新たなコンピュータによる証明が、何世紀も前の流体方程式を「覆す」

何世紀にもわたり、数学者たちは流体の運動を理解し、モデル化しようと努めてきました。池の水面に波紋が現れる様子を記述する方程式は、研究者たちが天気を予測したり、より優れた飛行機を設計したり、血液が循環器系をどのように流れるかを解明するのにも役立ってきました。これらの方程式は、適切な数学的言語で書かれると、一見すると単純なように見えます。しかし、その解は非常に複雑であるため、基本的な疑問さえも理解するのが非常に困難になることがあります。

おそらくこれらの方程式の中で最も古く、最も著名なのは、250年以上前にレオンハルト・オイラーによって定式化された、理想的な非圧縮性流体の流れを記述する方程式です。理想的な非圧縮性流体とは、粘性や内部摩擦がなく、小さな体積に押し込むことのできない流体のことです。「ほぼすべての非線形流体方程式は、オイラー方程式から派生したようなものです」と、デューク大学の数学者タレク・エルギンディ氏は述べています。「オイラー方程式こそが、最初の方程式と言えるでしょう。」

しかし、オイラー方程式については、それが常に理想的な流体の流れを正確にモデル化できるかどうかを含め、多くの未解明な点が残っています。流体力学における中心的な問題の一つは、方程式が破綻し、流体の将来の状態を予測できなくなるような無意味な値を出力することがあるかどうかを解明することです。

数学者たちは長い間、方程式を破綻させる初期条件が存在するのではないかと疑ってきました。しかし、それを証明することはできていません。

10月にオンラインに投稿されたプレプリント論文で、2人の数学者が、オイラー方程式の特定のバージョンが実際に時々破綻することを示した。この証明は大きな飛躍的進歩であり、より一般的なバージョンの方程式の問題を完全に解決したわけではないものの、そのような解決策がついに手の届くところにあるという希望を与えている。「これは驚くべき結果です」と、この研究には関与していないメリーランド大学の数学者、トリスタン・バックマスター氏は述べた。「このような結果は文献に存在しません。」

ただ一つ問題があります。

177ページに及ぶこの証明は、10年にわたる研究プログラムの成果であり、コンピューターを多用している。そのため、他の数学者による検証は困難と言えるだろう（実際、彼らはまだ検証の過程にあるが、多くの専門家は今回の新しい研究が正しいと確信している）。また、この証明は、他の数学者にとって「証明」とは何か、そして今後このような重要な問題を解く唯一の現実的な方法がコンピューターの助けを借りることだとしたら、それは何を意味するのかといった哲学的な問いにも向き合わざるを得ない。

獣の目撃

原理的には、流体中の各粒子の位置と速度がわかれば、オイラー方程式は流体の挙動を常に予測できるはずです。しかし、数学者たちは実際にそれが当てはまるかどうかを知りたいと思っています。おそらく状況によっては、方程式が予想通りに進み、ある瞬間の流体の状態を正確に表すものの、そのうちの一つの値が突然無限大にまで急上昇してしまうことがあるでしょう。その時点で、オイラー方程式は「特異点」、あるいはもっと劇的に言えば「爆発」すると言われています。

特異点に達すると、方程式はもはや流体の流れを計算できなくなります。しかし、「数年前の時点では、人々が行っていたことは（爆発を証明するには）非常に遠いものでした」と、プリンストン大学の数学者チャーリー・フェファーマン氏は述べています。

粘性を持つ流体（現実世界のほぼすべての流体がそうであるように）をモデル化しようとすると、状況はさらに複雑になります。粘性を考慮したオイラー方程式の一般化であるナビエ・ストークス方程式でも同様の破綻が生じるかどうかを証明できる人には、クレイ数学研究所から100万ドルのミレニアム賞が授与されます。

2013年、カリフォルニア工科大学の数学者トーマス・ホウ氏と、現在香港恒生大学に所属する郭羅氏は、オイラー方程式が特異点に至るというシナリオを提唱した。彼らは、円筒内の流体の上半分が時計回り、下半分が反時計回りに渦を巻くというコンピューターシミュレーションを開発した。シミュレーションを実行すると、より複雑な流れが上下に動き始めた。その結果、円筒の境界で対向する流れが交わる部分で奇妙な挙動が見られた。流体の渦度（回転の尺度）は急速に増大し、今にも爆発しそうに見えた。

Hou氏とLuo氏の研究は示唆に富むものでしたが、真の証明ではありませんでした。コンピューターが無限の値を計算することは不可能だからです。特異点に非常に近づくことはできますが、実際にそこに到達することはできません。つまり、解は非常に正確かもしれませんが、それでも近似値に過ぎないということです。数学的な証明の裏付けがなければ、渦度の値はシミュレーションの何らかのアーティファクトによって無限大に増加しているように見えるだけかもしれません。実際には、解は巨大な数にまで増大した後、再び減少してしまうかもしれません。

このような逆転現象は以前にも起こっていた。シミュレーションでは方程式の値が爆発したと示されていたのに、より洗練された計算手法ではそうではないことが示されたのだ。「こうした問題は非常に繊細なので、過去のシミュレーションの残骸が道中に散らばっているのです」とフェファーマン氏は述べた。実際、ホウ氏がこの分野で研究を始めたのはまさにこのためだった。彼の初期の研究結果のいくつかは、仮説上の特異点の形成を反証していたのだ。

それでも、エルギンディとルオが解を発表した当時、ほとんどの数学者はそれが真の特異点である可能性が高いと考えていた。「非常に綿密で、非常に精密な解でした」とミネソタ大学の数学者ウラジミール・スヴェラックは述べた。「彼らは、これが現実のシナリオであることを証明するために、本当に多大な努力を払いました。」エルギンディ、スヴェラック、そして他の研究者によるその後の研究は、その確信をさらに強固なものにした。

しかし、証明は難航した。「怪物を見つけたんだ」とフェファーマンは言った。「それから、それを捕獲しようとするんだ」。つまり、ホウとルオが綿密にシミュレーションした近似解が、数学的な意味で、方程式の厳密解に非常に近いことを示すことを意味した。

最初の目撃から9年後、ホウ氏と彼の元大学院生であるチェン・ジアジエ氏はついに、近くにある特異点の存在を証明することに成功した。

自己相似の地への移行

ホウ氏は、後にチェン氏も加わり、より詳細な分析の結果、2013年の近似解が特殊な構造を持つように見えるという事実を利用しました。方程式が時間の経過とともに変化するにつれて、解は自己相似パターンと呼ばれるものを示しました。つまり、解の形状は、特定の方法で再スケーリングされただけで、後の段階では以前の形状と非常によく似ているように見えました。

その結果、数学者たちは特異点そのものを観察する必要がなくなった。代わりに、より以前の時点に焦点を当てることで、間接的に特異点を研究することができた。解の自己相似構造に基づいて決定される適切な速度で、解のその部分にズームインすることで、特異点自体を含め、その後に何が起こるかをモデル化することができた。

2013年の爆発シナリオに類似した自己相似解を見つけるのに数年かかりました。（今年初め、バックマスター氏を含む別の数学者チームが、異なる手法を用いて同様の近似解を発見しました。彼らは現在、その解を用いて特異点形成の独立した証明を開発中です。）

近似自己相似解が得られたので、ホウ氏とチェン氏は、その近傍に厳密解が存在することを示す必要がありました。数学的には、これは近似自己相似解が安定であることを証明することと等価です。つまり、たとえそれをわずかに摂動させ、その摂動された値から方程式を展開させても、近似解の周囲の小さな近傍から逃れることはできないということです。「ブラックホールのようなものです」とホウ氏は言います。「近傍のプロファイルから始めると、吸い込まれてしまいます。」

しかし、大まかな戦略を立てることは、解決への一歩に過ぎませんでした。「細かい点が重要です」とフェファーマン氏は言います。その後数年間、ホウ氏とチェン氏は細部を詰めていく中で、再びコンピューターに頼らざるを得ないことに気づきました。しかも、今回は全く新しい方法で。

ハイブリッドアプローチ

最初の課題の一つは、証明すべき正確な命題を解明することだった。彼らは、近似解に近い任意の値の集合を方程式に代入した場合、出力が大きく逸脱することはないということを証明したかった。しかし、入力が近似解に「近い」とはどういうことだろうか？彼らはこれを数学的な命題で明確にする必要があり、この文脈における距離の概念を定義する方法は多岐にわたる。証明を成立させるには、正しい命題を選ぶ必要があった。

「様々な物理的効果を測定する必要があります」と、ジョージア工科大学の数学者ラファエル・デ・ラ・リャベ氏は述べた。「ですから、問題を深く理解した上で、測定対象を選ぶ必要があるのです。」

「近さ」を正しく記述する方法が分かった後、ホウとチェンは、その命題を証明しなければなりませんでした。それは、再スケールされた方程式と近似解の両方の項を含む複雑な不等式に帰着します。数学者たちは、これらすべての項の値が、ある非常に小さな値に釣り合うようにする必要がありました。つまり、ある値が大きくなる場合、他の値は負の値になるか、抑制される必要があるのです。

「何かを少しでも大きくしすぎたり、小さくしすぎたりすると、全体が崩れてしまいます」と、ブラウン大学の数学者ハビエル・ゴメス＝セラーノ氏は言う。「ですから、非常に慎重で繊細な作業なのです。」

「本当に激しい戦いだ」とエルギンディは付け加えた。

これらすべての異なる項について必要な厳密な境界値を得るために、ホウ氏とチェン氏は不等式を2つの主要な部分に分割しました。最初の部分は手作業で処理でき、その中には18世紀に遡る手法も含まれていました。当時、フランスの数学者ガスパール・モンジュは、ナポレオン軍の要塞建設のために土砂を運搬する最適な方法を模索していました。「このようなことは以前にも行われていましたが、ホウ氏とチェン氏がこの手法を用いたことは印象的でした」とフェファーマン氏は言います。

残るは不等式の2番目の部分だ。これに取り組むにはコンピュータの支援が必要だった。まず、膨大な計算が必要で、非常に高い精度が求められるため、「鉛筆と紙でやらなければならない作業量は膨大になるだろう」とデ・ラ・ラベ氏は述べた。様々な項のバランスを取るために、数学者たちは一連の最適化問題を実行する必要があった。これはコンピュータにとっては比較的容易だが、人間にとっては非常に時間のかかる作業だ。一部の値は近似解の値にも依存していたが、近似解はコンピュータで計算されるため、これらの追加計算もコンピュータで実行する方が簡単だった。

「こうした見積もりを手作業で行おうとすると、おそらくどこかで過大評価してしまい、結局は損をすることになります」とゴメス＝セラーノ氏は述べた。「数字は非常に小さく、厳密で…しかも、マージンは非常に小さいのです。」

しかし、コンピューターは無限の桁数を扱うことはできないため、小さな誤差は避けられません。ホウ氏とチェン氏は、それらの誤差が残りのバランス調整作業に支障をきたさないよう、注意深く追跡する必要がありました。

最終的に、彼らはすべての項の境界を見つけることができ、方程式が確かに特異点を生み出していたという証明を完了しました。

コンピュータによる証明

より複雑な方程式、例えば円筒境界のないオイラー方程式やナビエ・ストークス方程式が特異点を発現できるかどうかは依然として不明である。「しかし、この研究は少なくとも私に希望を与えてくれました」とホウ氏は述べた。「前進への道筋が見えました。もしかしたら、最終的にはミレニアム問題を完全に解決できるかもしれません。」

一方、バックマスター氏とゴメス＝セラーノ氏は、コンピューターを利用した独自の証明に取り組んでいます。彼らは、この証明がより汎用的なものになることで、ホウ氏とチェン氏が解決した問題だけでなく、他の数多くの問題にも対処できるようになることを期待しています。

こうした取り組みは、重要な問題を解決するためにコンピュータを使用するという、流体力学の分野における成長傾向を示しています。

「数学のさまざまな分野で、このような現象はますます頻繁に起きている」と南カリフォルニア大学の数学者スーザン・フリードランダー氏は言う。

しかし、流体力学において、コンピュータ支援による証明はまだ比較的新しい技術です。実際、特異点形成に関する命題に関して言えば、ホウとチェンによる証明は、その種のものとしては初めてのものです。これまでのコンピュータ支援による証明は、この分野における簡単な問題しか扱えませんでした。

プリンストン大学のピーター・コンスタンティン氏は、こうした証明は議論の余地があるというよりは「好みの問題」だと述べた。数学者の間では、証明とは、ある論理的流れが正しいことを他の数学者に納得させるものでなければならないという点で概ね一致している。しかし、証明は単にその正しさを証明するだけでなく、特定の命題がなぜ真なのかという理解を深めるものでもあるべきだと主張する者も多い。「根本的に何か新しいことを学ぶのでしょうか、それとも単に問題の答えを知っているだけなのでしょうか？」とエルギンディ氏は述べた。「数学を芸術と見なすなら、これはそれほど美的に心地よいものではないでしょう。」

「コンピューターは役に立ちます。素晴らしいです。洞察力を与えてくれます。しかし、完全な理解を与えてくれるわけではありません」とコンスタンティン氏は付け加えた。「理解は私たち自身から生まれるのです。」

一方、エルギンディ氏は依然として、爆発の代替証明を完全手作業で実現したいと考えている。「この方法が存在することに、私は概ね満足しています」と、ホウ氏とチェン氏の研究について語った。「しかし、私はこれを、よりコンピュータに依存しない方法で証明しようと試みるモチベーションとして捉えています。」

他の数学者たちは、コンピューターを、これまで解決不可能だった問題への挑戦を可能にする重要な新ツールと捉えています。「もはや紙と鉛筆だけで仕事をする時代ではありません」とチェン氏は言います。「より強力なツールを使うという選択肢もあるのです。」

フェファーマン氏や他の人々（エルギンディ氏も含むが、エルギンディ氏は個人的には手書きの証明を好む）によると、流体力学における大きな問題、つまりますます複雑な方程式を伴う問題を解く唯一の方法は、コンピュータの支援に大きく依存する可能性が高いという。「コンピュータ支援による証明を多用せずにこれを試みることは、片手、あるいは両手を後ろで縛るようなものだと私は思います」とフェファーマン氏は述べた。

もしそれが事実で、「他に選択肢がない」のであれば、私のように「これは最適ではない」と言うような人たちは黙っているべきだ、とエルギンディは言った。それはまた、より多くの数学者がコンピュータ支援による証明を書くためのスキルを習得し始める必要があることを意味する。ホウとチェンの研究は、そのきっかけとなることを願っている。「多くの人が、誰かがそのような問題を解決するのを待っていて、このアプローチに自分の時間を投資するのを待っていたと思います」とバックマスターは言った。

とはいえ、数学者がコンピューターにどの程度依存すべきかという議論においては、「どちらか一方を選ぶ必要はない」とゴメス＝セラーノ氏は述べた。「（ホウ氏とチェン氏の）証明は解析なしには成立しないし、コンピューターの支援なしには証明も成立しない。…重要なのは、人々が二つの言語を話せるようになることだと思う」

デ・ラ・レイヴ氏は「これで街に新しいゲームが誕生した」と語った。

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。