ハズブロ / WIRED
友人や家族とクリスマスの集まりをするにしても、シンプルに過ごすにしても（つまり、家にいてパジャマでゆっくりするにしても）、クリスマス期間中のある時点で、誰かがボードゲームを始めるでしょう。
ちょっとした楽しみのためにあるゲームですが、正直に言うと、親族を盤上で圧倒した時の満足感に勝るものはありません。では、どうすれば家族の常敗者から、卓越した戦略家、容赦ない勝利者になれるのでしょうか？これらのゲームの多くでは、数学が勝利の鍵となります。
コネクトフォー
コネクトフォーは2人用のゲームで、各プレイヤーは順番に色付きのディスクを、横7マス、縦6マスのラックに落としていきます。最初に4枚のディスクを縦、斜め、または横一列に並べたプレイヤーが勝ちです。コネクトフォーの終了方法は4,531,985,219,092通りあるので、一生遊んでも全く同じ動きを繰り返すことはありません。しかし、必ず勝つ方法は存在します。
1988年、ジェームズ・ダウ・アレンとビクター・アリスは独立してコネクト4を解きました。つまり、両プレイヤーが完璧にプレイすることを前提として、あらゆるゲームの結果（勝ち、負け、引き分け）を予測する方法を発見したのです。当時のコンピュータはあらゆるゲームの結果を評価できるほど高性能ではなかったため、アレンとアリスは代わりに、勝利が保証される戦略があることを数学的に証明しました。しかし、これらの戦略はゲームを正しいスタートで始めた場合にのみ機能します。最初のプレイヤーは、最初のディスクを中央の列に置けば必ず勝つことができます。2番目のプレイヤーが完璧なプレイヤーに対して勝利を強制できるのは、相手が最初のディスクをラックの最も外側の2つの列のいずれかに置いた場合のみですが、完璧なプレイヤーである彼らは決してそんなことはしません。
では、どうすれば完璧なプレイヤーになれるのでしょうか？アリス氏のコネクトフォーで優勝を果たしたコンピュータプログラムVICTORがその答えを握っています。VICTORの動きは9つのルールで規定されています。「baseinverse」と呼ばれる最もシンプルなルールは、2つのマス目を必要とする4マス連続を常にブロックできるというものです。「vertical」と呼ばれるもう1つのルールは、真上にある2つのマス目のいずれかをプレイすることで、4マス連続を常にブロックできるというものです。コネクトフォーで毎回チャンピオンになりたい方は、アリス氏の91ページに及ぶ論文で、より複雑で習得が難しいルールを学ぶことができます。ぜひお楽しみください！
誰だと思いますか?
クリスマスによく復活するもう 1 つの 2 人用ゲームは、「Guess Who?」です。「Guess Who?」では、各プレイヤーは 24 個の漫画の顔の中から特徴的な顔を 1 つ選び、交代で「はい」または「いいえ」で答える質問をして、相手が自分のキャラクターを推測する前に、相手がどのキャラクターを選んだかを推測します。
素早く勝つためのよく知られた戦略は二分法戦略、あるいはコンピューター用語で二分探索アルゴリズムと呼ばれます。これは、文字候補をほぼ半分に減らすような質問を何度も繰り返すことを意味します。例えば、「あなたのキャラクターの名前は、Lの前の文字（AとZのほぼ中間）で始まりますか？」と尋ねます。答えが「はい」であれば、「あなたのキャラクターの名前は、Gの前の文字（AとLのほぼ中間）で始まりますか？」と尋ねます。
しかし、これはゲームの面白さを全て奪ってしまうだけでなく、必ずしも勝つための最良の方法とも言えません。2015年、応用数学者のミハイ・ニカはゲーム理論（人々がどのように、そしてなぜ意思決定を行うのかを数学的に解明する理論）を用いて、ゲームで劣勢に立たされている場合、リスクの高い動きを始めるのが最善策であることを証明しました。彼は、相手が残した可能性のある人物のごく一部に質問を集中させるべきだと示しました。こうした動きは容疑者を絞り込むのに役立たない可能性が高く、簡単にさらに不利な状況に陥る可能性もありますが、既に負けているので、数学的に言えば、潜在的な利益はリスクを上回ります。
戦艦
バトルシップでは、あなたと対戦相手が交代で、座標を推測しながら相手の見えない戦艦を魚雷で攻撃し、いずれかの艦隊が海底に沈むまで戦い続けます。勝利戦略は2つの要素から成ります。1つは自艦の巧みな配置、もう1つはゲームの進行に合わせて敵艦を全て狙い撃ちにするための確率に基づいた戦略を常に更新することです。
一般的に、完全にランダムな船の配置が理想的であると考えられています。なぜなら、エントロピー（無秩序さを言い換えるとエントロピー）を最大化するためです。船の配置に何の根拠も理由もなければ、相手は行動のパターンを持たず、あなたの船を狙うことが難しくなります。
しかし、魚雷を装填する番になったら、無作為に発射するのは得策ではありません。アレックス・アレミ氏が2011年にコーネル大学の博士課程に在籍していた頃（現在はGoogleのシニアリサーチサイエンティスト）によると、10×10のグリッドの中心付近に砲撃すれば、敵艦に命中する可能性が最も高くなります。様々なサイズの艦艇が配置できるため、中央への命中率は20%で、隅に行くほど徐々に減少し、8%になります。
アレミ氏はその後、数十億回ものコンピューターシミュレーションを実行し、様々なゲームシナリオにおいて特定の艦が特定の位置に存在する確率を計算しました。これにより、彼はオンラインのインタラクティブなバトルシップチートシートを構築しました。このチートシートは、ゲーム中の任意の瞬間における全てのマス目に関連する確率をすべて網羅しています。もしあなたが、宿敵の甥っ子とのバトルシップ対決で絶対に勝ちたいなら、アレミ氏のチートシートがあなたを有利にしてくれるでしょう。
クルード
マルチプレイヤー殺人ミステリーゲームの真髄とも言える「クルード」は、ブラック博士の邸宅で起きた殺人事件から始まります。3人から6人のプレイヤーが証拠を集めながら、誰が、何を、どこで犯行に及んだのかを捜査します。容疑者は6人、凶器となり得るものは6つ、そして9つの部屋が21枚のカードで表現されています。3枚の隠された「殺人」カードと、プレイヤー間で配布されるその他の18枚のカードです。ブラック博士の殺人事件の答えが隠されている3枚の隠されたカードを解き明かしたプレイヤーが勝利となります。
平均的なプレイヤーは、各ターンごとに次のプレイヤーに容疑者、武器、または部屋カードのいずれかを持っているかどうかを尋ね、持っている場合はそれらのカードを「殺人」カード候補リストから1枚消すという徹底的な消去法で「殺人」カードを決定します。上級プレイヤーは推論を用います。カードを1枚ずつ除外するだけでなく、プレイヤーが持つ可能性のあるカードや、どのプレイヤーがどのターンでも特定のカードを持つことができないかといった知識を蓄積していきます。
対戦相手を混乱させながら有用な知識を得るためのこっそりとした方法の 1 つは、次のプレイヤーに、自分が実際に持っている容疑者、武器、または部屋のカードを持っているかどうかを尋ねることです。これはブラフとして知られています。2019 年に、コンピューター サイエンティストの David Hansen と Kyle Hansen は、人工知能によるブラフを行うプレイヤーと正直な AI プレイヤーを対戦させる 20,000 回のコンピューター シミュレーションを実行することで、ブラフを行う価値があるかどうかを調査しました。3 枚のカードをブラフするという考えは、自分には何の情報も提供せず、他のすべてのプレイヤーに貴重な情報を与えてしまうため除外しました。彼らは、より価値の高い部屋のカードでブラフを行った場合、特定のゲームに勝つ可能性が 1.3% 低くなることを発見しました。しかし、容疑者と武器のカードの 1 枚または両方でブラフを行った場合、勝つ可能性が 1.4% 高まることを発見しました。
独占
おそらく、世界で最も人気があり（そして最も批判されている）ボードゲームの一つであるモノポリーのルールはご存知でしょう。さて、本題に入りましょう。どうすれば、健全な不動産ポートフォリオと潤沢な現金を持つ大資本家であり続けることができるのでしょうか？ 最後の500ポンド札で家賃を払い、有益な共同募金が続くことを必死に願う貧乏人ではなく、常にそうあり続けることができるのでしょうか？
数学者たちは長年にわたり様々な手法を駆使し、モノポリーの盤上のすべてのマス目が平等ではないことを認識することが勝利戦略の核心であることを示してきました。チャンスカードや共同募金カードはプレイヤーを特定の場所へと導くことが多いため、プレイヤーと対戦相手は特定のマス目に他のマス目よりも頻繁に止まります。つまり、特定の土地を購入して建物を建てることで、高額賞金を獲得できる可能性が高くなります。最も訪れるマス目は刑務所、次いでトラファルガー広場、そして最も訪れるのがパークレーンです。
2016年、UCLの数学者ハンナ・フライ氏はこの問題をさらに深く研究し、マルコフ連鎖（確率に基づいてある状態から次の状態へと遷移する数学的システム）を構築しました。このマルコフ連鎖は、異なる不動産のリターン、不動産を構築するために完全な色のセットを所有する必要性、そして平均的なゲームで何人のプレイヤーが参加しているかによって予想される対戦相手のロール回数を考慮に入れています。彼女は、紺色のセット（パークレーンとメイフェア）は投資に見合う価値がないことを発見しました。高価すぎる上に、着地する可能性も低すぎるからです。対戦相手が1人の場合は水色とオレンジのセット、2～3人の場合はオレンジと赤のセット、4人以上の場合は緑のセットが最適な投資です。
この記事はWIRED UKで最初に公開されました。
