フェルマーの最終定理を超える新たな数学の架け橋

1990年代初頭、アンドリュー・ワイルズがフェルマーの最終定理を証明したとき、その証明は数学者だけでなく人類全体にとって画期的な前進だと歓迎された。定理は単純そのものであり、nが2より大きいとき、 x ⁿ + y ⁿ = z ⁿには正の整数解が存在しないと仮定している。しかし、この単純な主張は、フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーが1637年にディオファントスの『算術』の余白に書き留めて以来、350年以上にわたって多くの証明者志望者を魅了してきた。フェルマーは、「この余白には収まりきらないほど素晴らしい証明を発見した」と悪名高く記している。何世紀にもわたり、プロの数学者やアマチュアの愛好家がフェルマーの証明、あるいはあらゆる証明を探し求めてきた。

ワイルズが最終的に（リチャード・テイラーの助けを借りて）導き出した証明は、フェルマーが決して思いつかなかったものだった。それは、数学者たちが数学界においていわば二つの遠く離れた大陸の間に存在するはずと推測していた巨大な橋を用いて、間接的に定理に挑んだものだった。ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明は、二つの大陸にあるたった二つの小さな土地の間にこの橋を架けることに尽きる。深遠な新しいアイデアに満ちたこの証明は、この橋の両側に関する更なる結果を次々と生み出した。

この観点から見ると、ワイルズの驚異的な証明は、はるかに大きなパズルのほんの一片を解いただけに過ぎない。彼の証明は「20世紀数学における最高の成果の一つ」だと、インペリアル・カレッジ・ロンドンのトビー・ギーは述べた。しかし、「それはまだ、ラングランズ対応として知られる予想された橋のほんの一角に過ぎなかった」。

橋が完成すれば、数学者たちは概念を橋の向こう側へ運ぶことで、数学の広大な領域を解明できるという希望を持つだろう。フェルマーの最終定理をはじめ、多くの問題は橋の片側では難解に見えても、反対側に移るとより簡単な問題へと様変わりする。

ワイルズが証明を導き出した後、他の数学者たちは彼の橋を二大陸のより広い範囲にまで熱心に拡張しようと試みました。しかし、彼らは壁に突き当たりました。橋をさらに拡張するには二つの自然な方向性がありましたが、どちらの場合もテイラー＝ワイルズの方法は乗り越えられない障壁に直面しました。

「人々は長い間、これをやりたいと思っていました」と、インペリアル・カレッジ・ロンドンのアナ・カライアーニ氏は語った。「しかし、私たちはそれが可能だとはほとんど思っていませんでした。」

現在、12人以上の数学者の努力の集大成となる2つの論文がこの障壁を克服し、実質的に両方の問題を解決しました。最終的には、これらの発見は、正の整数以外の数体系におけるフェルマーの最終定理の証明に数学者が役立つ可能性があります。

シカゴ大学のマシュー・エマートン氏は、これらは「極めて重要な成果」だと述べた。「数論に関する基本的な現象がいくつか明らかになりつつあり、私たちはそれが何なのかを理解し始めたばかりです。」

真空中の針

ラングランズ橋の片側は、記述できる最も単純な方程式、すなわち「ディオファントス方程式」に焦点を当てています。これは、y = x ² + 6x + 8 や x ³ + y ³ = z ³といった変数、指数、係数の組み合わせです。数千年にわたり、数学者たちは与えられたディオファントス方程式を満たす整数の組み合わせを解明しようと試みてきました。彼らの主な動機は、この問題がいかに単純で自然であるかということですが、彼らの研究の一部は近年、暗号学などの分野で予期せぬ応用につながっています。

古代ギリシャの時代から、数学者は変数が2つだけで指数が2を超えないディオファントス方程式の整数解を求める方法を知っていました。しかし、楕円曲線をはじめとする指数が大きい方程式では、整数解を求めるのは決して簡単ではありません。楕円曲線は、左辺にy ^{2があり、右辺にx 3} + 4x + 7のように最大指数が3である項の組み合わせを持つ方程式です。ジー氏によると、これらは指数が小さい方程式よりも「はるかに難しい問題」です。

橋の向こう側には、保型形式と呼ばれる生きた物体が存在し、これは特定のタイリングの高度に対称的な彩色に似ています。ワイルズが研究した事例では、タイリングは、境界に近づくにつれて小さくなる魚や天使、悪魔を描いたM.C.エッシャーの有名なモザイク模様のような円盤状のものかもしれません。より広いラングランズ宇宙では、タイリングは三次元の球体やその他の高次元空間を埋め尽くすかもしれません。

これら2種類の数学的対象は全く異なる性質を持っています。しかし、20世紀半ばになると、数学者たちは両者の間に深い関係性を発見し始め、1970年代初頭には、高等研究所のロバート・ラングランズが、ディオファントス方程式と保型形式が非常に特定の方法で一致すると予想しました。

つまり、ディオファントス方程式と保型形式の両方において、無限の数列を生成する自然な方法が存在するということです。ディオファントス方程式の場合、それぞれの時計式算術体系（例えば、通常の12時間制では10 + 4 = 2）において、方程式がいくつの解を持つかを数えることができます。また、ラングランズ対応に現れるような保型形式の場合、量子エネルギー準位に類似した無限の数のリストを計算できます。

素数の時間を扱う時計計算だけを考えれば、ラングランズは、これら二つの数列が驚くほど幅広い状況で一致すると予想しました。言い換えれば、保型形式が与えられた場合、そのエネルギー準位がディオファントス方程式の時計列を支配し、逆もまた同様です。

このつながりは「テレパシーよりも奇妙だ」とエマートン氏は言う。「この二つの側面がどのようにコミュニケーションをとるのか…私には信じられないくらい、驚くべきことのように思えます。20年以上も研究してきたにもかかわらずです。」

1950年代と1960年代、数学者たちはこの橋の片方向への架け橋の始まりを解明しました。それは、特定の保型形式から、係数が有理数（整数の比）である楕円曲線へと至る方法です。そして1990年代、ワイルズはテイラーの協力を得て、ある楕円曲線族について逆方向の橋渡しを解明しました。彼らの結果はフェルマーの最終定理の即時的な証明となりました。なぜなら、フェルマーの最終定理が偽であれば、それらの楕円曲線の少なくとも1つは対応する保型形式を持たないことが既に数学者たちによって示されていたからです。

フェルマーの最終定理は、この橋の建設によってもたらされた唯一の発見ではありません。数学者たちは、例えば、楕円曲線の時計解の数の統計分布に関する数十年前からの問題である佐藤・テイト予想や、20世紀初頭の伝説的な数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンによって提唱された保型形式のエネルギー準位に関する予想を証明するために、この定理を用いてきました。

ワイルズとテイラーが研究結果を発表した後、彼らの手法が依然として有効であることが明らかになりました。数学者たちはすぐに、この手法を有理係数を持つすべての楕円曲線に拡張する方法を考案しました。さらに最近では、3 + √2のような単純な無理数を含む係数をカバーする方法も考案されました。

現時点では、これらの論文は一種の成果の頂点と言えるでしょう。

しかし、テイラー＝ワイルズ法を、係数にi（-1の平方根）や3 + i、√2 iといった複素数を含む楕円曲線に拡張することはできなかった。また、楕円曲線よりもはるかに高い指数を持つディオファントス方程式も扱えなかった。右辺の最大指数が3ではなく4である方程式はテイラー＝ワイルズ法で問題なく扱えるが、指数が5に上がると、この方法はもはや機能しなくなる。

数学者たちは徐々に、ラングランズ橋の次の二つの自然な拡張については、単にテイラー＝ワイルズ法に小さな調整を加えるだけでは不十分であることに気づいた。むしろ、根本的な障害が存在するように思われた。

これらは「次に思いつくような例です」とジー氏は言う。「でも、『いや、これらは到底手の届かないものだ』と言われるんです」

問題は、テイラー＝ワイルズ法がディオファントス方程式に一致する保型形式を、他の保型形式で逐次近似することで見つけることです。しかし、方程式の係数に複素数が含まれる場合や指数が5以上の場合、保型形式は非常に稀になります。非常に稀であるため、与えられた保型形式には、近似に使用できる近傍の保型形式が存在しないのが一般的です。

ワイルズの設定では、求めている保型形式は「干し草の山の中の針のようなものだが、干し草の山は存在する」とエマートンは言った。「まるで鉄粉の山のようなもので、そこに磁石を入れて、それらが針を指すように並べているようなものだ」

しかし、複素数の係数や高次の指数となると、「それは真空中の針のようなものだ」と彼は言った。

月へ行く

今日の数論学者の多くは、ワイルズの証明が行われた時代に成人した。「新聞の一面を飾った唯一の数学論文でした」と、当時13歳だったギーは回想する。「多くの人にとって、ワイルズは刺激的で、理解したいと願うものだったのです。そして、それがきっかけでこの分野で研究するようになったのです。」

そこで、2012年にシカゴ大学のフランク・カレガリとデビッド・ジェラティ（現在はフェイスブックの研究科学者）という2人の数学者がテイラー・ワイルズ法の拡張に対する障害を克服する方法を提案したとき、彼らのアイデアは新世代の数論学者の間に興奮の波紋を広げた。

彼らの研究は、「この根本的な障害は、実際には全く障害ではない」ことを示したとジー氏は述べた。むしろ、テイラー＝ワイルズ法の一見限界に見えるものは、「実際には、（カレガリとジェラティが）導入した、より一般的な実際の手法の影に過ぎない」ことを物語っていると彼は述べた。

障害が発生する場合、保型形式は、ワイルズが研究した2次元のエッシャー風のタイリングよりも高次元のタイリング上に存在します。こうした高次元の世界では、保型形式は都合の悪いほど稀です。しかし、プラス面としては、高次元のタイリングは2次元のタイリングよりもはるかに豊かな構造を持つことが多いのです。カレガリとジェラティの洞察は、この豊かな構造を利用して保型形式の不足を補うことでした。

より具体的には、保型形式がある場合、そのタイリングの「色付け」を一種の測定ツールとして利用し、任意のタイリング領域の平均色を計算できます。2次元の設定では、保型形式が実質的に唯一の測定ツールです。しかし、高次元のタイリングでは、トーションクラスと呼ばれる新しい測定ツールが登場します。これは、タイリングの各領域に平均色ではなく、クロック演算による数値を割り当てます。このようなトーションクラスは数多く存在します。

カレガリとジェラティは、一部のディオファントス方程式について、他の保型形式ではなく捩れ類で近似することで、対応する保型形式を見つけることができるかもしれないと提案した。「彼らの洞察力は素晴らしかった」とカライアーニは述べた。

カレガリとジェラティは、ワイルズとテイラーが構築したものよりもはるかに広範な、ディオファントス方程式から保型形式への架け橋の青写真を示した。しかし、彼らのアイデアは完全な架け橋には程遠かった。それが機能するためには、数学者たちはまず三つの主要な予想を証明しなければならなかった。カレガリによれば、それはまるで、ジェラティと共同で書いた論文が、誰かが宇宙船、ロケット燃料、そして宇宙服を喜んで用意してくれるという条件で、月へ行く方法を説明しているかのようだった。三つの予想は「私たちには全く理解できなかった」とカレガリは語った。

特に、カレガリとジェラティの手法では、保型形式からディオファントス方程式側への逆方向の橋渡しが既に必要でした。そして、その橋渡しは保型形式だけでなく、捩れ類も運ぶ必要がありました。「カレガリとジェラティが最初に彼らのプログラムを概説したとき、多くの人がこれは絶望的な問題だと思ったと思います」と、現在スタンフォード大学に所属するテイラーは言います。

しかし、カレガリとジェラティが論文をオンラインに投稿してから1年も経たないうちに、ボン大学の数学者で後に数学最高の栄誉であるフィールズ賞を受賞したペーター・ショルツが、係数が3 + 2 iや 4 − √5 iのような単純な複素数である楕円曲線の場合、捩れ類からディオファントス方程式側に移行する方法を解明し、数論学者を驚かせた。「彼は多くの刺激的なことを成し遂げたが、おそらくこれが彼の最も刺激的な業績だろう」とテイラーは語った。

ショルツは、カレガリとジェラティの3つの予想のうち最初の予想を証明した。そして、ショルツとカライアーニによるその後の2本の論文は、ショルツの橋が正しい性質を持つことを示す2番目の予想の証明に近づいた。

プログラムが手の届くところまで来ているように感じ始めたため、2016年秋、カライアーニとテイラーはさらなる前進を図るため、高等研究所でカレガリ氏が「秘密」と呼ぶワークショップを開催した。「講義室を占拠し、他の誰も入室を許しませんでした」とカレガリ氏は語った。

数日間の解説的な講演の後、ワークショップ参加者は第二の予想を洗練させ、第三の予想を回避する方法を理解し始めました。「すべての問題を実際に述べてから1日以内に、すべて解決したかもしれません」と、もう一人の参加者であるジーは言いました。

参加者たちは残りの週を証明の様々な側面の解明に費やし、その後2年間かけてその成果を10人の著者による論文にまとめ上げた。これは数論論文としてはほぼ前例のない人数である。彼らの論文は本質的に、有理数と単純な無理数、そして複素数からなる任意の数体系から係数を取った楕円曲線のラングランズ橋を確立するものである。

「（ワークショップの）事前の計画は、物事をどれだけ証明に近づけるかということだけでした」とジー氏は語った。「誰も結果を証明できるとは思っていなかったと思います。」

橋の延長

一方、楕円曲線を超えて橋を拡張するための並行した取り組みも進められていた。カレガリとジーは、ジョージ・ボクサー（現在はフランス・リヨンの高等師範学校に在籍）と共同で、ディオファントス方程式の最大指数が5または6（既知の3または4ではなく）の場合に取り組んでいた。しかし、3人の数学者は議論の重要な部分で行き詰まっていた。

そして、その「秘密」ワークショップの翌週末、エコール・ノルマル・シュペリウールのヴィンセント・ピローニが、まさにその障害を回避する方法を示した論文を発表した。カレガリ氏によると、「今やっていることを中断して、ピローニ氏と協力しなければならない！」と、他の3人の研究者は即座に言い合ったという。

数週間のうちに、4人の数学者はこの問題も解決しました。しかし、アイデアを完全に具体化するには2年ほどの歳月と300ページ近くの論文が必要でした。彼らの論文と10人の著者による論文は、どちらも2018年12月下旬に、わずか4日違いでオンラインに掲載されました。

エマートン氏は、この2つの論文について「かなり大きな成果だと思います」と述べた。これらの論文とそれ以前の構成要素はすべて「最先端」だと彼は語った。

これら2つの論文は、ディオファントス方程式と保型形式の間の不思議なテレパシーが、これらの新しい設定にも引き継がれることを本質的に証明しているが、一つ注意点がある。それは、両者の間に完璧な橋渡しをしていないということだ。どちらの論文も「潜在的保型性」を立証している。これは、それぞれのディオファントス方程式には対応する保型形式が存在するものの、その保型形式が数学者が期待する大陸の特定の領域に存在するかどうかは確実には分からないということを意味する。しかし、潜在的保型性は多くの応用において十分である。例えば、ディオファントス方程式の時計解の統計に関する佐藤・テイト予想は、10人の著者からなるこの論文によって、これまでよりもはるかに広範な文脈で証明することに成功した。

数学者たちはすでに、こうした潜在的な保型性の結果を改善する方法を模索し始めている。例えば10月には、イリノイ大学アーバナ・シャンペーン校のパトリック・アレン氏、カリフォルニア大学ロサンゼルス校のチャンドラシェカール・カレ氏、ケンブリッジ大学のジャック・ソーン氏の3人の数学者が、10人の著者による論文で研究された楕円曲線のかなりの割合に、まさに正しい位置に着地する橋が存在することを証明した。

この高い精度を持つ橋は、最終的に数学者に多くの新しい定理の証明を可能にするかもしれません。その中には、1世紀も前に提唱されたフェルマーの最終定理の一般化も含まれます。この一般化は、定理の中心となる方程式が、x、y、zが整数だけでなく、整数と虚数iの組み合わせから抽出された場合でも、解を持たないという仮説です。

コロンビア大学のマイケル・ハリス氏は、カレガリ・ジェラティ・プログラムを実行した2つの論文は重要な原理実証となると述べた。「この手法が幅広い応用範囲を持つことを証明している」と彼は述べた。

新たな論文は、これまでよりもはるかに広い範囲のラングランズ大陸を結びつけているものの、依然として広大な未踏領域を残している。ディオファントス方程式に関しては、指数が6を超える方程式や、2変数以上の方程式が依然として存在する。一方、これまで研究されてきたものよりも複雑な対称空間上に存在する保型形式も存在する。

「これらの論文は、今のところ、いわば成果の頂点と言えるでしょう」とエマートン氏は述べた。「しかし、いつかは、それらは単なる道のりの一歩として振り返ることになるでしょう。」

ラングランズ自身は保型形式について考えた際に、捩れを考慮したことは一度もなかった。そのため、数学者にとっての課題の一つは、これらの異なる流れを統一的に捉えるビジョンを見出すことだ。「その可能性は拡大しつつある」とテイラーは述べた。「我々はラングランズが示した道からある程度逸脱しており、どこへ向かうのか、まだよく分かっていない」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。