシンプレクティック形状が得られます。

シンプレクティック形状は変更可能ですが、非常に限定された方法に限られます。最終結果は同じシステムを反映したものでなければなりません。唯一変更できるのは、測定方法だけです。これらのルールは、基礎となる物理法則を乱さないことを保証します。

マクダフとシュレンクは、シンプレクティック楕円体（細長い塊）を球の中に収めることができる条件を解明しようとしていました。埋め込み問題として知られるこの種の問題は、図形が全く曲がらないユークリッド幾何学では非常に簡単です。また、体積が変化しない限り図形を好きなだけ曲げることができる幾何学の他の分野でも、埋め込み問題は容易に解けます。

シンプレクティック幾何学はより複雑です。ここでの答えは、楕円体の「離心率」、つまり楕円体の細長さを表す数値に依存します。離心率の高い細長い形状は、蛇がとぐろを巻くように、簡単にコンパクトな形状に折りたたむことができます。離心率が低い場合、物事はそれほど単純ではありません。

マクダフとシュレンクの2012年の論文は、様々な楕円体に収まる最小の球の半径を計算した。彼らの解は、フィボナッチ数列（次の数が必ず前の2つの数の和となる数列）に基づく無限階段に似ていた。

マクダフとシュレンクが結果を発表した後、数学者たちは疑問を抱いた。「もし楕円体を球体以外のもの、例えば四次元立方体に埋め込んだらどうなるだろうか？もっと無限階段が現れるだろうか？」

フラクタルサプライズ

研究者たちがあちこちで無限階段を発見するにつれ、成果は少しずつ積み重なっていった。そして2019年、女性数学者協会はシンプレクティック幾何学に関する1週間のワークショップを開催した。このワークショップで、ホルムと共同研究者のアナ・リタ・ピレスは、マクダフとカリフォルニア大学バークレー校を卒業したばかりの博士号取得者モーガン・ワイラーを含むワーキンググループを結成した。彼らは、無限の形態を持つある種の形状に楕円体を埋め込み、最終的には無限の階段を生成できるようにすることを目指した。

グループが研究した形状を視覚化するには、シンプレクティック形状が運動する物体の系を表すことを思い出してください。物体の物理的状態は位置と速度という2つの量で表されるため、シンプレクティック形状は常に偶数個の変数で記述されます。つまり、偶数次元です。2次元形状は固定された経路に沿って移動する1つの物体を表すだけなので、4次元以上の形状は数学者にとって最も興味深いものです。

しかし、四次元形状を視覚化することは不可能であり、数学者のツールキットは著しく制限されています。部分的な解決策として、研究者は形状に関する少なくとも一部の情報を捉えた二次元図を描くことができます。これらの二次元図を作成するための規則によれば、四次元の球は直角三角形になります。

ホルムとピレスのグループが解析した形状は、ヒルツェブルッフ面と呼ばれます。それぞれのヒルツェブルッフ面は、この直角三角形の上端を切り落とすことで得られます。切り落とした量を表す数値bがあります。b が0のときは何も切り落とされていません。b が 1 のときは、三角形のほぼ全体が切り落とされています。

当初、研究グループの努力は実を結ぶ見込みは薄いと思われた。「1週間かけて取り組みましたが、何も見つかりませんでした」と、現在コーネル大学のポスドクであるワイラー氏は語る。2020年初頭になっても、研究は大して進展していなかった。マクダフ氏は、ホルム氏が論文のタイトルとして提案した「階段は見つからず」という言葉を思い出した。

しかし、研究グループは最終的に足場を固め、2020年10月に特定のbの値に対して無限階段を発見した論文を発表しました。

今年3月、マクダフ、ワイラー、そして新型コロナウイルス感染症のパンデミック中にマクダフと共同研究を始めたホルムの教え子、ニッキー・マギルは、ヒルツェブルッフ面への楕円体の埋め込みを分析するプロジェクトをほぼ完了させたプレプリントを公開した。「素晴らしいですね」とホルムは語った。「本当に美しいです」

すると、新たな驚きが浮かび上がった。無限階段が現れるbの値をすべて見てみると、また別のフラクタル構造、つまり常識を覆す特徴を持つ点の配置が得られるのだ。これはカントール集合と呼ばれ、有理数よりも多くの点を持つ。しかし、どういうわけかカントール集合の点はより広範囲に広がっている。

「彼らは階段状の対称性を持つこの美しい図を本当に作り上げたのですが、私はまだそれを完全に理解しようと努めています」とメリーランド大学の数学者ダニエル・クリストファロ＝ガーディナー氏は語った。

今回の研究では、これまでのどの研究結果よりも多くの無限階段が生成されたが、シンプレクティック埋め込みとそれに伴う階段は依然として大部分が謎のままである。ヒルツェブルッフ面は、考えられるシンプレクティック形状のごく一部に過ぎないからだ。「まだ少し森の中にいるような気がしていて、全体像が見えるような雲のレベルにはまだ達していない」とホルム氏は述べた。「きっとそこにたどり着けると思うので、ワクワクする瞬間です。」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。