数学者、隠された数字の「陰謀」を暴く

新たな証明により、数学者たちが数直線に潜むかもしれないと恐れていた陰謀が暴かれた。これにより、数学の基本的な構成要素である素数を理解するための新たなツールが数学者たちにもたらされた。

ドイツのゲッティンゲン大学のハラルド・ヘルフゴット氏とカリフォルニア工科大学のマクシム・ラジヴィウ氏は、昨年3月に投稿した論文で、整数間の関係性に関する問題であるチョウラ予想の特定の定式化に対する改良された解を提示した。

この予想は、ある整数の素因数が偶数か奇数かは、次または前の整数の素因数が偶数か奇数かには影響を与えないと予測する。つまり、隣接する数同士は、その最も基本的な算術的性質のいくつかについて共謀しないということである。

一見単純なこの問いは、素数そのものに関する数学における最も深遠な未解決問題と絡み合っている。カリフォルニア大学ロサンゼルス校のテレンス・タオ氏は、チョウラ予想の証明は、より難解な問題への解答への「一種のウォーミングアップ、あるいは足がかり」だと述べた。

しかし、何十年もの間、その準備段階自体がほぼ不可能な課題でした。数学者が進歩を遂げたのは、タオが対数的チョウラ予想と呼ばれる問題のより容易なバージョンを証明した数年前のことでした。彼が用いた手法は革新的で刺激的だと称賛されたものの、得られた結果は、素数に関する問題を含む関連問題のさらなる進展に役立つほどの精度ではありませんでした。数学者たちは、より強力でより広く適用可能な証明を期待していました。

今、ヘルフゴットとラジヴィウはまさにそれを実現した。グラフ理論の手法を数論の核心に真正面から押し込んだ彼らの解決策は、チョウラ予想がその期待に応えるという希望を再び燃え上がらせた。そして最終的に、数学者たちを最も難解な問題に立ち向かうために必要なアイデアへと導くだろう。

陰謀論

数論の最も重要な問題の多くは、数学者が素数に関して乗算と加算がどのように関係するかを考えるときに生じます。

素数自体は掛け算によって定義されます。素数はそれ自身と1以外の数では割り切れず、それらを掛け合わせると残りの整数が構成されます。しかし、素数に関する加法的な問題は、何世紀にもわたって数学者を悩ませてきました。例えば、双子素数予想は、差がわずか2（11と13など）の素数が無限に存在するというものです。この問題が難解なのは、通常は互いに独立して行われる2つの算術演算を結びつけているからです。

「2つの世界を混ぜるのは難しい」とブリストル大学のオレクシー・クルマン氏は語った。

数学者は直感的に、ある数に2を加えるとその乗法構造が完全に変化するはずだと考えます。つまり、ある数が素数であるかどうか（乗法の性質）と、2単位離れた数が素数であるかどうか（加法の性質）の間には相関関係がないはずです。数論学者は、そのような相関関係の存在を示唆する証拠を見つけていませんが、証明がなければ、将来そのような相関関係が現れる可能性を排除することはできません。

「我々の知る限り、ある数nが素数であると決めるたびに、その隣の数n +2との間で、もう素数であってはならないという秘密協定を結んでいるという、大規模な陰謀があるのか​​もしれない」とタオ氏は語った。

このような陰謀論を否定できる者は誰もいない。だからこそ1965年、サルヴァダマン・チョウラは、近接する数の関係性を考えるための、やや容易な方法を考案した。彼は、ある整数の素因数が偶数か奇数か（素因数の「パリティ」と呼ばれる条件）が、隣接する整数の素因数の数にいかなる偏りも与えないはずであることを示したかったのだ。

この命題は、しばしばリウヴィル関数の観点から理解されます。リウヴィル関数は、整数が奇数の素因数を持つ場合（例えば12は2 × 2 × 3に等しい）、その整数が偶数の素因数を持つ場合（例えば10は2 × 5に等しい）、その整数に+1を割り当てます。この予想は、リウヴィル関数が連続する数に対して取る値の間には相関がないはずであると予測します。

素数を研究する最先端の手法の多くは、パリティの測定となると破綻します。そして、まさにこれがチョウラ予想の本質です。数学者たちは、この予想を解くことで、双子素数予想のような問題にも応用できるアイデアが生まれることを期待していました。

しかし、何年もの間、それは単なる空想的な希望に過ぎませんでした。そして2015年、すべてが変わりました。

分散するクラスター

フィンランド、トゥルク大学のラジヴィウとカイサ・マトマキは、チョウラ予想を解こうとしたわけではなかった。彼らは、リウヴィル関数の短い区間における挙動を研究しようとした。彼らは既に、関数の平均値が+1と-1の値が半分ずつであることは知っていた。しかし、値が集中し、+1または-1の値が長時間集中する可能性は依然として残っていた。

2015年、マトマキとラジヴィウは、そのようなクラスターはほとんど発生しないことを証明しました。翌年に発表された彼らの研究によると、ランダムに選んだ数に、例えばその100個または1000個の最近傍数を重ねてみると、およそ半分は素因数が偶数個、半分は奇数個であることが示されました。

「それがパズルの欠けていた大きなピースだった」とモントリオール大学のアンドリュー・グランビル氏は語った。「彼らは信じられないほどの飛躍的進歩を遂げ、この分野全体に革命をもたらしたのだ。」

これは、数字が大規模な陰謀に加担していないことを示す強力な証拠だった。しかし、チョウラ予想は最も微細なレベルの陰謀に関するものだ。そこでタオが介入した。数ヶ月のうちに、彼はマトマキとラジヴィウの研究を基に、より研究しやすいバージョンの問題、すなわち対数チョウラ予想に取り組む方法を見出した。この定式化では、小さな数に大きな重みが与えられ、大きな整数と同じ確率でサンプリングされる。

タオは対数的チョウラ予想の証明がどのように進むかについて、あるビジョンを持っていた。まず、対数的チョウラ予想は誤り、つまり連続する整数の素因数の数の間に実際に陰謀が存在すると仮定する。次に、そのような陰謀が拡大可能であることを証明しようとする。チョウラ予想の例外は、連続する整数間の陰謀だけでなく、数直線の全域にわたるはるかに大規模な陰謀を意味することになる。

そうすれば、ラジヴィウとマトマキによる以前の結果、まさにこの種の大規模な陰謀を排除する結果を利用することができるだろう。チョウラ予想の反例は論理的矛盾を示唆する。つまり、チョウラ予想は存在し得ず、予想は真でなければならないということだ。

しかし、タオがそれを実現する前に、数字を結びつける新しい方法を考え出さなければなりませんでした。

嘘の網

タオは、リウヴィル関数の特徴的な性質を利用することから始めました。2と3を考えてみましょう。どちらも素因数が奇数なので、リウヴィル値は-1です。しかし、リウヴィル関数は乗法関数であるため、2と3の倍数も互いに同じ符号パターンを持ちます。

この単純な事実は重要な意味合いを帯びています。もし2と3が何らかの秘密の陰謀によって奇数の素因数を持つのであれば、4と6の間にも陰謀があるはずです。4と6の差は1ではなく2です。さらに状況は悪化します。隣接する整数間の陰謀は、その倍数同士のあらゆる組み合わせ間にも陰謀があることを意味します。

「どの首相にとっても、こうした陰謀は広がるだろう」とタオ氏は語った。

この拡大する陰謀をより深く理解するために、タオはグラフ、つまり辺で結ばれた頂点の集合体として考えました。このグラフでは、各頂点は整数を表します。2つの数が素数だけ異なり、かつその素数で割り切れる場合、それらは辺で結ばれています。

例えば、素数7、11、13で割り切れる数1001を考えてみましょう。タオグラフでは、この数は1008、1012、1014（加算）と、994、990、988（減算）と辺を共有しています。これらの数はそれぞれ、他の多くの頂点と繋がっています。

まとめると、これらのエッジはより広範な影響ネットワークをエンコードします。接続された数字は、1 つの整数の因数分解が実際に別の整数の因数分解にバイアスをかけるという Chowla の予想の例外を表します。

対数版のチョウラ予想を証明するために、タオはこのグラフの接続数が多すぎて、リウヴィル関数の値を現実的に表現できないことを示す必要がありました。グラフ理論の用語で言えば、これは彼が作成した相互接続された数のグラフが特定の性質、つまり「拡張グラフ」であることを示すことを意味します。

エクスパンダーウォーク

 エクスパンダーは、陰謀の範囲を測る理想的な尺度です。頂点数に比べて辺の数は比較的少ないものの、高度に連結されたグラフです。そのため、グラフの他の部分とあまり相互作用しない、相互接続された頂点のクラスターを作成することは困難です。

タオ氏が、彼のグラフが局所的拡張子であること、つまりグラフ上の任意の近傍がこの特性を持っていることを証明できれば、チョウラ予想の単一の違反が数直線上に広がることを証明することになるが、これはマトマキとラジヴィウの 2015 年の結果の明らかな違反となる。

「相関関係がある唯一の方法は、人口全体がその相関関係を共有している場合です」とタオ氏は語った。

グラフが拡張グラフであることを証明することは、多くの場合、その辺に沿ったランダムウォークを研究することにつながります。ランダムウォークでは、各ステップは偶然に決定されます。まるで街を歩き回り、交差点ごとにコインを投げて左折か右折かを決めるようなものです。街の通りが拡張グラフを形成している場合、比較的少ないステップのランダムウォークをすることで、ほぼどこにでも到達できます。

しかし、タオのグラフ上のランダムウォークは奇妙で回りくどい。例えば、1,001から1,002に直接ジャンプすることは不可能で、少なくとも3ステップかかる。このグラフ上のランダムウォークは、ある整数から始まり、それを割り切るランダムな素数を足し算または引き算し、別の整数へと移動する。

このプロセスを数回繰り返すだけで、与えられた近傍内の任意の点に到達できるかどうかは明らかではありません。グラフが本当に拡張グラフであるならば、当然そうなるはずです。実際、グラフ上の整数が十分に大きくなると、ランダムパスをどのように作成するかさえ明確ではなくなります。数を素因数に分解すること、つまりグラフの辺を定義することは、非常に困難になります。

「四球の数を数えるのは恐ろしいことだ」とヘルフゴット氏は語った。

タオ氏がグラフがエクスパンダーであることを証明しようとしたとき、「少し難しすぎた」と彼は語った。彼は代わりに、エントロピーと呼ばれるランダム性の尺度に基づいた新しいアプローチを開発した。これにより、エクスパンダーの性質を示す必要性を回避できたが、それには代償があった。

彼は対数的チョウラ予想を解くことはできたが、期待していたほどの精度ではなかった。この予想の理想的な証明では、整数間の独立性は、たとえ数直線上の小さな部分であっても、常に明らかであるはずだ。しかし、タオの証明では、その独立性は天文学的な数の整数をサンプリングするまで明らかにならない。

「量的にはそれほど強力ではありません」とトゥルク大学のジョニ・テラヴァイネン氏は言う。

さらに、彼のエントロピー法を他の問題にどのように拡張するかは明らかではありませんでした。

「タオの研究は完全なる飛躍的進歩だった」とオックスフォード大学のジェームズ・メイナード氏は語った。しかし、こうした限界のせいで、「双子素数予想のような問題の解決に向けて自然な次のステップにつながるようなものを与えることは到底できなかった」

5年後、ヘルフゴットとラジヴィウはタオができなかったことを成し遂げた。タオが特定した陰謀をさらに拡大したのだ。

陰謀の強化

タオは、二つの整数の差が素数で、かつその素数で割り切れる場合、その二つの整数を結ぶグラフを構築した。ヘルフゴットとラジヴィウは、この二つ目の条件を取り除いた、新しい「素朴な」グラフを考案した。このグラフでは、一方から他方を引いた結果が素数になる場合にのみ、二つの整数が繋がる。

その効果は、辺の爆発的な増加でした。この単純なグラフでは、1,001 は他の頂点と6つではなく、数百の接続を持っていました。しかし、このグラフは重要な点においてタオのグラフよりもはるかに単純でした。辺に沿ってランダムウォークを行うのに、非常に大きな整数の素因数を知る必要がなかったのです。このことと、辺の密度が高いことと相まって、単純なグラフの任意の近傍がエクスパンダー特性、つまり任意の頂点から任意の頂点へ、少数のランダムステップで移動できる可能性が高い特性を持つことを、はるかに容易に証明できました。

ヘルフゴットとラジヴィウは、この素朴グラフがタオのグラフを近似することを示す必要がありました。もし2つのグラフが類似していることを示すことができれば、自分たちのグラフを見ることでタオのグラフの性質を推測できるでしょう。そして、彼らは既に自分たちのグラフが局所的拡大グラフであることを知っていたので、タオのグラフも局所的拡大グラフであると結論付けることができました（したがって、対数的チョウラ予想は正しいと結論付けられました）。

しかし、素朴なグラフには Tao のグラフよりも多くのエッジがあったため、類似性は、たとえあったとしても、埋もれてしまいました。

「これらのグラフが似ていると言うとき、それは一体どういう意味ですか？」とヘルフゴット氏は言う。

隠された類似点

表面的にはグラフは似ていないように見えますが、ヘルフゴットとラジヴィウは2つの視点を変換することで、グラフが互いに近似していることを証明しようと試みました。1つはグラフをグラフとして捉え、もう1つは行列と呼ばれるオブジェクトとして捉えたのです。

まず、各グラフを行列、つまり頂点間の接続を表す値の配列として表現しました。次に、素朴グラフを表す行列とタオのグラフを表す行列を減算しました。その結果、2つのグラフの差を表す行列が得られました。

ヘルフゴットとラジヴィウは、この行列に関連付けられた特定のパラメータ（固有値と呼ばれる）がすべて小さいことを証明する必要がありました。これは、エクスパンダーグラフの特徴として、関連付けられた行列が1つの大きな固有値を持ち、残りの固有値はそれよりも大幅に小さいことが挙げられるためです。もしタオのグラフが、ナイーブなグラフと同様にエクスパンダーであれば、やはり1つの大きな固有値を持つことになります。そして、これら2つの大きな固有値は、一方の行列をもう一方の行列から減算するとほぼ打ち消され、すべて小さな固有値の集合が残ります。

しかし、固有値そのものを研究するのは困難です。この行列のすべての固有値が小さいことを証明する同等の方法は、グラフ理論に立ち返ることです。そこでヘルフゴットとラジヴィウは、この行列（彼らの単純なグラフを表す行列とタオのより複雑なグラフを表す行列の差）をグラフそのものに変換しました。

そして彼らは、このグラフには、一定の長さを持ち、いくつかの他の特性を満たす、出発点に戻るランダムウォークがほとんど含まれていないことを証明した。これは、タオのグラフ上のランダムウォークのほとんどが、ナイーブなエクスパンダーグラフ上のランダムウォークを本質的に打ち消していることを意味していた。つまり、前者は後者によって近似でき、したがって両方ともエクスパンダーである。

前進への道

ヘルフゴットとラジヴィウによる対数チョウラ予想の解は、タオの結果を大幅に定量的に改善した。彼らははるかに少ない整数をサンプリングするだけで、同じ結果、すなわち、ある整数の素因数の個数の偶奇性は、その近傍の素因数の偶奇性とは相関しないという結果を得た。

「これは素数と割り切れる数がいかにランダムに見えるかに関する非常に強い主張だ」とオックスフォード大学のベン・グリーン氏は語った。

しかし、この研究がおそらくさらに興味深いのは、それが「問題に取り組む自然な方法」を提供しているからだ、とマトマキ氏は述べた。それはまさに、タオ氏が6年前に最初に期待した直感的なアプローチだ。

エクスパンダーグラフはこれまで、理論計算機科学、群論、その他数学の分野で新たな発見をもたらしてきました。ヘルフゴットとラジヴィウは今回、エクスパンダーグラフを数論の問題にも応用できることを示しました。彼らの研究は、エクスパンダーグラフが算術の最も基本的な性質のいくつかを明らかにする力を持っていることを示しています。潜在的な陰謀を一掃し、加算と乗算の複雑な相互作用を解き明かし始めることができるのです。

「グラフ言語を使うと、突然、それまで見えなかった問題の構造が見えてくるんです」とメイナード氏は言う。「それが魔法なんです。」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、 シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。

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