ポスト黙示録的なサバイバルスキル：加速度の測定方法

物体が加速すると何が起こるかを調べたいとしましょう。ああ、これはインターネットが普及するずっと前の話です。コンピューターも電子機器もありませんでした。実際、1780年だとしましょう。どうすればいいでしょうか？ただ質量のある物体を落とせばいいのです。それでうまくいきます。重力は一定なので、一定の加速度が得られます。物体は毎秒9.8メートルの垂直加速度で動きます。簡単ですね。

でも待ってください。実際はこんな感じです。

ええ。かなり速く起こります。この状態から位置と時間のデータを得るのはかなり困難です。特にデジタル時計を持っていない場合にはなおさらです。ではどうすればいいでしょうか？一定の加速度を得る方法が必要ですが、9.8 m/s ²よりも低い加速度でなければなりません。一つの方法は、物を斜面から転がすことです。ただし、その場合は転がる物体でなければなりません。もう一つの解決策は、ジョージ・アトウッドが考案した方法です。当然のことながら、アトウッド・マシンと呼ばれています。

このアトウッド機械は、2つの質量と滑車を使用します。2つの質量は、滑車を通る紐で接続されており、両側に1つの質量がぶら下がっています。図を以下に示します。

理想的には、滑車の質量は（吊り下げられた2つの質量と比較して）非常に小さく、できれば車軸の摩擦も非常に小さいことが望ましいでしょう。もし2つの質量が同一で、静止状態から解放されたとしても何も起こりません。もし一方の質量がもう一方よりも大きい場合、系は加速します。しかし、この加速度の値はどのようにして求めるのでしょうか？これはかなり古典的な物理学の問題なので、詳細を見ていきましょう。実際には、この問題を解く方法は2つあり、ここでは両方の方法を説明します。

まず、それぞれの質量にかかる力の分析から始めましょう。どちらの質量にも2つの力しか作用しません。（弦からの）上向きの張力と、重力による下向きの引力です。物体にかかる正味の力がわかれば、次の力と運動の方程式に従って、その物体の加速度を求めることができます。

これで、両方の質量に対する力と加速度の方程式を見つけることができます。2つの質量は同じ張力（ただし、方向は逆）を持っていることを覚えておいてください。また、質量1がある加速度（a）で上向きに加速すると、質量2は同じ大きさの加速度で下向きに加速します（2つは紐でつながっているため）。2つの力の方程式を図に示します。

ちょっと待って！数学が多すぎる！落ち着いて。そんなに数学的なことは何もないし、方程式を解く必要もない。ただ、この問題の仕組みを説明したいだけなんだ。実は、学部生の頃にこの問題を解いたのを覚えているし、自分が（何度も）間違えたのも覚えている。弦の張力は、質量の1つの重さ（重力）にちょうど等しいと言いたかったんだ。もちろん、それは間違いだ。弦はどの質量から重さを得る「選択」をするだろうか？もっと重要な理由は、質量が加速しているからだ。加速する質量がある場合、正味の力はゼロにならない。

上記の2つの力の方程式（解く必要はありません）には、未知数が2つあります。張力の値と加速度です。つまり、2つの未知数を持つ方程式です。一方の方程式を張力について解き、もう一方の方程式に代入すると、加速度に関する次の式が得られます。

はい、これで質量の加速度が求められます。2つの質量が同じ値であれば、加速度は0メートル毎秒の2乗（これは良いことです）になることに注意してください。また、式では質量の差を質量の合計で割った値にgを掛けるので、加速度はg（9.8 m/s ^{2 ）よりも小さくなります。これも良いことです。}

では、別の視点から考えてみましょう。明らかに、この全体の鍵となるのは質量の差です。アトウッドマシンの片側にある余分な質量は、系を引き下げる正味の重力を生み出します。この正味の力は、質量の差に重力場 ( g ) を掛け合わせたものです。では、正味の力は何をするのか？物体を加速させるのです。ただし、両方の質量が加速する必要があります。この2つの考え方を力と運動の方程式に当てはめると、次のようになります。

これを加速度について解くと、他の方法と同じ結果になります。2つの異なる方法が一致するのは良いことですが、最も良い一致は現実世界です。では、実際にやってみましょう。実際のアトウッドマシンを使って加速度を測定し、それを理論上の加速度と比較してみるのはどうでしょうか？私のマシンはこんな感じです。

片側には200グラムの質量、もう片側には205グラムの質量があります。この質量をつなぐ紐は「スマート」滑車の上を走っています。この滑車は回転しながら角度位置を記録できます。この滑車の直径がわかれば、2つの質量の位置と時間のデータを取得できます。ちなみに、重い方の質量（右側）は最初に上昇し、その後下降しています。上昇しているにもかかわらず、下向きの加速度が残っています。上下両方に動かすことで、より多くのデータを収集できます。多ければ多いほど良いのです。

実は、位置データを表示する代わりに、少しズルをします。質量の速度を使います。このスマートプーリー（Vernier製）のソフトウェアは、データの数値微分をとって速度も算出します。加速度は速度の微分なので、速度-時間グラフの傾きが加速度になります。位置-時間グラフの放物線よりも見やすいからです。

こちらは実際のアトウッド マシンからのデータです。

直線の傾きが103.6 mm/s ²、つまり0.1036メートル毎秒の2乗であることに注目してください。ちなみに、この下向きの傾きの前後の部分は、質量が押されてから停止するまでの時間です。この部分は無視してください。これらの質量で上記の理論式を用いて加速度を求めると、0.121 m/s ²という値が得られます。これは悪くありません。もちろん、実験値とわずかにずれる可能性のある仮定をいくつか立てました。滑車の質量は無視できるほど小さく、摩擦力は無視できると仮定しました。もう少し作業を進めれば、これらの仮定が正しいかどうかを確認できるかもしれません。これは今後の宿題になるかもしれません。

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