そもそも角運動量とは何でしょうか?

入門物理学の最初の学期で、ほぼ必ず最後に扱われるテーマが角運動量です。最後に学ぶのがベスト、なんてことありませんか？私はこの概念を使って、ハンドスピナーから立ちバック宙、奇妙な星間小惑星の運動まで、あらゆることを説明してきました。

しかし、実際のところ、角運動量とは何でしょうか?

次のような状況から始めましょう。宇宙空間にバネでつながれた2つのボールがあると想像してください。なぜ宇宙空間に2つのボールがあるのでしょうか？私には分かりませんが、想像してみてください。

これらのボールはバネでつながっているだけでなく、赤いボールの質量は黄色いボールの3倍になっています。これはちょっとした遊びです。2つのボールは、このように互いの周りを回るように押されています。

はい、これは数値計算です。コードを見て自分で試してみたい方（ぜひ試してみてください）は、こちらをご覧ください。このような計算の作り方を詳しく知りたい方は、三体問題に関するこちらの投稿をご覧ください。

回転するバネ玉のようなものを見ると、何が保存されるのか、つまり何が変化しないのかを考えます。運動量は保存量の良い例です。運動量は次のように定義できます。

このバネとボールの系について、全運動量を時間の関数としてプロットしてみましょう。運動量はベクトルなので、運動量の1つの成分をプロットする必要があります。ここでは、面白半分にx座標を選びます。結果は次のようになります。

このグラフでは、赤い曲線は赤い（重い）ボールのX方向の運動量、青い曲線は黄色いボールの運動量です（黄色はグラフではよく見えません）。黒い線は全体の運動量です。一方の物体の運動量が増加すると、もう一方の物体の運動量が減少することに注目してください。運動量は保存されます。Y方向やZ方向でも同じことが言えますが、要点は伝わったと思います。

エネルギーはどうでしょうか？このボールとバネからなるシステムでは、2種類のエネルギーを計算できます。運動エネルギーとバネの位置エネルギーです。

運動エネルギーは物体の質量（m）と速度（v）に依存し、位置エネルギーはバネの硬さ（k）と伸び（s）に関係します。これで、この系の全エネルギーをプロットできます。エネルギーはスカラー量なので、1つの成分だけをプロットする必要はないことに注意してください。

黒い曲線は再び全エネルギーです。これは一定であることに注目してください。エネルギーは保存されます。

しかし、計算できる保存量は他にもあるのでしょうか？角速度は保存されるのでしょうか？明らかに保存されません。ボールが近づくにつれて、回転速度が速くなるように見えます。角速度を時間の関数としてプロットして、簡単に確認してみませんか？

いいえ。明らかに、これは保存されません。それぞれのボールの角速度をプロットすることはできますが、それらは同じ値になり、合計しても定数にはなりません。

わかりました。でも、保存されるかもしれない計算可能なものが他にもあります。ご想像の通り、それは角運動量です。単一粒子の角運動量は、その粒子の運動量と、ある点からのベクトル位置の両方に依存します。角運動量は次のように計算できます。

これは単純な表現のように見えますが、実際には多くの点から確認すべき点があります。まず、Lベクトルは角運動量を表します。そうです、ベクトルです。次に、rベクトルはある点から物体までの距離ベクトル、そして最後にpベクトルは運動量（質量と速度の積）を表します。では、この「X」はどうでしょうか？これは外積演算子です。外積は、2つのベクトル間の演算で、結果としてベクトルが生成されます（2つのベクトル間ではスカラー乗算は使用できないため）。

外積について数学的な説明はしたくないので、代わりに実際にお見せします。2つのベクトル（AとB）とA x B（AとBを掛け合わせた積）を表示する簡単なPythonプログラムを以下に示します。

黄色のベクトルAをクリックしてドラッグすると、A x Bの結果がどうなるか確認できます。また、「鉛筆」アイコンをクリックしてコードを確認し、「再生」をクリックして実行することもできます。AXBは常にAとBの両方に垂直であることに注目してください。つまり、これは常に3次元の問題です。また、右クリックまたはCtrlキーを押しながらクリックしてドラッグすることで、ベクトルを回転させることもできます。

これで、このボール・スプリング系の全角運動量を計算（およびプロット）できるようになりました。ただし、角運動量はベクトルなのでプロットできません。代わりに、角運動量のZ成分をプロットします。また、角運動量を計算する中心点を指定する必要があります。ここでは、ボール・スプリング系の質量中心を使用します。

このグラフには注目すべき重要な点がいくつかあります。まず、両方のボールの角運動量のZ成分は一定なので、当然、全体の角運動量も一定です。次に、角運動量のZ成分は負です。これは、角運動量ベクトルが（あなたの視点から見ると）画面の内側を向いているように見えることを意味します。

したがって、角運動量と呼ばれるこの量は確かに保存されるようです。もし必要であれば、角運動量がx方向とy方向でも保存されるかどうかを確認することもできます（実際、保存されます）。

でもちょっと待って！と言う人もいるかもしれません。もしかしたら、角運動量はボールとバネの系の質量中心を基準にして計算しているから保存されるだけなのかもしれませんね。なるほど、分かりました。この点を別の場所に移動して、運動量ベクトルが同じになるようにしてみましょう。ただし、2つのボールのrベクトルは異なるものになります。角運動量のZ成分はこうなります。

2つのボールのZ成分はそれぞれ変化しますが、全体の角運動量は一定であることがわかります。つまり、角運動量は依然として保存されます。結局のところ、角運動量は、これらのバネボールのように外部トルクが作用しない状況では保存されるものです。しかし、なぜ角運動量が必要なのでしょうか？この場合、角運動量は必要ありません。運動量の原理と力だけで物体の運動をモデル化するのは非常に簡単です（ご覧のPythonモデルもそのように作成しました）。

でも、他に何かあるでしょうか？この簡単な実験を見てください。回転する台と、モーターに取り付けられた別のディスクがあります。モーターディスクが回転し始めると何が起こるでしょうか？ぜひご覧ください。（YouTube版はこちらです。）

繰り返しますが、角運動量は保存されます。モーターディスクが一方向に回転し始めると、プラットフォームの残りの部分は反対方向に回転し、全体の角運動量は一定（この場合はゼロ）になります。このような状況では、力と運動量だけでモデル化するのは非常に困難です。もちろん可能ですが、プラットフォームとディスクの両方を、それぞれ異なる運動量ベクトルと位置ベクトルを持つ多数の小さな質量として考える必要があります。この方法では説明がほぼ不可能です。しかし、これらの剛体に角運動量を適用することで、これはそれほど難しい物理問題ではなくなります。

結局のところ、角運動量もまた計算できるものであり、非常に多くの状況で役立つことがわかります。もし、異なる状況で保存される他の量を見つけることができれば、おそらく有名になるでしょう。もしそれが嬉しいなら、その量に自分の名前を付けることもできます。