数学の「まやかし」が素粒子物理学を救った

2020年9月20日午前8時

大きなものと小さなものの橋渡しをする技術である「くりこみ」は、おそらくここ 50 年間の理論物理学における最も重要な進歩となった。

1940年代、先駆的な物理学者たちは現実の新たな層に偶然たどり着いた。粒子は消え去り、場――海のように空間を満たす、膨張し波打つ実体――が登場した。場の一つの波紋は電子、もう一つは光子であり、それらの相互作用によってあらゆる電磁気現象が説明できると思われた。

ただ一つ問題があった。理論は希望と祈りで固められていたのだ。研究者たちは「繰り込み」と呼ばれる手法、つまり無限量を巧みに隠蔽することによってのみ、誤った予測を回避することができた。この手法はうまく機能したが、理論を開発した者たちでさえ、それが難解な数学的トリックの上に成り立つ、砂上の楼閣ではないかと疑っていた。

「これは私が言うところの、おかしな過程だ」とリチャード・ファインマンは後に記している。「このようなまやかしに頼らざるを得なかったため、量子電磁力学の理論が数学的に自己無矛盾であることを証明することができなかったのだ。」

数十年後、一見無関係に見える物理学の分野から、その正当性が証明された。磁化を研究する研究者たちは、繰り込みが無限大に関するものではなく、むしろ宇宙が独立した大きさの王国へと分離していることを示していることを発見した。これは今日の物理学の多くの分野を導く視点である。

ケンブリッジ大学の理論家デイビッド・トンは、繰り込みは「おそらく過去 50 年間の理論物理学における最も重要な進歩」であると書いている。

二つの告発の物語

いくつかの基準によれば、場の理論は科学全体の中で最も成功した理論と言えるでしょう。素粒子物理学の標準モデルの柱の一つである量子電磁力学（QED）理論は、実験結果と10億分の1の精度で一致する理論的予測を行ってきました。

しかし、1930年代と1940年代には、この理論の将来は保証されていませんでした。場の複雑な振る舞いを近似すると、しばしば無意味かつ無限の答えが得られ、一部の理論家は場の理論は行き詰まりかもしれないと考えました。

ファインマンらは、全く新しい視点――もしかしたら粒子を再び表舞台に立たせるような視点さえも――を模索したが、結局は単なる修正案で終わってしまった。彼らは、QEDの方程式に、不可解な繰り込みという手順を当てはめれば、妥当な予測が立てられることを発見したのだ。

演習はこんな感じです。QEDの計算で無限和が生じた際は、計算を途中で止めます。無限和にしたい部分を、和の前にある係数（固定値）に代入します。その係数を実験室で得られた有限の測定値に置き換えます。最後に、新たに制御された和を再び無限大に戻します。

一部の人々にとって、この処方箋はシェルゲームのように感じられた。「これは全く理にかなった数学ではない」と、画期的な量子理論家ポール・ディラックは記した。

この問題の核心、そして最終的な解決策の種は、物理学者が電子の電荷をどう扱ったかの中に見ることができます。

上記の図式において、電荷は係数、つまり数学的なシャッフル処理の際に無限大を飲み込む値から生じます。繰り込みの物理的な意味に頭を悩ませていた理論家たちにとって、QEDは電子が2つの電荷を持つことを示唆しました。理論上の電荷は無限大であり、測定された電荷はそうではありません。おそらく電子の中心核は無限大の電荷を保持していたのでしょう。しかし実際には、量子場効果（正の粒子の仮想的な雲として想像できます）によって電子は覆い隠され、実験ではわずかな正味電荷しか測定されませんでした。

1954年、物理学者マレー・ゲルマンとフランシス・ローという二人の科学者がこの考えを具体化しました。彼らは二つの電子の電荷を、距離に応じて変化する一つの「実効」電荷と結び付けました。電子に近づくほど（そして電子の正の殻を突き抜けるほど）、見える電荷は大きくなります。

彼らの研究は、繰り込みとスケールの概念を初めて結びつけた。量子物理学者たちが間違った問いに正しい答えを見出していたことを示唆していた。無限大について思い悩むのではなく、彼らは小さなものと巨大なものを結びつけることに焦点を当てるべきだったのだ。

繰り込みは「顕微鏡の数学的バージョン」だと、南デンマーク大学の物理学者アストリッド・アイヒホルン氏は言います。彼女は繰り込みを用いて量子重力理論の探究を行っています。「逆に言えば、微視的なシステムから始めて、そこからズームアウトしていくことも可能です。顕微鏡と望遠鏡を組み合わせたようなものです。」

磁石が救世主

二つ目の手がかりは凝縮物質の世界から浮かび上がった。物理学者たちは、粗い磁石モデルがどのようにして特定の変換の細部を捉えているのか、頭を悩ませていた。イジングモデルは、それぞれが上向きか下向きかしか指さない原子の矢印の格子で構成されているに過ぎなかったが、現実の磁石の挙動をあり得ないほど完璧に予測した。

低温では、ほとんどの原子が整列し、物質を磁化します。高温では原子は無秩序になり、格子は消磁されます。しかし、臨界転移点では、あらゆるサイズの整列した原子の島が共存します。重要なのは、この「臨界点」付近で特定の量がどのように変化するかが、イジング模型、様々な材料からなる実際の磁石、さらには水と蒸気の区別がつかなくなる高圧転移のような無関係な系でさえも同一であるように見えることです。理論家が普遍性と呼んだこの現象の発見は、ゾウとサギが全く同じ最高速度で移動することを発見するのと同じくらい奇妙なものでした。

物理学者は通常、異なるサイズの物体を同時に扱うことはありません。しかし、臨界点付近の普遍的な挙動により、物理学者はあらゆる長さのスケールを同時に考慮する必要に迫られました。

凝縮系研究者のレオ・カダノフは、1966年にその方法を発見した。彼は「ブロックスピン」という手法を開発し、正面から取り組むには複雑すぎるイジング格子を、各辺に数本の矢印を持つ小さなブロックに分割した。彼は矢印の集合の平均的な向きを計算し、ブロック全体をその値に置き換えた。このプロセスを繰り返し、格子の細部を滑らかにし、ズームアウトして系全体の挙動を把握した。

ブロックスピン再正規化では、個々のスピンの細かいグリッドが徐々に大きなブロックに平均化されます。イラスト：オレナ・シュマハロ/Quanta Magazine

ついに、ゲルマンの元大学院生で、素粒子物理学と凝縮系物理学の両方の分野に足を踏み入れたケン・ウィルソンが、ゲルマンとローの考えをカダノフの考えと統合しました。彼が1971年に初めて提唱した「くりこみ群」は、QEDの難解な計算を正当化し、宇宙システムのスケールを登るための梯子を提供しました。この研究によりウィルソンはノーベル賞を受賞し、物理学を永遠に変えました。

オックスフォード大学の凝縮物質理論家ポール・フェンドリー氏は、ウィルソンの繰り込み群を概念化する最良の方法は、微視的なものと巨視的なものを結びつける「理論の理論」として捉えることだと述べた。

磁気グリッドを考えてみましょう。ミクロレベルでは、隣接する2つの矢印を結ぶ方程式を書くのは簡単です。しかし、その単純な式を数兆個の粒子に外挿することは事実上不可能です。あなたはスケールを間違えています。

ウィルソンのくりこみ群は、構成要素の理論から構造の理論への変換を記述します。まず、ビリヤードの玉の中の原子のような小さなピースの理論から始めます。ウィルソンの数学的クランクを回すと、それらのピースの集合、例えばビリヤードの玉の中の分子を記述する関連理論が得られます。クランクを回し続けると、ビリヤードの玉の中の分子のクラスター、ビリヤードの玉のセクターなど、より大規模な集合へとズームアウトしていきます。最終的には、ビリヤードの玉全体の軌道など、興味深い計算が可能になります。

これが繰り込み群の魔法です。繰り込み群は、どの大局的な量が測定に有用で、どの複雑な微視的詳細は無視できるかを識別するのに役立ちます。サーファーは波の高さを気にしますが、水分子の衝突は気にしません。同様に、素粒子物理学において、繰り込み群は物理学者に、内部のクォークの絡み合いではなく、比較的単純な陽子を扱うことができる時期を教えてくれます。

ウィルソンの再正規化グループは、ファインマンと同時代の人々の苦悩は、電子を無限に接近させて理解しようとしたことに起因していると示唆した。「理論が任意の小さな距離スケールまで有効であるとは期待していません」と、英国ダラム大学の物理哲学者ジェームズ・フレイザーは述べた。物理学者たちは今や、理論に最小の格子サイズが組み込まれている場合、数学的に合計を短く切り詰め、無限大をシャッフルすることが計算を行う正しい方法であることを理解している。「このカットオフは、より低いレベルで何が起こっているかについての私たちの無知を吸収しているのです」とフレイザーは述べた。

言い換えれば、QEDと標準模型は、ゼロナノメートル離れたところから電子の裸電荷が何であるかを単純に伝えることはできない。これらは物理学者が「有効」理論と呼ぶもので、明確に定義された距離範囲で最もよく機能する。粒子がさらに接近すると何が起こるかを正確に解明することは、高エネルギー物理学の主要な目標である。

大きいものから小さいものへ

今日、ファインマンの「おかしな過程」は微積分学と同じくらい物理学において広く見られるようになり、そのメカニズムは物理学におけるいくつかの偉大な成功と現在の課題の理由を明らかにしている。繰り込み過程においては、複雑な超微視的現象は消え去る傾向がある。それらは確かに存在するかもしれないが、全体像に影響を与えることはない。「シンプルさは美徳だ」とフェンドリーは言った。「そこには神がいる」

この数学的事実は、本質的に独立した世界へと自らを分類しようとする自然界の傾向を捉えている。エンジニアが超高層ビルを設計する際、彼らは鋼鉄を構成する個々の分子を無視する。化学者は分子結合を解析するが、クォークやグルーオンについては幸いにも無知のままである。繰り込み群によって定量化された長さによる現象の分離は、科学者があらゆるスケールを一度に解明するのではなく、何世紀にもわたって大きなスケールから小さなスケールへと徐々に移行することを可能にしてきた。

しかし同時に、くりこみが微視的な詳細に敵対的であることは、より下の次元の兆候を渇望する現代物理学者の努力を阻害する。スケールの分離は、私たちのような好奇心旺盛な巨人から微細な点を隠そうとする自然の習性を克服するために、物理学者たちが深く掘り下げる必要があることを示唆している。

「繰り込みは問題を単純化するのに役立ちます」と、ニュージャージー州プリンストン高等研究所の理論物理学者ネイサン・ザイバーグ氏は述べた。「しかし、それは短距離で何が起こるかを隠すことにもなります。両方を同時に実現することはできません。」

オリジナルストーリーは、数学、物理科学、生命科学の研究の進展や動向を取り上げることで科学に対する一般の理解を深めることを使命とする、シモンズ財団の編集上独立した出版物であるQuanta Magazineから許可を得て転載されました。

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