このダムは放水砲のように機能します。物理学を学んでみましょう！

2021年5月31日午前9時

フニル水力発電所は、穴の開いた巨大なバケツのように、巨大な水流を噴き出します。その速度から貯水池の深さを計算できます。

ダム（湖や川全体をせき止める巨大な壁）を建設する場合、洪水を軽減する機能として、放水路と呼ばれる越流水路を建設する必要があります。

放水路は、ダムの上から水を流すための単純な通路から、横水路のような複雑な通路まで、多岐にわたります。ダムの底（乾いた側）に大きな穴が開けられ、そこから巨大な放水砲のように水が噴き出すだけの場合もあります。ブラジルのフニル水力発電所では、まさにこの仕組みです。水が噴き出す様子を映した素敵な動画があります。まるで空中に流れる川のようです。まさに空中に流れる川なのですから。

しかし、この放水路の本当に素晴らしい物理法則は、穴から流れ出る水の速度がダム背後の水深にほぼ依存するという点です。水が管から流れ出ると、それは実質的に同じ速度で投げられたボールのように振る舞います。さて、これから何をするかはお分かりでしょう。放水路から流れ出る水の軌跡から、貯水池の水深を推定するのです。

実は、水の流れと深さの関係には名前があります。それはトリチェリの法則です。水がいっぱい入ったバケツがあり、底近くの側面に穴を開けたと想像してみてください。物理学を使えば、水が流れ出る際の速度を求めることができます。

まず、水が排水される際の非常に短い時間間隔における水位の変化を考えてみましょう。下の図をご覧ください。

バケツの上端を見ると、水位が少し下がっているのが分かります。水位がどれだけ下がるかは問題ではありません。ここで注目したいのは、この水の質量、つまり d mです。物理学では「d」は物質の量を表すために用いるので、これはほんのわずかな水の量かもしれません。バケツの上端で水位が下がっているということは、水はどこかへ行かなければならないことを意味します。この場合、水は穴から出て行きます。出て行く水の質量も d m でなければなりません。（水の量をすべて把握しておく必要があります。）

さて、これをエネルギーの観点から考えてみましょう。水は閉鎖系なので、総エネルギーは一定でなければなりません。この場合、考慮すべきエネルギーは2種類あります。まず、重力による位置エネルギー（U _g = mgy）です。これは、地球表面からの物体の高さに関連するエネルギーであり、高さ、質量、そして重力場（g = 9.8 N/kg）に依存します。2つ目のエネルギーは運動エネルギー（K = (1/2)mv ² ）です。これは、物体の質量と速度（ v ）に依存するエネルギーです。

全エネルギーは一定でなければならないため、運動エネルギーの変化と重力による位置エネルギーの変化の合計はゼロでなければなりません。バケツの上部（位置1と呼ぶ）の水は静止しており、底部（位置2）の水は流出速度vを持っています。これらをまとめると、以下の式が得られます。

これは速度の大きさに過ぎないことに注意してください。この穴がバケツの底から真下を向いているか、側面から水平に伸びているかは実際には関係ありません。水の速度は同じです。しかし、穴が側面にあると仮定すると、水は地面と平行に噴出します。穴から地面までの距離がy ₀だとすると、水流は地面に着地した時、穴からどれくらい離れた地点に着地するでしょうか？

これは水の流れですが、それぞれの分子を、下向きの重力だけが作用する個々の粒子のように扱うことができます。そう、これは典型的な投射運動の問題です。

ここでの鍵となる考え方は、水平方向と垂直方向の動きを2つの別々の問題に分離できるということです。つまり、垂直方向では、水は水平方向に発射されたため、初期の垂直速度は0メートル/秒（m/s）で、一滴の水滴が真下に落ちるのと同じです。この垂直方向の動きを利用して、水が地面に落ちるまでの時間を測定できます。水平方向では、水滴は穴から発射されたのと同じ速度で一定の速度で動いているだけです。垂直方向の動きから得られる時間を用いて、水がどれだけの距離を移動したかを計算できます。

ここで、xは容器から水が噴出した地点から地面に沿った距離です。水の速度を表す式を用いると、容器内の水の高さと水が噴出した距離の間に次の関係が得られます。

よし、これはすごい。まず、この式には重力場（g）がないことに注目してほしい。重力場は打ち消されるのだ。つまり、もしあなたが同じ水漏れ実験を火星で行えば、あなたは人類史上初めて別の惑星に到達した宇宙飛行士になれるということだ。あ、あと、火星の重力場は地球より弱いにもかかわらず、水は地球と同じ距離を移動する。（ただし、水が先に凍らないという前提での話だ。）

もう1つ面白いのは、水が移動する距離は容器内の水の量によって変化するということです。ただし、これは線形関係ではありません。（y _{0 は}地面から穴までの一定距離であることを覚えておいてください。）

さあ、実際に試してみましょう。縦に伸びたチューブに水を少し入れて、横から噴出させてみます。こんな感じです。

先を見据えて、そこに定規を置いておきました。これで、チューブ内の水の高さと、噴出した水の移動距離の両方を測ることができます。そうすれば、その式が実際に成り立つかどうか確認できます。この画像から得られたデータは次のとおりです。

チューブ内の水の高さ（h = 0.477メートル）。
地面からの水穴の高さ（y ₀ = 0.334 m）。
水が移動する水平距離（x = 0.421 m）。

hとy ₀の値を用いると、理論上の距離は0.798メートルとなります。これは明らかに、実測距離の0.421メートルとは一致しません。しかし、心配しないでください。トリチェリの法則はこの差異をうまく処理します。開口部から流出する実際の水流速度は、理論上の速度（私が計算した値）に「流出係数」（μ）を掛けた値になります。この係数は、水の流れを遅くする穴の特性を考慮しています。きれいな円形の穴であれば係数は1.0に近くなりますが、曲がった形状の出口では流出する水流が遅くなります。私が測定した水平距離を用いると、実際の水流速度は1.61 m/s、理論上の速度（水位に基づく）は3.06 m/sとなります。つまり、係数は0.53となります。よし、これで良いでしょう。

さて、フニル水力発電所の放水路から噴き出す大量の水はどうでしょうか？この水は水平方向には噴き出しませんが、大まかに測ると、水平面から約27度の「発射」角度になります。正確な飛距離を測るのは難しいですが、水平方向に50フィート（約15メートル）ほどだと思います。この距離と角度から、発射物の射程距離は次の式で求められます。

これを用いてvについて解くと、水速は13.5 m/sとなります（ちなみに、これは時速30マイルです）。実験と同様の流量係数（0.5と仮定）を仮定すると、理論上の水速は27 m/sとなります。この速度から、ダム背後の水深を計算できます。水深は37メートル（121フィート）となります。

ああ、見て。Wikipediaではダムの高さは39メートルとされている。これは私の計算値とかなり近い。でも、なぜ違うのだろう？理由はいくつかある。まず、流量係数は推定値なので、別の値になっている可能性もある。次に、ダムの背後にある湖は、ダム壁の頂上まで達していない可能性が高い。そして最後に、放水路の穴は湖底より少し高い位置にあるだろう。いずれにせよ、物理法則は依然として成立しているはずだ。

WIREDのその他の素晴らしい記事