『スタートレック：ピカード』の8連星系は本当に存在するのか

連星系って聞いたことありますよね？2つの星が互いに近く、共通の重心の周りを公転している星系のことです。確かに、オリジナル版の映画ではルーク・スカイウォーカーが砂漠の惑星タトゥイーンにいた時に連星を見ましたよね。えっと、あれはスター・ウォーズで、これはスタートレックです。冗談ですよ、違いは分かっています。でも、連星は実在するんです。

では…八元星系、つまり8つの恒星が重力相互作用する星系はどうでしょうか？『スタートレック：ピカード』ではまさにそれが描かれています。実は、遠い昔に異星人が未来の文明への警告として人工的に作り出した星系なのですが…えーと、話が長くなります。本日公開されるシーズン最終話をご覧になれば、さらに詳しく分かるでしょう。

でも、皆さんも私と同じことを考えているのではないでしょうか。現実の宇宙に8つの恒星系が存在する可能性はあるのでしょうか？もし存在するとしたら、どのように星々が配置されれば恒星系は安定するのでしょうか？どのように動くのでしょうか？番組の中でナビゲーション・ホログラムのエノクが言うように、「重力の仕組みは…信じられないほど複雑になるはずです」。つまり、私たちはこの現象をモデル化してみる必要があるということです！

3人だと混雑する

ここで少し物理学の裏話に触れておきましょう。三体問題と呼ばれる有名な状況です。地球と太陽のように、重力で相互作用する二つの物体があるとします。これは解ける問題です。少し数学を使えば、これを一次元の一物体の問題に置き換えることができます。複雑ですが、魔法のようです。両方の物体の将来の位置と速度を常に決定する方程式を導き出すことができるのです。

しかし、3つ（あるいはそれ以上）の物体がある場合、運動方程式を導く方法はないことが判明しました。このようなシステムをモデル化するには、数値計算を用いる必要があります。これは、軌道を小さな時間間隔に分割する作業です。各ステップにおいて、作用する力に基づいて、各物体が間隔の終わりにどこにいるかを計算し、システム全体をマッピングするまでこれを繰り返します。

したがって、3つの物体がある場合、それぞれの物体に働く正味の重力を計算する必要があります。重力とは、質量を持つ2つの物体間の引力相互作用であることを覚えておいてください。その大きさは、2つの質量の積（ここではm _Aとm _Bとします）に依存し、中心間の距離（r）の2乗に反比例します。

つまり、3つの物体がある場合、計算すべき重力は複数あります。この図は、AとBという2つの恒星とPという惑星からなる三体系の例を示しています。それぞれの物体に2つの異なる重力が作用していることがわかります。点線は運動量ベクトルです。

各タイムステップにおける多重星系の動きをモデル化する基本的な方法は次のとおりです。

各オブジェクトの位置とそれらの間の距離を取得します (つまり、すべての r を見つけます)。
距離を用いて、すべての物体のペアに働く重力を求めます。三体系には、3つの固有のペアがあります。
各惑星の正味の力を決定します。
これを用いて、区間終了時における各物体の運動量（質量 × 速度）を求めます。正味の力は一定であると仮定します（厳密には正しくありませんが、このような短い区間では十分近い値です）。
運動量を利用して各オブジェクトの位置を更新します。
希望する軌道が得られるまで、またはコンピューターが爆発するまで、これらの手順を繰り返します。

8つあれば十分すぎる

さて、スター・トレック：ピカードに出てくるような配置で8つの星を並べたらどうなるでしょうか？こんな感じです（縮尺は正確ではありません）。

もちろん、8つの星をただ集めただけでは、安定したシステムになるわけではありません。確かに相互作用はしますが、互いに衝突したり、一部の星がグループから外れたりする可能性もあります。数十億年も続くことはないでしょう。そして、永続しない記念碑に何の価値があるというのでしょう？

では、これらの星をどのようにして安定した軌道に乗せるのでしょうか？連星系は安定しているので、まずはそこから始めましょう。2つの星が相互作用していると想像してください。安定する軌道は様々ですが、ここでは安定することが分かっている単純な軌道、つまり両方の星が円軌道を描いて回る軌道を使います。その軌道は次のようになります。

二つの星は共通の重心の周りを公転しています。もし二つの星の質量が等しい場合、その重心が円軌道の実際の中心となります。それぞれの星は、もう一方の星から引力を受けています。この力によって星は加速します。そうです、円運動は、たとえ一定速度であっても、ベクトルの方向が常に変化するため、加速しているのです。

この加速度の大きさ（求心加速度と呼ばれる）は、速度の大きさと円の半径によって決まります。

これで、重力を質量と加速度の積と等しく設定して、速度の式を得ることができます。重要な点に注意してください。星々が半径rの円運動をしている場合、それらの間の距離は2rになります。つまり、重力による距離は求心加速度による距離と同じではありません。また、左側に等しい質量を持つ星が2つ、右側に1つあるため、それらは部分的に打ち消し合います。

G を括弧内の m で割った値 2r を括弧内の 2 乗で割った値が、v の 2 乗で割った値 r に等しい

vについて解くと：

つまり、2つの星の質量とそれらの間の距離がわかれば、円軌道を形成する速度を求めることができます。これをモデルに代入すればいいのです。

モデル

さあ、やってみましょう。ここに、質量が10× ³⁰キログラム（太陽の質量に相当）で、距離が18AU（1AUは地球から太陽までの距離）離れた2つの星があります。これは実際のPythonコードです。再生ボタンを押すとビジュアライゼーションが実行されます。鉛筆アイコンを押すとコードが表示され、編集できます。

ここまでは順調です。きれいな円軌道ですね。でも、まだそこまでには至っていません。では、これを4つの星に増やしてみましょう。この連星系が別の連星系を周回していたらどうでしょう？テレビ番組の第9話で示された図では、まさにそのように見えます。これで何が起こっているのかお分かりいただけたでしょうか。つまり、入れ子になったレベルの連星系を作っているということです。

それはうまくいくでしょうか？そうですね、もし2組の連星が十分に離れていれば、それぞれが2倍の質量を持つ単一の星とほぼ同じ重力を生じます。つまり、同じ速度計算機を使って、半径と質量を変えて計算できるということです。

もちろん、この速度計算は連星系の重心についてのみです。個々の恒星の速度を決定する必要があります。確かに複雑になってきましたが、この図が役に立つかもしれません。

つまり、各恒星は系内の位置に基づいて、それぞれ独自の初期速度を持っています。さて、もう1層追加して、8つの恒星からなる系全体を作りましょう。準備はいいですか？これをうまく機能させるには、連星系同士の距離が、2組の連星系の間の距離よりもはるかに近い必要があります。全体としては、とてつもなく大きなものになるでしょう。

これはまた、小さな連星ペアがシステム全体よりもはるかに速く周回することを意味します。これは数値計算において問題を引き起こします。つまり、個々の恒星の時間間隔を適切に短く設定するか（その場合、計算には長い時間がかかります）、間隔を長くして計算を高速化するかのどちらかです。ただし、その場合、精度は低下します。

より精度の高い低速モデルを使うことにしました。この動作を全部見せる必要はありません。私のコンピューターで実行するのに3時間かかりました。でも、もし試してみたい方はこちらのコードをご覧ください。そして、最終的に出来上がったのがこちらです。8つの星の軌道を示す、このクレイジーな地図をご覧ください！

本当に、信じられない！それぞれの半分は、まるで宇宙のスリンキーが2つ、互いに絡み合っているみたいだ。しかもそのスケールは巨大で、系全体の直径は約1,500 AUと、太陽系の約19倍にもなる。

ここで説明しておきましょう。ここに写っているのは、連星系の外側の2層だけです。拡大すると、それぞれの渦巻状の線が最小の連星系によって描かれ、個々の恒星が互いの周りを回転しているのがわかります。しかし、この物体の大きさのため、最下層と最上層を同時に見ることは不可能です。

いくつかのコメント:

システムが本当に安定していれば、すべてが繰り返されるはずです。近いですが、同じ開始位置に戻ることはなさそうです。
連星系間の距離がさらに遠ければこの方法はもっと良く機能するはずですが、その場合、細部を実際に確認することはできなくなります。
芸術だよ。そう思わないか？好きだよ。

では、この8つの星系は可能なのでしょうか？ええ、もちろんです。安定しているのでしょうか？確かなことは言えませんが、もしかしたらそうかもしれません。さて、宿題です。もう我慢できないですよね？

私の数値モデルを使用して、軌道運動中にエネルギーが保存されるかどうかを確認します。
角運動量はどうでしょうか？それは保存されますか？ヒント：保存されるはずです。
あなたが古代の異星文明で、いくつかの星を移動させてこの八元系を構築したいとしましょう。これにはどれくらいのエネルギーが必要でしょうか？確かに、星を近づければ運動エネルギーは得られますが、適切な軌道を保つためにも運動エネルギーが必要です。太陽系から星を一つ取り除くのに必要なエネルギーを推定することもできます。（おおよその計算には、私たちの太陽系をご利用ください。）
最後に、この恒星系の真ん中に惑星を置いたらどうなるでしょうか？そこに留まるでしょうか？

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