円周率のような数値を近似する方法を示す主要な証明

数直線の奥深くは、見た目ほど恐ろしいものではない。これは、複雑な数がいかにして単純な近似値に収束するかを示す、新たな重要な証明の一つである。

この証明は、ダフィン＝シェーファー予想として知られる約80年来の問題を解明するものです。これにより、古代から数学者を悩ませてきた疑問に最終的な答えが与えられます。それは、「円周率のように永遠に続く無理数を、どのような状況下で22/7のような単純な分数で表すことが可能なのか」という問いです。この証明は、この非常に一般的な疑問の答えが、たった一つの計算の結果にかかっていることを明らかにしています。

「実質的にあらゆる数を近似できるか、あるいは実質的に全く数を近似できないかを判断するための簡単な基準がある」と、モントリオール大学のディミトリス・コウクロプロス氏とともに証明の共著者であるオックスフォード大学のジェームズ・メイナード氏は述べた。

数学者たちは数十年にわたり、この単純な基準が、良好な近似値が得られるかどうかを理解する鍵となるのではないかと考えていたが、証明することはできなかった。コウクロプロスとメイナードは、この問題をグラフ上の点と線のつながりという観点から捉え直すことで、初めて証明に成功した。これは、視点を劇的に転換する試みだった。

「彼らは、彼らが選んだ道を進むにあたり、非常に大きな自信を持っていたと言えるでしょう。それは明らかに正当なものでした」と、ダフィン＝シェーファー予想に関する重要な初期成果に貢献したテキサス大学オースティン校のジェフリー・ヴァーラー氏は述べた。「素晴らしい研究成果です。」

算数のエーテル

有理数は扱いやすい数です。有理数と分数で表せる他のすべての数が含まれます。

有理数はこのように書き記しやすいため、私たちにとって最も馴染み深い数となっています。しかし、有理数は実際にはすべての数の中で稀な存在です。大多数は無理数、つまり分数で表すことのできない終わりのない小数です。円周率、e、2の平方根など、記号表現に値するほど重要な数もごくわずかですが、残りは名前すら付けられません。それらはどこにでも存在しながらも触れることのできない、算術のエーテルなのです。

では、無理数を正確に表現できないのであれば、どれほど近づけることができるのだろうか、と疑問に思うのも当然かもしれません。これは有理近似の問題です。例えば、古代の数学者たちは、円周と直径の比という捉えどころのない数値が、22/7という分数で十分に近似できることを認識していました。その後の数学者たちは、円周率について、さらに優れた、ほぼ同程度に簡潔な近似値、355/113を発見しました。

「円周率とは何かを書き記すのは難しい」とオックスフォード大学のベン・グリーンは言う。「人々が試みてきたのは、円周率の明確な近似値を見つけることで、そのための一般的な方法の一つが有理数を使うことだ。」

1837年、数学者ギュスターヴ・ルジューン・ディリクレは、無理数を有理数でどの程度近似できるかに関する規則を発見しました。誤差をあまり気にしない限り、近似値を求めるのは簡単です。しかし、ディリクレは分数、無理数、そして両者を隔てる誤差の間に、明確な関係があることを証明しました。

彼は、あらゆる無理数に対して、その数を限りなく近似する分数が無数に存在することを証明しました。具体的には、各分数の誤差は、分母の2乗で割った1以下です。例えば、分数22/7は円周率を1/7 ²、つまり1/49以内に近似します。分数355/113は1/113 ²、つまり1/12,769以内に近似します。ディリクレは、分数の分母が大きくなるにつれて円周率に近づく分数が無数に存在することを証明しました。

「実数を分数で近似することができ、その誤差が分母の2乗分の1以下であるというのは、実に美しく、注目すべきことだ」とモントリオール大学のアンドリュー・グランビル氏は語った。

ディリクレの発見は、ある意味では、有理近似に関する限定的な主張でした。分母が任意の整数で、かつ分母の2乗分の1の誤差を許容できるならば、各無理数に対して無限の数の近似分数を見つけることができる、というものでした。しかし、分母を整数の（やはり無限の）部分集合、例えばすべての素数やすべての完全平方数から取りたい場合はどうなるでしょうか？また、近似誤差を0.00001、あるいは任意の値にしたい場合はどうでしょうか？そのような特定の条件下で、無限の数の近似分数を作り出すことに成功するでしょうか？

ダフィン＝シェーファー予想は、有理近似を考えるための最も一般的な枠組みを提供しようとする試みです。1941年、数学者RJダフィンとACシェーファーは、次のようなシナリオを構想しました。まず、分母の無限に長いリストを選びます。これは何でも構いません。すべて奇数、すべて10の倍数、あるいは無限の素数リストなどです。

次に、リストにあるそれぞれの数値について、無理数をどの程度近似したいかを決めます。直感的に、誤差をかなり大きく許容すれば、近似値を求める可能性が高くなります。誤差を小さくすると、近似値は難しくなります。「十分な余裕があれば、どんな数列でもうまくいきます」とコウクロプロス氏は言います。

さて、設定したパラメータ（シーケンス内の数値と定義された誤差項）に基づいて、次のことを知りたいと思います。すべての無理数を近似する分数が無限に存在するでしょうか？

この予想は、この問題を評価するための数学関数を提供します。パラメータが入力として入力されます。その結果は2つのどちらかになります。ダフィンとシェーファーは、この2つの結果は、数列が要求された精度でほぼすべての無理数を近似できるか、それともほぼ全く近似できないか、まさにそれに対応すると予想しました。（「ほぼ」すべてか全くないかというのは、分母の集合がどのようなものであっても、十分に近似できる、あるいは近似できない外れ値の無理数が常にごくわずかに存在するためです。）

「実質的に全てを手に入れるか、実質的に何も手に入れないかのどちらかです。中間の選択肢は全くありません」とメイナード氏は語った。

これは、有理近似の縦糸と横糸を特徴づけようとする極めて一般的な記述でした。ダフィンとシェーファーが提唱した基準は、数学者にとって正しいと感じられました。しかし、この関数の2値の結果だけで、近似が成立するかどうかを判断できるということを証明するのは、はるかに困難でした。

二重カウント

ダフィン＝シェーファー予想を証明するには、利用可能な分母それぞれからどれだけの利益が得られるかを正確に理解することが重要です。これを理解するには、問題の縮小版を考えてみると役立ちます。

0から1までのすべての無理数を近似したいとします。そして、分母として1から10までの数を使えるとします。可能な分数のリストはかなり長くなります。まず1/1、次に1/2、2/2、そして1/3、2/3、3/3と続き、9/10、10/10まで続きます。しかし、これらの分数のすべてが役に立つわけではありません。

例えば、分数2/10は分数1/5と同じであり、分数5/10は分数1/2、分数2/4、分数3/6、分数4/8と同じ意味を持ちます。ダフィン＝シェーファー予想以前に、アレクサンドル・ヒンチンという数学者が、有理数近似について同様に包括的な命題を定式化していました。しかし、彼の定理は、同値な分数は1回しか数えられないという事実を考慮していませんでした。

「通常、小学校1年生レベルの数学が解答に影響を与えることはないはずです」とグランビル氏は述べた。「しかし、今回の場合は驚くべきことに、それが結果に影響を与えたのです。」

ダフィン＝シェーファー予想には、各分母から得られる分数の個数（既約分数とも呼ばれる）を計算する項が含まれています。この項は、18世紀の数学者レオンハルト・オイラーにちなんで、オイラーのファイ関数と呼ばれています。10のオイラーのファイ関数は4です。これは、10を分母とする0と1の間の既約分数は、1/10、3/10、7/10、9/10の4つしかないためです。

次のステップは、それぞれの約分数でいくつの無理数を近似できるかを計算することです。これは、どの程度の誤差を許容できるかによって異なります。ダフィン＝シェーファー予想では、分母ごとに誤差を選択できます。例えば、分母が7の分数の場合、許容誤差を0.02に設定できます。分母が10の場合は、さらに大きな誤差を予想して0.01に設定できます。

分数を特定し、誤差項を設定したら、無理数を探し出す番です。分数を0と1の間の数直線上にプロットし、誤差項を分数の両側から伸びる網として描きます。網にかかった無理数はすべて、設定した項に基づいて「よく近似」されていると言えます。問題は、そして大きな問題は、一体いくつの無理数を捕まえたのかということです。

数直線上の任意の区間には無限の数の無理数が含まれるため、取り囲まれた無理数は正確な数として表現できません。数学者は代わりに、各分数が無理数の総数に占める割合を求めます。彼らはこれらの割合を、一連の数の「測度」と呼ばれる概念を用いて定量化します。これは、魚の漁獲量を魚の数ではなく総重量で定量化するようなものです。

ダフィン＝シェーファー予想は、近似分数それぞれが捉える無理数集合の測度を合計するというものです。この数は大きな算術和として表されます。そして、重要な予測が立てられます。その和が無限大に伸びる場合、事実上すべての無理数を近似していることになります。逆に、その和が有限値で止まる場合、どんなに多くの測度を足し合わせても、事実上すべての無理数を近似していないことになります。

無限和が無限大に「発散」するのか、それとも有限値に「収束」するのかという問題は、数学の多くの分野で提起されます。ダフィン＝シェーファー予想の主な主張は、分母と許容誤差項の集合が与えられた場合、ほぼすべての無理数を近似できるかどうかを知りたい場合、その測度の無限和が無限大に発散するのか、それとも有限値に収束するのかという点だけを知っていればよいというものです。

「結局のところ、各分母の近似度合いをどのように決定したかに関係なく、成功したかどうかは、関連する無限列が発散するかどうかにのみ依存します」とヴァーラー氏は述べた。

解決策を計画する

もしかしたら、「ある分数で近似した数値が、別の分数で近似した数値と重なったらどうなるの？」と疑問に思うかもしれません。その場合、測定値を合計する際に二重にカウントしてしまうことになるのではないでしょうか？

いくつかの近似列では、二重カウントの問題はそれほど重要ではありません。例えば、数学者は数十年前に、すべて素数からなる近似列についてはこの予想が成り立つことを証明しました。しかし、他の多くの近似列では、二重カウントの問題は困難なものとなります。これが、数学者が80年間もこの予想を解けなかった理由です。

異なる分母が無理数の重なり合う範囲は、分母に共通する素因数の数に反映されます。12と35を考えてみましょう。12の素因数は2と3です。35の素因数は5と7です。言い換えれば、12と35には共通の素因数がないため、分母に12と35を含む分数でうまく近似できる無理数には、あまり重なり合いがありません。

しかし、分母12と20はどうでしょうか？20の素因数は2と5で、12の素因数と重なっています。同様に、分母20の分数で近似できる無理数は、分母12の分数で近似できる無理数と重なっています。ダフィン＝シェーファー予想は、このような状況、つまり近似数列の数が多くの小さな素因数を共有し、各分母が近似する数の集合間に多くの重なりがある場合に証明するのが最も困難です。

「選択しなければならない分母の多くに小さな素因数がたくさんあると、それらが互いに邪魔になり始める」とオックスフォード大学のサム・チョウ氏は語った。

この予想を解く鍵は、多くの小さな素因数を共有する分母で近似された無理数の集合における重なりを正確に定量化する方法を見つけることでした。80年間、誰もそれを成し遂げることができませんでした。コウクロプロスとメイナードは、この問題を全く異なる視点から考察することで、この問いに辿り着きました。

新たな証明では、分母を点としてプロットし、多くの素因数を共有する場合は点を線で結ぶことでグラフを作成します。このグラフの構造は、各分母で近似された無理数間の重なりをコード化しています。この重なりを直接分析することは困難ですが、コウクロプロスとメイナードはグラフ理論の手法を用いてグラフの構造を解析する方法を発見しました。そして、そこから彼らが関心のある情報が導き出されました。

「グラフは視覚的な補助であり、問​​題について考えるための非常に美しい言語です」とコウクロプロス氏は述べた。
コウクロプロス氏とメイナード氏は、ダフィン＝シェーファー予想が実際に正しいことを証明した。許容誤差項を含む分母のリストが与えられた場合、各分数の周囲の測度の和が無限大に発散するか有限値に収束するかを確認するだけで、事実上すべての無理数を近似できるのか、それとも事実上全く無理数を近似できないのかを判断できるのだ。

これは、有理近似の性質に関する広大な問いを、単一の計算可能な値へと凝縮する、洗練されたテストです。このテストが普遍的に成立することを証明することで、コウクロプロスとメイナードは数学において最も稀有な偉業の一つを成し遂げました。彼らは、彼らの分野における根本的な懸念に最終的な答えを与えたのです。

「彼らの証明は必要かつ十分な結果だ」とグリーン氏は述べた。「これで一つの章が終わったと言えるだろう」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。

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