ジョニー・ノックスビルの物理学、人間砲弾

2021年8月13日午前9時

ジャッカス・フォーエバーが、さらにバカなスタントを携えて帰ってきた。物理法則は家で試してね。

10月公開予定の『ジャッカスフォーエバー』の予告編が先日公開されました。ジョニー・ノックスビル、スティーブ・O、そして仲間たちがかなりバカなことをする『ジャッカス』シリーズの最新作です。もう若くはないですが、それでも彼らは止まりません。確かに面白いかもしれませんが、彼らがどれだけの怪我をするのか考えてしまいます。

せっかくのスタントマンなのだから、最大限に活用しよう。予告編でノックスビルが大砲から撃ち出され、まるで飛べるかのように翼をつけた姿のスタントシーンを例に挙げよう。（ヒント：実際には飛べない。でもご安心を。湖に着地するんだ。）確かに、大砲から自分自身を撃ち出すのはちょっと滑稽だが、物理学上の重要な疑問を解き明かしてくれる。

ビデオ分析

まずはデータから始めましょう。動画分析を使えば、動画の各フレームにおけるノックスビルの位置と時間データを取得できます。方法はいくつかありますが、私はTracker Video Analysisが特に気に入っています。（しかも無料です。）

もちろん、いくつか対処すべき問題があります。ノックスビルが大砲から発射される際、カメラがパンとズームを繰り返しているにもかかわらず、背景にある物体の大きさを特定し、固定された原点の位置を追跡する必要があります。原点の特定にはTracker Video Analysisが役立ちますが、動画に映っている物体の大きさを知る必要があります。彼らが使用している大砲は、人気人間キャノンボール芸人のデイブ・「ザ・バレット」・スミスが使用しているものと同じではないかと推測しています。見た目は同じで、全長は35フィート（約10メートル）と記載されているので、この大砲で撮影することにします。

参照フレームを移動して調整した後、ノックスビルの位置をマークしてすべてのデータを取得できます。これは、彼の水平位置を時間の関数としてプロットしたものです。

彼の垂直位置を時間の関数としてプロットしたものも持っています。

これら 2 つのグラフは、いくつかの差し迫った物理学の質問に答えるときに非常に役立ちます。

これは本当に本当なのか？

これは当然の質問だと思います。なぜなら、ネット上には明らかに偽物が溢れているからです。（偽動画の見分け方について詳しく知りたい方は、こちらに書きました。）今回のケースでは、ロバが実際に典型的な発射物のように動いているかどうかを計算できます。

物体を地面から打ち上げると、基本的に作用する力は一つだけです。それは、下向きに引っ張る重力です。この重力は、物体の質量（m）と重力場（g = 9.8ニュートン/キログラム）の積に等しいです。これが唯一の力であるため、物体の垂直加速度は-9.8メートル毎秒の2乗に等しいはずです。水平方向の力がない場合は、物体の水平速度は一定です。

これで、これら 2 つの点を確認できます。

上記の x 位置データを見ると、x 速度が次のように定義されているため、線形関数のように見えることがわかります。

しかし、位置-時間グラフでは、位置の変化を時間の変化で割ったものが傾きでもあります。そこから2つのことがわかります。1つは、水平方向の動きは一定速度であるということです。2つ目が、この水平方向の速度の値が毎秒10.09メートル（時速22.6マイル）であるということです。

垂直方向の動きはどうでしょうか？一定の加速度があるため、垂直方向の位置は次の運動方程式と一致するはずです（y ₂は最終位置、y _{1 は}開始位置です）。

重要なのは、これが放物線の方程式であるということです。動画の垂直位置データを見直すと、少なくともかなり放物線状になっているように見えます。さらに良いことに、t ²項の前の係数は加速度を2で割った値であるはずです。放物線近似を用いると、垂直加速度は-11.54 m/s ²となります。確かにこれは期待値の-9.8 m/s 2ではありませんが、非常に近い値です。（大砲の長さのスケールが少しずれている可能性があります。）

ノックスビルのX軸の動きもY軸の動きも、物理法則に反していません。ということは、この動画は本物なのでしょうか？いいえ、偽物の可能性はありますが、個人的には本物だと思います。こういう映画の醍醐味は、馬鹿げたスタントをすることにあるのですから。

彼は大砲からどれくらいの速さで打ち上げられたのでしょうか?

ノックスビルが大砲から離れた瞬間、彼は水平方向（x）と垂直方向（y）の両方向に移動しています。水平方向の速度は既にわかっているので、必要なのは速度の垂直方向成分だけです。

しかし、発射角度だけで全速度（速度ベクトルの大きさと呼びます）を求める方法があります。動画を確認し、Tracker Video Analysisの分度器ツールを使うと、大砲は水平から52度傾いているように見えます。水平速度と垂直速度は直交しているので、次の直角三角形を描くことができます。

これは直角三角形なので、余弦は隣接辺（v _x）と斜辺（v total ）の比として使えます。v _xと角度は分かっているので、これで計算できます。つまり、合計の打ち出し速度は17.7 m/s（39.6 mph）になります。確かにかなり速いですね。プロが投げる野球ボールよりは遅いですが、走るよりは速いです。この打ち出し速度は、他の質問に答えるのに役立つでしょう。

彼はどこまで行ったのか？

予告編では、大砲から撃たれた後のノックスビルの動き全体が映っていませんが、問題ありません。この距離を求めるには、発射体の運動方程式を使えます。

あらゆる投射物の運動問題における鍵は、水平方向の運動と垂直方向の運動が時間を除いて独立していることです。つまり、この投射物である人間を見て、その垂直方向の位置と垂直方向の速度だけを考えればよいのです。そして、この水平方向の運動に要した時間の合計を用いて、彼が水面に着水した場所を見つけることができます。

垂直方向から始めましょう。水位をy = 0メートルとすると、開始時のy位置を概算する必要があります。動画を見ると、大砲は水面から約9メートル上に浮かんでいるように見えます。発射角度と速度の大きさから、初期の垂直速度を求めることができます。（ほら、役に立つって言ったでしょ？）これで、y速度は13.9 m/sとなります。等加速度運動方程式（垂直加速度は-g）に戻り、最終的なy位置を0メートル（水面）とすると、次のようになります。

これは解くのが全く簡単な方程式ではありません。問題は、定数項、 tの項、そしてt ²の項があることです。実際には、解を得るには二次方程式を使うしかありません。詳細は省きますが、この方法では動きの時間が2つ得られます。-0.54秒と3.4秒です。移動時間は実際には負にはなり得ないので、3.4秒という時間を採用することになります。

次に、この時間と一定の水平速度を使って、水平方向の移動距離を求めます。開始時のX座標を0メートルとしましょう。つまり、以下の式が得られます。

時間とx速度の値から、着地距離は37メートル（121.4フィート）となります。湖がこれより大きければいいのですが、そうでなければノックスビルは楽な時間を過ごせないでしょう。

打ち上げられたらどんな感じでしょうか?

大砲の中にいる人は、砲身の届く距離だけで0m/sから17.7m/sまで速度を上げなければなりません。それで死ぬのでしょうか？まあ、この場合は当然死にませんでしたが、ノックスビルを前進させる力を計算してみましょう。まずは図を見てみましょう。

人間が位置1（チューブの底）から位置2（チューブから出る）へ移動するという問題を扱っているので、この問題は仕事-エネルギー原理を用いて最もよく解決できます。この原理によれば、物体に与えられた仕事は、（大砲からの）力と、その力が作用した距離（この場合はL）の積に等しいとされます。

物体に仕事を行うと、その物体のエネルギーが変化します。ここでは、高さに依存する重力による位置エネルギー（ U ）と、速度に依存する運動エネルギー（ K ）の2種類のエネルギーが存在します。

位置1のy座標を0メートルに設定します。もちろん、位置1での速度も0です。これらをすべてまとめると、仕事とエネルギーの関係は次のようになります。

大砲の長さ（射撃部分は6メートル）と発射角度（52度）を使用して、位置2のy値を取得できます。

これらをすべて合計し、ジョニーの質量を82キログラム（180ポンド）とすると、押す力は2,774ニュートンになります。この力を彼の質量で割ると、彼の平均加速度は約33.8 m/s ²となります。

加速度は「g」で表すことが多いのですが、1 g = 9.8 m/s ²です。つまり、この大砲の打ち上げは3.5 gになります。これはそれほどひどい値ではありません。これは、ロケットに乗った人間の加速度、あるいは高速ジェットコースターに乗った時の急降下感くらいです。（ちなみに、NASAは人間の重力加速度に対する耐性に関する多くのデータを保有しています。）

つまり、「ジャッカスフォーエバー」のスタントは馬鹿げていて子供っぽいかもしれないが、物理的には本物であり、楽しいのです。

WIREDのその他の素晴らしい記事