「曲線の平坦化」の背後にある有望な数学

先週、ウイルスによるパンデミックの驚くべき実態について書きました。感染症は直線的ではなく指数関数的に広がり、数週間は小さな問題に見えたものが、突如として非常に大きな問題に発展する可能性があることについてお話ししました。まさにこれがリーダーが直面する課題です。時には、災害を回避する唯一の方法は、必要だと判断される前に行動を起こすことなのです。

例として、CDCが発表した米国の新型コロナウイルス感染症（COVID-19）の総感染者数のデータをいくつか挙げました。3月16日（月）の感染者数は4,000人でしたが、水曜日には8,000人にまで増加しました。これを直線で計算すると、「うーん、2日ごとに4,000人ずつ増えているな」と思うでしょう。すると、金曜日には12,000人、3月22日（日）には16,000人に達すると予想されます。ああ、そうなればいいのですが。

代わりに、指数関数的増加モデルを使って、増加率はどれくらいかと尋ねます。すると、月曜日から水曜日にかけて感染者数が倍増したことがわかります。もしこのペース、つまり2日ごとに100%増加し続ければ、金曜日には1万6000人、日曜日には3万2000人に達すると予測できたはずです。さて、この記事を書いている3月22日（日）現在、公式集計は3万2644人です。

これは指数関数的な増加です。このままのペースで推移すれば、わずか10日後には感染者数が100万人に達し、1ヶ月以内にはアメリカ国民全員が感染するでしょう。さて、朗報です。そんな事態は起こりません！状況は悪化しますが、そこまでひどくなることはありません。今日はその理由をお見せします。この単純な指数関数モデルは、結局のところ、限界があるのです。

感染率は低下する

感染が初期段階で指数関数的に拡大する理由を思い出してください。感染者が一定数N人いて、それぞれの感染者が（上記のパターンに従って）2日ごとに新たな人に感染させるとします。つまり、2日間でウイルス保有者の数は2倍（2 N ）になります。そして、これらの感染者それぞれが新たな人に感染させ、合計で4 Nとなり、これが繰り返されます。感染者が増えれば増えるほど、各段階で新たな感染者が増えます。まるで暴走する貨物列車のようです。

一般的に言えば、これを更新式として書きました。ここでは、期間 ( 𝚫 t ) あたりの総症例数 (𝚫 N ) の変化 (ここでは 1 日と定義します) が合計 ( N )に比例し、その比例係数aが 1 日あたりの感染率のパーセンテージです。

この日次更新の式を用いて、ウイルスの拡散をグラフ化しました。感染率（a）を0.20と低く仮定しました。これは、感染者数が1日あたり20%増加することを意味します。つまり、例えば人口1万人の小さな独立した町があり、そこに感染者が1人来たとします（つまり、 0日目にN = 1）。すると、感染者数は次のように増加します。

はい、それは恐ろしいですね。しかし、世界における新型コロナウイルス感染症の実際のデータを見てみました。最も感染が進んでいる中国では、異なる経路、つまり細長いS字型を描いていました。最初の10日間ほどは指数関数的に増加していましたが、その後減速し、最終的に横ばいになりました。悪化の一途を辿ったわけではありません。

このグラフは約1週間前に作成しましたが、中国の状況は依然として変わりません。感染者数は8万人前後で横ばいです。人口14億人のうち、この数字です。一体何が起こっているのでしょうか？

まず第一に、政府は何もしないというわけではありません。患者を隔離し、移動を制限し、学校や企業を閉鎖しています。中国は武漢と湖北省を封鎖し、国内の他の地域から隔離したため、感染リスクにさらされた人口は14億人よりもはるかに少なかったのです。

しかし、もっと根本的な理由がもう一つあります。指数関数的な成長では、1日あたりの新規感染者数は永遠に増加し続けます。しかし、これは人口が無限でない限り起こり得ません。実際には、病気になる人が増えるほど、感染させる健康な人の数は減っていくのです。

つまり、感染率は私たちのモデルが想定したように一定のままではいられず、時間の経過とともに減少していくということです。つまり、特定のホットスポットの周囲に境界線が設定されると、指数関数では最終的にその地域における感染拡大の後期段階をモデル化するには不十分になってしまうのです。

ロジスティック機能について

モデルを改善するために、上記の日次更新式に、Nの増加に伴って感染率を低下させる係数を追加してみましょう。N max を感染者数の最大値とします（簡単にするために、全人口と考えることができます）。その方法の一つを以下に示します。

これはロジスティック関数と呼ばれます。仕組みはこうです。アウトブレイクの初期段階では、Nは非常に小さいです。つまり、括弧内の値は実質的に1に等しいということです（小さなNを大きな数であるN _maxで割ると0に近づくため）。つまり、初期段階では、これは指数関数的な増加のように振る舞います。

しかし、 Nが大きくなるとどうなるでしょうか？ N / N _maxの比率は1に近づくため、括弧内の数値はゼロに近づき、1日あたりの新規感染者数（𝚫 N）は徐々にゼロに減少します。このモデルでは、N _{max を}超える感染者数は発生しません。

では、これを新しいPythonモデルに入力してみましょう。N max を80,000に設定し、初期段階の感染率は0.394とします。これは先週の中国の実際のデータから測定した値です。（仮定は変更できます。鉛筆アイコンをクリックして編集し、「再生」をクリックして再実行してください。）結果は次のようになります。

完璧ではありませんが、中国における実際の感染経路に近いものとなっています。

曲線の平坦化

今、私たちは流行の初期段階と後期段階の両方におけるウイルス拡散パターンを捉えるモデルを手に入れ、それを活用することができます。では、州や郡が学校を閉鎖し、スポーツリーグを中止し、人々に自宅待機を命じるといった措置を講じた場合、何が起こるでしょうか？根本的な力学は同じままですが、ベース感染率は低下します。

これがその様子を示す例です。どちらのグラフもN _maxは同じですが、青い線は感染率をa = 0.394と仮定し、赤い線はa = 0.3と仮定しています。

どちらの場合も、感染者総数は8万人で同じであることに注目してください。では、何が問題なのでしょうか？なぜわざわざ増加率を下げようとするのでしょうか？それは、これらの線の傾きに関係しています。

感染者総数を考えるのではなく、新規感染者がどれだけの速さで増えているかを考えてみましょう。1日あたりの新規感染者数は次のように計算できることを覚えておいてください。

これは総感染者数の直線の傾きに過ぎません。（注：ここで混乱しないでください。ここで私が使用している「感染率」は、パーセンテージで表される基本増加率aではなく、1日あたりの実際の新規感染者数を意味します。）

感染者数ではなく、新規感染率を時系列でプロットすると、重要なことがわかります。上の2つの曲線からわかるのは以下のとおりです。

これは、皆さんが口にする「カーブの平坦化」です。感染者数の増加率が高いほど、同時に感染する人が増えます。中には生き延びるために病院での治療を必要とする人もいますが、病院が満員になると、患者数に応じたトリアージが行われ、事態は悪化します。感染者の約10%が死亡したイタリアがまさにその例です。

この急増を抑えれば、感染拡大はより長い期間にわたって続くことになります。誰もが屋内で過ごす時間が長引いている今、これはあまり良いことではないかもしれません。しかし、これは医療システムへの過度の負担を回避することを意味します。感染者数の増加率を抑え、感染曲線を緩やかにすることで、命を救うことができるのです。

正しく実施すれば、死亡率を大幅に下げることができます。韓国のような他の国では、感染者のわずか1%しか死亡していません。もし私たちが成功したら？後から振り返れば、COVID-19は結局それほど大したことではなく、私たちがやってきたことは全て無駄だったと思えるかもしれません。騙されないでください。

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