トールのバトルチェーントレーニングはどれくらい難しいのか？

スーパーヒーローはどうやって元の体型に戻るのか？それが、最新予告編『マイティ・ソー／ラブ＆サンダー』でソーが抱える問題だ。北欧神話の神は、バトルロープのようなものでトレーニングをしようとしている。これは基本的に、2本の極太ロープを上下に振るだけのもの。一見馬鹿げているように思えるかもしれないが、本格的なトレーニングだ。そして、ソー流のやり方はさらに本格的だ。ロープの代わりに、彼は極太の鎖を使うのだ。

私はスーパーヒーロー映画が大好きです。なぜなら、こういう状況は、本当に素晴らしい物理学的な疑問を提起するからです。例えば、「バトルロープではなくバトルチェーンを使った運動は、どれくらい難しいのか？」「巨大なチェーンを振ったら、実際にこんな感じになるのか？」「そもそも、なぜ波はロープを伝って移動するのか？」などです。

弦の上の波

弦（またはロープや鎖）の片端を振ると、弦の長さに沿って揺らぎや変位が生じます。弦の波は次のようになります。

弦は水平方向に張られており、これをx方向と呼びます。弦上の各点は異なるx値を持ちます。垂直方向はy方向です。つまり、弦上のすべての点はx値とy値の両方を持ちます。この2つの変数を用いて、yはxの関数として定義され、上の図に示すように弦の形状を記述します。

弦の形状は、波が弦に沿って移動するにつれて時間とともに変化します。したがって、弦の各部分の垂直位置を完全に記述するには、yを位置 (x) と時間 (t) の両方の関数として示す必要があります。

この擾乱の運動は波動方程式によって支配されます。これは、弦が時間（t）とともにどのように変化するかと、弦の形状、つまり弦の位置（x）に応じてどのように変化するかとの関係を示す微分方程式です。

まあ、落ち着いて。これは微分方程式だと言ったでしょう？だから∂記号があるんです。偏微分です。つまり、弦の垂直加速度（∂ ² y/∂t ²で表される）は、弦の曲率（∂ ² y/∂x ²で表される）に比例するということです。この関係の比例定数は波の速度の2乗です。もっと完全な（ただし複雑な）導出がしたい方は、こちらをご覧ください。

素晴らしいのは、これが弦に限った話ではないということです。この方程式は、水、空気（音）、地面（地震波）の波にも適用できます。さらに、電場と磁場の関係から電磁波が生成されることさえ示しており、まさに光が波として空間を伝わる仕組みと同じです。

しかし、トールのバトルロープの場合は、「弦」上の波に焦点を絞ります。この場合、波の速度は弦の張力（T）と線密度、つまり単位長さあたりの重さ（μ）に依存します。

紐の線密度をロープから巨大な鎖へと増やすと、波の移動速度は遅くなります。

トールの鎖の張力と線密度はどちらも推定できますが、まずは弦の波のモデルを構築する必要があります。モデル化してみなければ、何かを真に理解することはできません。しかし、そのモデルが妥当かどうかは、現実のものと実際に比較してみなければわかりません。さあ、実際に比較してみましょう。

弦上の実際の波をモデリングする

簡単な波を作って、その速度、弦の張力、そして弦の線密度の3つを測定したいのですが、それほど難しくないでしょう。弦には、長さ1.2メートル、質量25グラムのプラスチックビーズを使います。これで、μ = 0.0208 kg/m における線密度を計算できます。

張力をかけるために、ビーズの紐を平らな台の上に置き、端に滑車を設置します。そして、重りを取り付けた滑車の上に紐を垂らします。こうすることで、重力によって紐に張力が生じます。

20グラムの質量を吊るすと、弦の張力は0.196ニュートンになります。波動方程式が正しいとすれば、この弦上の波の速度はT/μの平方根を用いて毎秒3.07メートルに等しいはずです。

素晴らしいですね。でも、これは実際の波と合っているでしょうか？調べてみましょう。ビーズを軽く弾いて波を作ると、こんな感じになります。

テーブル上のメーターと、お気に入りのビデオ分析ツール「Tracker Video Analysis」を使って、この波の速度を測ることができます。各フレームで波の位置をマークすると、次のような位置と時間のプロットが得られます。

速度は位置の変化率の時間依存性として定義されるので、このグラフの傾きが速度を表すはずです。つまり、この波の速度は2.85 m/sとなり、理論予測にかなり近い値です。これで満足です。

でも、ビーズの連なりではなく、巨大な金属の鎖の中の波の速度を調べたい場合はどうすればいいでしょうか？ 実は、私の手元にはそんなものはないし、そもそも動かすこともできないでしょう。そこで、計算モデルを構築してみましょう。

これが私のアイデアです。次のように、バネで接続された多数の質点からチェーンを作成します。

バネは伸び（または圧縮）量に比例した力を発揮します。そのため、バネは非常に便利です。このモデル内のすべての質量の位置を確認し、接続された各バネがどれだけ伸びているかを判断できます。これにより、各質量の正味の力を計算するのは非常に簡単です。

もちろん、ネットの力があれば、ニュートンの第二法則、F _net = ma を使って各部品の加速度を求めることができます。このバネ力の問題は、一定ではないことです。質量が動くと、各バネの伸びが変化し、力も変化します。これは簡単な問題ではありません。しかし、ちょっとした魔法を使う解決策があります。

このモデル化された一連のバネの各質量にかかる力を計算すると想像してみてください。ここで、例えば0.001秒といった非常に短い時間間隔だけを考えてみましょう。この時間間隔の間、ビーズは確かに動きますが、それほど大きくはありません。バネの力は変化しないと仮定するのは、それほど無理な話ではありません（しゃれです）。時間間隔が短いほど、この仮定はより正確になります。

力が一定であれば、各質量の速度と位置の変化を求めるのはそれほど難しくありません。しかし、問題を単純化することで、問題が増えてしまいました。ビーズ紐の1秒後の運動をモデル化するには、この時間間隔を1,000回（1/0.001 = 1,000）計算する必要があります。誰もそんなに多くの計算をしたいとは思わないでしょう。ですから、コンピューターに任せれば良いのです。（これが数値計算の根底にある考え方です。）

ビーズ連の質量バネモデルの構築手順を全てご覧になりたい方は、こちらに全て掲載しています。（長いのでご注意ください。）しかし、本当のテストは、ビーズ連の質量バネモデルが本物の連と同じように波動速度を生成できるかどうかを確認することです。以下は、34個のビーズピースを使って、本物の連と同じ線密度と張力を持つ質量バネモデルです。

弦の最高点の水平位置を追跡すると、次のグラフが表示されます。

動画分析と同じように線形関数を当てはめると、2.95メートル/秒の傾きが得られます。これはモデルから得られる波の速度で、実際のビーズの列とほぼ同じ値です。これは成功です。

トールのバトルチェーンはどうですか?

いくつか推定値が必要ですが、同じ波動方程式を使ってソーの巨大な鎖を調べることができます。まずは波の速度から始めましょう。ここでも、ビデオ解析を使って鎖上の波の一つの動きをプロットできます。距離の尺度が必要なので、ソーの身長を1.9メートルに設定します。これは、ソーを演じるクリス・ヘムズワースという実在の人間の身長です。こうすることで、次のプロットが得られます。

すると、波の速度は毎秒4.56メートルになります。では、トールがこの波の速度を出すにはどれくらいの力が必要でしょうか？ 弦の波の速度は、鎖の張力と線密度の両方に依存します。密度を推定し、それを使ってトールが鎖を引くのに必要な張力を計算してみましょう。

穴を取り除けば、鎖の等価直径は15センチメートルになると思います。もし鎖が鋼鉄製なら、体積密度は約8,000キログラム/立方メートルになります。これらの値から、鎖の線密度は141キログラム/メートルになります。動画で見られる波のような速度を出すには、トールは2,940ニュートン、つまり658ポンドの力で引っ張る必要があります。それほど悪くないように思えます。少なくとも雷神にとっては。

では、普通の人間が普通のバトルロープを使ったらどうなるでしょうか？ 長さ 30 フィート、重さ 26 ポンドのロープです。メートル法に換算すると、線密度は 1 メートルあたり 1.29 キログラムになります。マイティ・ソーの予告編と同じ速度で波を動かすには、人間は 26.8 ニュートン、つまり 6 ポンドの牽引力が必要です。つまり、ソーは人間の約 100 倍の力で引っ張る必要があるということです。これは要求しすぎではないと思います。彼ならきっとできるはずです。でも、体調を整えるには、軽いものから始めて、徐々に重いものへと移行していくのがベストだと思います。ですから、北欧の神への私からのアドバイスは、鉄の鎖を使う準備ができるまでは、ロープから始めなさい、ということです。