ブラックホールパラドックスはエネルギーとエントロピーの関連性を明らかにする

「物理学者は極限を探究するのが好きなんです」とカーネギーメロン大学の物理学者、ギャレット・グーン氏は言う。「それ以上進めないという事実、何かが変化しているという事実、何かが邪魔をしているという事実、そこには何か興味深いことが起こっているんです。」

物理学者が自然の極限を探るために用いる思考実験において、ブラックホールは数十年にわたり中心的な役割を果たしてきた。これらの目に見えない球体は、物質が極度に集中し、一定距離内にあるすべてのもの、光さえもその重力に捕らえられるときに形成される。アルバート・アインシュタインは重力を時空連続体の曲線と同一視したが、ブラックホールの中心付近では曲率が極端に大きくなり、アインシュタインの方程式は破綻する。そのため、何世代にもわたる物理学者たちは、重力の真の量子的起源についての手がかりをブラックホールに求めてきた。その起源は、彼らの心の中で完全に明らかになり、他のあらゆる点でアインシュタインの概観と一致するに違いない。

量子重力の知識を得るためにブラックホールを調べるという発想は、スティーブン・ホーキングに端を発しています。1974年、このイギリス人物理学者は、ブラックホール表面における量子的な揺らぎによってブラックホールが蒸発し、熱を放射しながらゆっくりと収縮していくことを計算しました。ブラックホールの蒸発は、それ以来、量子重力研究に様々な情報を与えてきました。

最近では、物理学者たちは極限の極限、つまり極限ブラックホールと呼ばれる存在について考察し、有益な新たな問題を発見した。

ブラックホールは、荷電物質がブラックホールに落ち込むと電荷を帯びます。物理学者の計算によると、ブラックホールには「極限」、つまりその大きさに対して可能な限り多くの電荷を蓄える飽和点が存在するとのことです。荷電ブラックホールがホーキング博士の理論通りに蒸発して縮小していくと、最終的にこの極限に達します。その時点で、ブラックホールの電荷量から見て、ブラックホールは限界まで小さくなり、それ以上蒸発できなくなります。

しかし、極限ブラックホールが「放射を止めてただそこに留まる」という考えはあり得ないと、カリフォルニア大学バークレー校の物理学者グラント・レメン氏は述べている。もしそうなると、遠い未来の宇宙は、微小で破壊不可能なブラックホール残骸で溢れかえることになる。これは、ほんの少しでも電荷を帯びたブラックホールの残骸であり、十分に蒸発すれば極限ブラックホールになる。これらのブラックホールを守る基本原理は存在しないため、物理学者たちはブラックホールが永遠に存在するとは考えていない。

そこで「疑問がある」とリーハイ大学のセラ・クレモニーニ氏は言う。「これらすべての極限ブラックホールに何が起こるのか？」

物理学者たちは、極限ブラックホールは崩壊し、パラドックスは解消されるはずだと強く疑っているが、それはホーキング蒸発とは異なる経路によるものだ。近年、研究者たちはこの可能性を探ることで、量子重力に関する重要な手がかりを得ている。

2006年、4人の物理学者は、極限ブラックホールが崩壊するならば、あらゆる宇宙において重力が最も弱い力であるはずであるという結論に至りました。これは、量子重力と他の量子力の関係に関する強力な示唆です。この結論は、極限ブラックホールの運命について、より深い考察をもたらしました。

そして2年前、レメンとカリフォルニア工科大学の共同研究者であるクリフォード・チャン、ジュンユ・リウは、極限ブラックホールが崩壊できるかどうかは、ブラックホールのもう一つの重要な特性、すなわちエントロピーに直接依存することを発見しました。エントロピーとは、物体の構成要素を何通りもの方法で再配置できるかを示す指標です。エントロピーはブラックホールについて最も研究されている特性の一つですが、極限ブラックホールとは何の関係もないと考えられていました。「まるで、すごい、2つのとてもクールなものがつながっているみたいですね」とチャンは言います。

最新の驚くべき発見として、この関連性は自然界における一般的な事実を例証するものであることが判明した。3月にPhysical Review Letters誌に掲載された論文で、グーンとリカルド・ペンコは、エネルギーとエントロピーを関連付ける単純かつ普遍的な公式を証明し、以前の研究の知見を拡張した。この新発見の公式は、ブラックホールだけでなく、ガスなどの系にも当てはまる。

グーン氏は、最近の計算によって「量子重力について真に学んでいる」と述べた。「しかし、もしかしたらもっと興味深いのは、より日常的な事柄について何かを学んでいるということかもしれません。」

極限のブラックホール

物理学者は、荷電ブラックホールが極限に達することを容易に理解しています。アインシュタインの重力方程式と電磁気方程式を組み合わせると、ブラックホールの電荷Qは、両者を同じ基本単位に換算した場合、質量M を超えることは決してないことが計算されます。ブラックホールの質量と電荷は、その大きさ、つまり事象の地平線の半径を決定します。一方、ブラックホールの電荷は、事象の地平線の背後に隠れた第二​​の「内側の」地平線も作り出します。Q が増加すると、ブラックホールの内側の地平線は拡大し、事象の地平線は縮小し、最終的にQ = Mで二つの地平線が一致します。

Qがさらに増加すると、事象の地平線の半径は実数ではなく複素数（負の数の平方根を含む）になります。これは物理的に不可能です。したがって、ジェームズ・クラーク・マクスウェルの19世紀の電磁気学とアインシュタインの重力理論を単純に組み合わせると、Q = Mが限界となるはずです。

ブラックホールがこの地点に達すると、さらなる崩壊の単純な選択肢は、2つの小さなブラックホールに分裂することです。しかし、そのような分裂が起こるためには、エネルギー保存則と電荷保存則により、娘天体の1つが質量よりも電荷が多くなる必要があります。アインシュタイン＝マクスウェルによれば、これは不可能です。

しかし、ニマ・アルカニ＝ハメド、ルボス・モトル、アルベルト・ニコリス、そしてクムルン・ヴァファが2006年に指摘したように、極限ブラックホールが2つに分裂する方法が存在する可能性もある。彼らは、アインシュタインとマクスウェルの複合方程式は、小さく強く曲がったブラックホールにはうまく適用できないと指摘した。より小さなスケールでは、重力の量子力学的特性に関連する追加の詳細がより重要になる。これらの詳細はアインシュタイン＝マクスウェル方程式に補正を与え、極限限界の予測を変える。4人の物理学者は、ブラックホールが小さくなるほど補正が重要になり、極限限界がQ = Mからますます遠ざかることを示した。

研究者らはまた、補正の符号が正（負ではなく正）であれば、小型ブラックホールは質量よりも多くの電荷を蓄えることができると指摘した。この場合、Q > Mとなり、これはまさに巨大な極限ブラックホールが崩壊するために必要な条件である。

もしこれが事実なら、ブラックホールは崩壊するだけでなく、アルカニ＝ハメド、モトル、ニコリス、そしてヴァファは、自然に関するもう一つの事実も成り立つことを示しました。それは、重力は最も弱い力でなければならないということです。物体の電荷Qは、重力以外のあらゆる力に対する感度です。質量Mは、重力に対する感度です。つまり、Q > M は、重力が2つの力のうち弱い方であることを意味します。

ブラックホールは崩壊するはずであるという仮定から、4人の物理学者はより大胆な推測を立て、重力はあらゆる宇宙において最も弱い力であるに違いない、としました。言い換えれば、Q > Mの物体は、電子のような粒子（実際、質量よりもはるかに大きな電荷を持つ）であれ、小さなブラックホールであれ、どのような電荷Qであっても常に存在するということです。

この「弱重力予想」は大きな影響力を持ち、量子重力に関する他の多くの考えを裏付けています。しかし、アルカニ＝ハメド、モトル、ニコリス、そしてヴァファは、Q > Mであること、あるいは極限ブラックホールが崩壊することを証明したわけではありません。極限限界に対する量子重力補正は負になる可能性があり、その場合、小さなブラックホールは大きなブラックホールよりも単位質量あたりの電荷量をさらに少なくすることができます。極限ブラックホールは崩壊せず、弱重力予想は成り立ちません。

つまり、研究者は量子重力補正の符号が実際には何であるかを解明する必要があるのです。

いたるところに混乱

量子重力補正の問題は、ブラックホール研究の別の、一見無関係な分野で以前にも取り上げられたことがある。

約50年前、故ヤコブ・ベッケンシュタインとスティーブン・ホーキングは、ブラックホールのエントロピーがその表面積に正比例することをそれぞれ独立に発見しました。エントロピーは一般的に無秩序性の尺度と考えられており、物体の内部構造を、その全体的な状態を変えることなく、どのように配置を変えられるかを示すものです。（例えば、部屋が散らかっている、つまりエントロピーが高い場合、物をランダムに動かしても散らかった状態が続きます。一方、部屋が整頓されている、つまりエントロピーが低い場合、物を動かすと乱雑になります。）ブラックホールの内部の微細な成分に関係するエントロピーと、その幾何学的表面積の間に橋を架けることで、ベッケンシュタインとホーキングのエントロピー面積の法則は、ブラックホールと量子重力を研究する物理学者にとって最も強力な足掛かりの一つとなりました。

ベッケンシュタインとホーキングは、アインシュタインの重力方程式（および熱力学の法則）をブラックホールの表面に適用することで、彼らの法則を導き出しました。彼らはブラックホールの表面を滑らかなものと扱い、短距離に存在する構造は無視しました。

1993年、シカゴ大学の物理学者ロバート・ワルドは、もっと良い方法が可能であることを示した。ワルドは、現実のより深いレベルの完全な記述が何であるかを知らなくても、現実のより微視的なレベルから発せられる小さな効果を推測するための巧妙なトリックを発見した。彼の戦術は、凝縮系物理学者ケネス・ウィルソンが異なる文脈で開拓したもので、起こり得るすべての物理的効果を書き出すというものだった。ワルドは、アインシュタインの方程式に、ブラックホール表面の未知の短距離特性を記述できる可能性のある一連の項（適切な次元と単位を持ち、物理的に関連するすべての変数で構成される任意の項）を追加する方法を示した。「特定のサイズの[ブラックホール]曲率を記述する、原理的に考え得る最も一般的な項のセットを書き出すことができます」とクレモニーニは述べた。

幸いなことに、級数は最初の数項で打ち切ることができます。なぜなら、多くの変数の複雑な合成項は最終的な答えにほとんど寄与しないからです。級数の主要な項の多くでさえ、対称性が間違っているか無矛盾性条件に違反しているため、削除することができます。こうすることで、アインシュタインの重力方程式を修正する重要な項はわずかしか残りません。これらの新しく複雑な方程式を解くことで、より正確なブラックホールの特性が得られます。

ワルドは1993年にこれらの手順を実行し、短距離量子重力効果がベッケンシュタイン＝ホーキングのエントロピー面積則をどのように補正するかを計算しました。これらの補正により、ブラックホールのエントロピーは面積に正確に比例しなくなります。エントロピーのシフトを直接計算することは不可能ですが（未知の値を持つ変数が関係するため）、ブラックホールが小さくなるほど補正が大きく、したがってエントロピーシフトも大きくなることは明らかです。

3年前、Cheung、Liu、そしてRemmenは、Waldと同じ基本的なアプローチを荷電ブラックホールと極限の研究に適用しました。彼らはアインシュタイン-マクスウェル方程式に短距離効果による一連の追加項を加え、その新しい方程式を解いて、新たな補正極限を計算しました。そして驚くべきことに、彼らは答えに気づきました。荷電ブラックホールの極限への補正は、Waldの式から計算されるエントロピーへの補正と完全に一致していたのです。量子重力は、予想外にも両方の量を同じようにシフトさせるのです。

レメンは計算を完了した日、2017年11月30日を覚えている。「それほど興奮したからです」と彼は言った。「私たちが証明したのは、これらの（追加の）項がエントロピーと極値に等しい変化をもたらすという、非常に奥深く刺激的な事実でした。」

しかし、マッチングシフトは正しい方向に向かうのだろうか？どちらの補正も未確定変数に依存するため、原理的には正にも負にもなり得る。2018年の論文で、Cheungらは、量子重力のシナリオとモデルの広範なクラスにおいて、エントロピーシフトが正であると計算した。彼らは、エントロピーシフトが正であるべきであることも直感的に理解できると主張している。エントロピーはブラックホールのあらゆる内部状態を測定するものだということを思い出してほしい。ブラックホール表面のより微視的な詳細を考慮することで、新たな状態の可能性が明らかになり、エントロピーが減少するのではなく増加すると考えるのは理にかなっているように思える。「より真実に近い理論には、より多くのミクロ状態が含まれるだろう」とRemmenは述べた。

もしそうなら、極限のシフトも正となり、より小さなブラックホールは質量あたりより多くの電荷を蓄えることができるようになる。その場合、「ブラックホールは常により軽いブラックホールに崩壊する可能性がある」とチャン氏は述べ、「弱重力仮説は正しい」と付け加えた。

しかし、他の研究者たちは、これらの発見が弱重力予想の完全な証明にはならないと強調している。ウィスコンシン大学マディソン校の理論物理学者ゲイリー・シュー氏は、量子重力を考慮するとエントロピーは常に増加するはずだという考えは「一部の人が持つ直感ではあるが、必ずしも正しいわけではない」と述べた。

シウは反例を特定した。それは、量子重力の非現実的なモデルであり、短距離効果が相殺を通じてブラックホールのエントロピーを減少させるというものだ。これらのモデルは因果律やその他の原理に反するが、シウによれば、重要なのは、エントロピーとの新たな関連性が、極限ブラックホールが常に崩壊する、あるいは重力が常に最も弱い力であるということを単独で証明するものではないということだ。

「（弱重力仮説を）証明できれば素晴らしいですね」とシウ氏は述べた。「それが、私たちが今もこの問題について考えている大きな理由です。」

禁断の沼地

重力は、我々の宇宙における4つの基本的な力の中で最も弱い。弱い重力予想は、宇宙がそれ以外にはあり得なかったとしている。この予想は、我々の宇宙だけでなく、弦理論から導かれるあらゆる理論上の宇宙においても成り立つようだ。量子重力理論の候補である弦理論は、粒子は点ではなくむしろ拡張された物体（愛称弦）であり、さらに時空は、より詳しく言えば、余分な次元も持つと仮定している。弦理論家が宇宙を定義し得る様々な弦のセットを書き出すとき、彼らは必ず、ある種の弦から生じる重力が、これらのモデル宇宙において最も弱い力であることに気付く。「これが次々とケースごとにどのように実現していくかを見るのは非常に印象的だ」と、ニュージャージー州プリンストン高等研究所とケンブリッジ大学の物理学者ホルヘ・サントス氏は述べた。

弱重力予想は、過去20年間に物理学者によって提唱されてきた「スワンプランド予想」のネットワークの中で最も重要なものの一つです。スワンプランド予想とは、思考実験や例に基づいて、どのような宇宙が可能で、どのような宇宙が不可能であるかを推測するものです。スワンプランド理論家は、可能性を排除する（不可能な宇宙を立ち入り禁止の「スワンプランド」に置く）ことで、私たちの宇宙がなぜこのような状態になっているのかを明らかにしようとしています。

サントス氏によると、研究者が重力が必然的に最も弱い（そしてブラックホールは常に崩壊する）ことを証明できれば、最も重要な意味合いは、量子重力が「統一理論でなければならない」ということだ。つまり、QとMが固定比を持つ必要がある場合、それらに関連する力は同じ統一された数学的枠組みの一部でなければならないということだ。サントス氏は、基本的な力を単一の枠組みで統一する「唯一の理論」は弦理論であると指摘した。ループ量子重力理論などの競合するアプローチは、重力を他の力と結び付けることなく、時空を断片に分割することで重力を量子化しようとする。「弱重力予想が正しければ、ループ量子重力理論のようなものは消滅する」とサントス氏は述べた。

ルイジアナ州立大学のループ量子重力理論家ホルヘ・プーリン氏は、「死んだ」という言葉はあまりにも強い言葉だと考えている。このアプローチ自体が、より大規模な統一理論の一部となる可能性があると彼は述べた。「ループ量子重力は統一構造を排除するものではありませんが、私たちはまだそれを追求していません。」

弱重力予想は、量子重力における対称性と距離の役割に関する記述を含む、他のいくつかのスワンプランド予想を相互に強化する。シウ氏によると、これらの予想間の論理的つながりは、「これらの記述が推測的な意味でなされているとしても、その背後には普遍的な真理があるかもしれないという確信を与えてくれる」という。

シウ氏は、量子重力に関する現在の推測に基づく理解を、量子力学の初期の時代と比較した。「素粒子の世界における正しい理論とは何かについて、多くの推測や飛躍的な信仰がありました」と彼は述べた。「最終的に、これらの推測の多くは、はるかに大きな全体像の一部であることが判明しました。」

宇宙のエネルギーと無秩序

最近の研究は、ブラックホールや量子重力を超えた影響を与える可能性がある。

3月の論文で、グーンとペンコはブラックホールのエントロピーと極限性補正の計算をやり直しました。重力やブラックホール表面の形状といった用語を用いるのではなく、エネルギーや温度といった普遍的な熱力学量のみを用いて補正を計算しました。これにより、自然界に広く当てはまるエネルギーとエントロピーの熱力学的関係を発見することができました。

「素晴らしい関係だ」とサントス氏は語った。

ブラックホールの場合、二人の式は、チャン、レメン、リューが既に証明したことを示唆している。すなわち、量子重力はブラックホールの極限をシフトさせ（質量あたりの電荷蓄積量を増やす）、それに比例してエントロピーもシフトさせるということだ。量子重力によって得られる追加の蓄積容量を別の言い方で説明すると、電荷が固定されたブラックホールの質量が減少する可能性がある、ということになる。質量はエネルギーの一形態であるため、この質量の減少は、より一般的にはエネルギーのシフト、つまりエントロピーのシフトに反比例するシフトと考えることができる。

ブラックホールの場合、エネルギーとエントロピーの等しく反対方向のシフトは量子重力の未知の詳細から生じますが、極限に近いあらゆる物理システムにも同等の状況が存在します。

例えば、気体は絶対零度まで冷却されると極限状態になります。グーンとペンコの熱力学式によれば、気体を構成する原子の種類など、気体の微視的な物理的変化は、エネルギーとエントロピーに等しく反対方向の変化をもたらします。グーンは、エネルギーとエントロピーの関係は、極低温気体やその他の極低温実験の研究に役立つ可能性があると推測しました。「なぜなら、どちらか一方が他方よりも計算しやすい場合があるからです。」

このエントロピーとエネルギーの関係が、物理学の地上領域で役に立つかどうかはともかく、研究者たちは、ブラックホールとの関連でこの新たに発見された関係を探り、それが重力の性質にとって何を意味するのかを探るために、まだやるべきことがたくさんある。

「『なぜ重力は弱いのか？』という問いに答えられるなんて」とチャン氏は言った。「そもそもこの問いがホワイトボードに載っているという事実、哲学の領域を離れても正当に答えられる問いであるという事実、そしてこの問いが、ブラックホールの最も魅力的な、実証済みの事実であるエントロピーへと長い道のりで繋がっているという事実…まさにクレイジーな話だ」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。

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